1、2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷（理科）（三模）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知集合M1，2，3，N3，4，PxR|x0或x3，则（MN）（RP）（）A1，2，3B（2，3）C2DxR|0x32若复数（1+i）（ai）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）3雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（）A综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡B三人中，小陈的每
2、门学科的平均成绩都是最低的C六门学科中，小张存在偏科情况D小陈在英语学科有较强的学科优势4已知等差数列an中，a2+a1418，a23，则a10（）A10B11C12D135已知命题p：“xR，x2x+10”，则p为（）AxR，x2x+10BxR，x2x+10CxR，x2x+10DxR，x2x+106的常数项为25，则实数a的值为（）A1B1C2D27函数f（x）的部分图象如图，则它的解析式可能是（）ABCD8函数的部分图象如图，点A的坐标为，则的值为（）ABCD9已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）ABC2D10国际数学
3、教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的其中已知：OA1A1A2A2A3A3A4A4A5A5A6A6A7A7A81，A1，A2，A3，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为ln，Sn，则关于此两个数列叙述错误的是（）ASn2是等差数列BCDln12Sn+2Sn+111如图，E是正方体AB
4、CDA1B1C1D1棱D1D的中点，F是棱C1B1上的动点，下列命题中：若过CF的平面与直线EB垂直，则F为C1B1的中点；存在F使得D1FBE；存在F使得BEF的主视图和侧视图的面积相等；四面体EBFC的体积为定值其中正确的是（）ABCD12已知x（0，+），不等式ax+exlnx+x恒成立，则实数a的最小值为（）ABC0D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设函数则 14在ABC中，O为ABC的外心，若，则的值为 15某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是 16如
5、图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N由球和圆的几何性质可知，PNPF1，PMPF2.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步：。第1721颗为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17如图，在ABC中，D为AC边上一点且ABBD，BD2（1）若，求BCD的面积；（2）求的取值范围18如图多面体A
6、BCDEF中，面FAB面ABCD，FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EFBC，且EFBC3，H，G分别为CE，CD的中点（1）求二面角CFHG的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）19某校组织200名学生参加某学科竞赛这200名学生的成绩频率分布表如表：分组20，40（40，60（60，80（80，100（100，120（120，140频率0.010.090.3650.430.0850.02（1）求样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z近似服从正
7、态分布N（，16.52），其中取样本平均值分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答求甲的得分X的期望值附：若ZN（，2），则P（Z+）0.6828，P（2Z+2）0.9544，P（3Z+3）0.997420已知函数f（x）a（1x）ex，其中aR且a0（1）讨论f（x）的单调区间，并指出其单调性；（2）若a1，x0是F（x）的极大值点
8、，求证：21已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线yx2与抛物线C交于A，B两点（1）求FAB的面积；（2）过抛物线C上一点P作圆M：（x3）2+y24的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E证明：直线DE与圆M相切四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（0，1），若曲线C1，C2相交于A，B两点，
9、求|MA|+|MB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+3|（1）解不等式f（x）+f（x3）8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|x+5，在x1，1上有解，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知集合M1，2，3，N3，4，PxR|x0或x3，则（MN）（RP）（）A1，2，3B（2，3）C2DxR|0x3解：集合M1，2，3，N3，4，PxR|x0或x3，MN1，2，3，4，RPx|0x3，（MN）（RP）1，2，3故选：A2若复数（1+i）（ai）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A
10、（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）解：复数（1+i）（ai）a+1+（a1）i，在复平面内对应的点在第三象限，a+10，a10，解得：a1则实数a的取值范围是（，1），故选：B3雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（）A综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡B三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的C六门学科中，小张存在偏科情况D小陈在英语学科有较强的学科优势解：对于A，小明各科成绩都处于较高分数段且图形最均衡，由此可知小明成绩最好，最均衡，故选项A正确；对于B，
11、小陈的英语平均成绩是三人中最高的，故选项B错误；对于C，小张数学平均成绩为满分，化学接近满分，但物理和英语成绩均为三人中最低，可知小张存在偏科情况，故选项C正确；对于D，小陈的英语平均成绩是三人中最高且接近满分，所以小陈在英语学科有较强的学科优势，故选项D正确故选：B4已知等差数列an中，a2+a1418，a23，则a10（）A10B11C12D13解：在等差数列an中，由a2+a1418，得2a8a2+a1418，则a89，又a23，a10a8+2d9+2111故选：B5已知命题p：“xR，x2x+10”，则p为（）AxR，x2x+10BxR，x2x+10CxR，x2x+10DxR，x2x+
12、10解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：xR，x2x+10，则p是xR，x2x+10故选：C6的常数项为25，则实数a的值为（）A1B1C2D2解：（2x1）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）r26rx6r，所以的常数项为（1）52a+（1）62012a+125，解得a2故选：D7函数f（x）的部分图象如图，则它的解析式可能是（）ABCD解：由图知，f（0）0，对于选项A，当x0时，y10，即选项A不符合题意；当x1时，f（x）0，此时sinx0，x+10，y0，y0，即选项B符合题意，选项C不符合题意；当x0时，f（x）先为正，后为负，此时|sinx|0，x+10，y0，与图象不符
13、，即选项D不符合题意，故选：B8函数的部分图象如图，点A的坐标为，则的值为（）ABCD解：由题意得x0时ycos，得cos，因为|，所以，由“五点法”画图知，应取故选：C9已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）ABC2D解：双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，不妨设P在第二象限，则P（c，），F1（c，0），F2（c，0），因为，所以（0，）（2c，）3c2，b23a2，所以c24a2，可得离心率为：e2故选：C10国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四
14、年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的其中已知：OA1A1A2A2A3A3A4A4A5A5A6A6A7A7A81，A1，A2，A3，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为ln，Sn，则关于此两个数列叙述错误的是（）ASn2是等差数列BCDln12Sn+2Sn+1解：由OA1A1A2A2A3A3A4A4A5A5A6A6A7A7A81，得OA2，故，lnOAn+A
15、nAn+1+OAn+1，Sn，对于A，Sn2，Sn2是等差数列，所以A正确；对于B，由可知，B正确；对于C，lnln1（），所以C错误；对于D，ln1，2Sn+2Sn+1ln1，所以D正确故选：C11如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1棱D1D的中点，F是棱C1B1上的动点，下列命题中：若过CF的平面与直线EB垂直，则F为C1B1的中点；存在F使得D1FBE；存在F使得BEF的主视图和侧视图的面积相等；四面体EBFC的体积为定值其中正确的是（）ABCD解：当F为B1C1中点时，将CF平移至EM，则M为A1D1的四等分点，即，过M作MNAD，不妨设AD4，则MN4，BN5，BD，在RtBDE
16、中，同理BM，ME，BE2+ME2BM2，MEBE，CFBE，ACBE，BE面ACF，故正确；过D1作D1QBE，可得Q为BB1中点，不存在F使得D1FBE，故错误；当F与B1重合时，侧视图，（P为CC1中点），故正确；C1B1BC，所以C1B1平面EBC，B1C1上任一点到平面EBC的距离都相等，设F到面BEC的距离为h，且SEBC为定值，也为定值，故正确故选：D12已知x（0，+），不等式ax+exlnx+x恒成立，则实数a的最小值为（）ABC0D1解：不等式ax+exlnx+x等价于不等式ex+lneaxlnx+x，令函数f（x）lnx+x，原问题等价于g（eax）g（x）在（0，+）恒
17、成立，函数g（x）单调递增，故只需eaxx在（0，+）恒成立即可即axlnxa，令f（x）（x0），则f，可得函数f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，f（x）的最大值为f（e），故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设函数则2解：由函数可得f（）+f（log23）（1+log2）+（12）（11）+（13）2，故答案为：214在ABC中，O为ABC的外心，若，则的值为2解：在ABC中，可知与，在上的投影相同，并且，O为ABC的外心，所以ABAC，三角形是正三角形，设外接圆的半径为R，则，解得R，所以三角形的高为，则三角形的边长为2，所以22故答案为：215某动漫公
18、司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个小明购买了4个盲盒，基本事件总数n3481，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m36，他能集齐3个不同动漫角色的概率P故答案为：16如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N由球和圆的几何性质可
19、知，PNPF1，PMPF2.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为解：作出圆锥的轴截面如图所示，圆锥面与两球O1，O2相切与B，A两点，则O1BAB，O2AAB，过O1作O1DO2A，垂足为D，连接O1F2，O2F1，设F1F2OO1C，两球的球心距离为d，在RtO1O2D中，DO2312，F1O2CF2O1C，CO2dCO1，解得，由已知条件PNPF1，PMPF2知，PM+PNPF1+PF22a，即轴截面中AB2a，又F1F22c，即两球球心距离为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步：。第1721颗为必考题，每个试题考生都必须作答.第22
20、、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17如图，在ABC中，D为AC边上一点且ABBD，BD2（1）若，求BCD的面积；（2）求的取值范围解：（1），且ABBD，CBD，在BCD中，由余弦定理知，CD2BC2+BD22BCBDcosCBD，2BC2+42BC2cos，即BC22BC+20，解得BC1，由图知，BDCC，BCBD2，BC+1，BCD的面积SBCBDsinCBD（+1）2sin（2）在ABD中，由正弦定理知，sinA，在BCD中，由正弦定理知，即，CD，又A+CABC，sinA+sinCsinA+sin（A）sinA+cosAsinAsin（A+），A（0，）
21、，A+（，），sin（A+）（，1，故的取值范围为（，118如图多面体ABCDEF中，面FAB面ABCD，FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EFBC，且EFBC3，H，G分别为CE，CD的中点（1）求二面角CFHG的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）解：（1）取AB、FB的中点，分别记为O、K，连接AK，OF，OGFAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，FOAB，BCAB，平面FAB面ABCD，且平面FAB面ABCDAB，FO平面FAB，BC平面ABCD，FO平面ABCD，BC平面FBA，又OGBC
22、，OG平面FBA，故OB、OG、OF两两相互垂直以O为坐标原点，分别以OB、OG、OF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则F（0，0，），G（0，2，0），C（1，2，0），E（0，3，），H（，），K（，0，），又AKFB，AKBC，且FBBCB，AK平面FBC，故平面FHCB的一个法向量为（），设平面FHG的一个法向量为，由，取z2，得由图可知，二面角CFHG为锐二面角，记为，则cos|cos|；（2）延长FH交BC的延长线于T，连接TG并延长交AB于P，交DA的延长线于Q，则TQ为平面FHG与平面ABCD的交线，由比例关系可得19某校组织200名学生参加某学科竞赛这200名学生的
23、成绩频率分布表如表：分组20，40（40，60（60，80（80，100（100，120（120，140频率0.010.090.3650.430.0850.02（1）求样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z近似服从正态分布N（，16.52），其中取样本平均值分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中
24、随机的选择其中一个作答求甲的得分X的期望值附：若ZN（，2），则P（Z+）0.6828，P（2Z+2）0.9544，P（3Z+3）0.9974解：（1）样本平均数300.01+500.09+700.365+900.43+1100.083+1300.0281（2）由（1）知ZN（81，16.52），P（Z97.5）0.1587，在这200名学生中，晋级人数为2000.158732（3）设甲剩余10道题中答一题的得分为Y，则Y的分布列为： Y601.5 P 故Y的期望E（Y）6+0+1.5，故甲的得分X的期望值为E（X）E（90+10Y）90+1020已知函数f（x）a（1x）ex，其中aR且a0
25、（1）讨论f（x）的单调区间，并指出其单调性；（2）若a1，x0是F（x）的极大值点，求证：解：（1）f（x）a（1x）ex，f（x）axex，a0时，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，故f（x）在（，0）递增，在（0，+）递减，a0时，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，故f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；综上：a0时，f（x）在（，0）递增，在（0，+）递减，a0时，f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；（2）证明：a1时，F（x）x2x3+（1x）ex，F（x）x（2xex），令h（x）2xex，则h（x）1ex0，h（x）在R递减，而h（0
26、）10，h（1）1e0，故存在x0（0，1），使得h（x0）0，则2x0，故x（，0）时，F（x）0，F（x）递减，x（0，x0）时，F（x）0，F（x）递增，x（x0，+）时，F（x）0，F（x）递减，x0是F（x）的极大值点，F（x0）+（1x0）+23x0+2，x0（0，1），令G（x）x3+2x23x+2，x（0，1），则G（x）（x1）（x3）0，故G（x）在（0，1）递减，而G（0）2，G（1），故F（x0）（，2）21已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线yx2与抛物线C交于A，B两点（1）求FAB的面积；（2）过抛物线C上一点P作圆M：（x3）2+y24的两条斜率都存在的切线，
27、分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E证明：直线DE与圆M相切解：（1）由抛物线y24x的焦点F（1，0），可得F到直线yx2的距离d，由，可得x28x+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x28，x1x24，|AB|4，所以FAB的面积为Sd|AB|42；（2）证明：设P（，y0），E（，y1），D（，y2），（y0+y10，y0+y20），直线PE的方程为yy1（x），即yy1+（x），所以y+，即4x（y0+y1）y+y0y10，因为直线PE与圆M相切，可得2，化简可得（y024）y12+16y0y1+804y020，同理可得（y024）y22+16y0y2+804y0
28、20，所以y1，y2是方程（y024）y2+16y0y+804y020的两根，可得，设圆心M到直线DE的距离为d，因为直线DE的斜率为，直线DE的方程为yy1（x），化为4x（y1+y2）y+y1y20，则d2，所以直线DE与圆M相切四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（0，1），若曲线C1，C2相交于A，B两点，求|
29、MA|+|MB|的值解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转换为普通方程为（x1）2+（y1）22曲线C2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为xy10（2）由于点M（0，1）满足直线xy10的方程，故（t为参数），代入（x1）2+（y1）22，得到：，所以，t1t23，故|MA|+|MB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+3|（1）解不等式f（x）+f（x3）8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|x+5，在x1，1上有解，求实数a的取值范围解：（1）函数f（x）|2x+3|不等式f（x）5f（x3），即|3x+3|+|3x3|5，等价于 或 或，解得：2x2，所以原不等式的解集为x|2x2；（2）当x1，1时，不等式f（x）+|x+a|x+5，即|x+a|2x，所以|x+a|2x在1，1上有解，即2a22x在1，1上有解，所以2a4实数a的取值范围：2，4