1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑。1已知集合M=x|0，则CRM=（） A x|1x1 B x|1x1 C x|x1或x1 D x|x1或x12设i为虚数单位，则复数的共轭复数是（） A i B i C i D i3设数列an是公比为q的等比数列，则“0q1”是“an为递减数列”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4（6a3）的最大值为（
2、） A B 9 C D 35已知A，B，C是圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为（） A 30 B 60 C 90 D 1206如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（） A B C D 7执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A 6 B 11 C 16 D 218定义运算=，如=已知+=，=，则=（） A B C D 9已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M
3、在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（） A （，+） B （2，+） C （，2） D （1，2）10如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2动点P从A点出发沿着圆弧按AOBCADB的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（） A B C D 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5题，共25分，请在答题卡上答题。11已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x（0，2时，f（x）=3xlog3x，则f（2015）=
4、12以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，R）上的点到曲线（cos+sin）=4（，R）的最短距离是13已知（x+1）5（2x1）3=a0+a1x+a2x2+a8x8，其中a0，a1，a2，a8R，则a1+a2+a3+a8=14已知实数x，y满足，则x2y的取值范围是15甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论中正确的是第一局甲就出
5、局的概率是；第一局有人出局的概率是；第三局才有人出局的概率是；若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是；该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，cosx），=（cosx，2sinx）（）求函数f（x）的最小正周期和在0，上的单调递增区间；（）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2c2ab，求f（C）的取值范围17某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，a1=1，且ak（k=2，3，4，5）为0和1的概率分别是和记=，当程序运行一
6、次时：（）求=3的概率；（）求的分布列和数学期望18如图，三棱锥OABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为4，E，F分别是AB，AC的中点，过EF作平面，平面与侧棱OA相交于A1，与侧棱OB，OC的延长线分别交于点B1，C1，且OA1=3（）求证：BCB1C1；（）求二面角OA1B1C1的余弦值19已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx（）若函数F（x）=f（x）g（x）有极值1，求实数a的值；（）若函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围20如图，椭圆C1：+=1（ab0）与抛物线C2：x2=4y有公共的焦点F点A为椭圆C1与抛物
7、线C2准线的交点之一，过A向抛物线C2引切线AB，切点为B，且点A，B都在y轴的右侧（）证明：FAFB；（）证明：直线AB是椭圆C1的切线21已知数列an中，a1=1，且=+k（nN*）（）若k=0，b=1，求an的通项公式；（）若k=1，b=0，求证：当n3时，an32015年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑。1已知集合M=x|0，则CRM=（） A x|1x1 B x|1x1 C x|x1或x1 D x|x1或x1
8、考点： 补集及其运算专题： 集合分析： 根据补集的定义进行求解即可解答： 解：M=x|0=x|1x1，则RM=x|x1或x1，故选：D点评： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握补集的定义，比较基础2设i为虚数单位，则复数的共轭复数是（） A i B i C i D i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答： 解：复数=i的共轭复数是i故选：B点评： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3设数列an是公比为q的等比数列，则“0q1”是“an为递减数列”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C
9、 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 充要条件专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑分析： 根据等比数列 的性质可判断：当a10时，“0q1”“an为递增数列”；an为递减数列”，a10时，q1，根据充分必要条件的定义可以判断答案解答： 解：数列an是公比为q的等比数列，则“0q1”，当a10时，“an为递增数列”，又“0q1”是“an为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D点评： 本题考察了等比数列的性质，充分必要条件的定义，属于容易题4（6a3）的最大值为（） A B 9 C D 3考点： 二次函数的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据二次函数的性质，求出被开方数的最大值，
10、进而可得答案解答： 解：y=（3a）（a+6）=a23a+18在a=时，取最大值为：，故（6a3）在a=时，取最大值为：，故选：A点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题5已知A，B，C是圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为（） A 30 B 60 C 90 D 120考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据向量加法的运算，几何意义判断O位置，利用圆的几何性质判断分析出夹角解答： 解：若=（+），根据向量加法的运算，几何意义得出O为BC的中点，即BC为圆的直径，圆周角CAB=则与的夹角为90故选：C点评： 本题考查了平面向量的加法的几何意义，
11、结合图形判断，考查树形结合的思想，属于中档题6如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（） A B C D 考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可解答： 解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3cm，高为2cm，一个是底面半径为2cm，高为4cm，组合体体积是：322+224=34cm3底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：326=54cm3，切削掉部分的
12、体积与原来毛坯体积的比值为：=故选：A点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A 6 B 11 C 16 D 21考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答： 解：当i=1时，满足执行循环的条件，此时S=1，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=2，i=2； 当i=2时，满足执行循环的条件，此时S=2，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=5，i=3； 当i=3
13、时，满足执行循环的条件，此时S=5，故执行S=S2+1，故执行完循环体后，S=26，i=4； 当i=4时，满足执行循环的条件，此时S=26，故执行S=S5，故执行完循环体后，S=21，i=5； 当i=5时，满足执行循环的条件，此时S=21，故执行S=S5，故执行完循环体后，S=16，i=6； 当i=6时，不满足执行循环的条件，故输出的S值为16，故选：C点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8定义运算=，如=已知+=，=，则=（） A B C D 考点： 进行简单的合情推理专题： 数系的扩充和复数分析： 利用新定义、两角和差的正弦与余
14、弦公式即可得出解答： 解：=故选：B点评： 本题考查了新定义、两角和差的正弦与余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（） A （，+） B （2，+） C （，2） D （1，2）考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定M，F1，F2的坐标，进而由0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围解答： 解：设直线方程为y=（xc），与双曲线（a0
15、，b0）联立，可得交点坐标为P（，）F1（c，0），F2（c，0），=（，），=（，），由题意可得0，即0，化简可得b23a2，即c2a23a2，故可得c24a2，c2a，可得e=2，e1，1e2故选：D点评： 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属中档题10如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2动点P从A点出发沿着圆弧按AOBCADB的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（） A B C D 考点： 函数的图象专题： 函数
16、的性质及应用；平面向量及应用分析： 由题意需要分段讨论，借助向量，当x，2）时，由=设与的夹角为，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y=5+4cosx，x（，2），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象解答： 解：当x0，时，y=1，当x，2）时，=设与的夹角为，|=1，|=2，=xy=|O1P|2=（）2=54cos=5+4cosx，x（，2），函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递增，当x2，4）时，=，设与的夹角为，|=2与|=1，=2x，y=|O1P|2=（）2=54cos=5+4cosx，x（2，4），函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递减故选：A点评： 本
17、题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5题，共25分，请在答题卡上答题。11已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x（0，2时，f（x）=3xlog3x，则f（2015）=3考点： 函数奇偶性的性质；函数的周期性专题： 函数的性质及应用分析： 得出f（x+4）=f（x），f（x）=f（x），求解即可f（2015）=f（1+2016）=f（1）=f（1）=3解答： 解：f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，f（x+4）=f（x），f（x）=f（x），当x（0，2时，f（x）=3x+log3x，f（2015
18、）=f（1+2016）=f（1）=f（1）=3故答案为：3点评： 本题考查了函数的奇偶性，周期性，难度不大，关键是转为给定的区间上的函数值，属于容易题12以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，R）上的点到曲线（cos+sin）=4（，R）的最短距离是2考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 坐标系和参数方程分析： 曲线（为参数，R）化为普通方程x2+y2=7，曲线（cos+sin）=4（，R）化为x+y=4，求出圆心圆心O（0，0）到直线的距离d，即可得出最短距离=dr解答： 解：曲线（为参数，R）化为x2+y2=7，曲线（cos+sin）=4（，R）化
19、为x+y=4，圆心O（0，0）到直线的距离d=2，因此曲线（为参数，R）上的点到曲线（cos+sin）=4（，R）的最短距离是2故答案为：2点评： 本题考查了极坐标方程参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题13已知（x+1）5（2x1）3=a0+a1x+a2x2+a8x8，其中a0，a1，a2，a8R，则a1+a2+a3+a8=33考点： 二项式系数的性质专题： 二项式定理分析： 在所给的等式中，令x=0可得a0的值；令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a8的值，从而求得a1+a2+a3+a8的值解答： 解：对于（x+1）5（2x1）3=a0+a1x+a2x
20、2+a8x8，令x=0可得a0=1，在（x+1）5（2x1）3=a0+a1x+a2x2+a8x8，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a8=32，a1+a2+a3+a8=33故答案为：33点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题14已知实数x，y满足，则x2y的取值范围是考点： 简单线性规划专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数得答案解答： 解：由约束条件作出可行域如图，令z=x2y，化为直线方程的斜截式，由图可知，当直线过（）时，直线在y轴上的截
21、距最小，z有最大值为；由f（x）=sinx，得f（x）=cosx，再由cosx=，得x=，即当直线过（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为x2y的取值范围是故答案为：点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是，则下列结论中正确的是第一局甲就出局的概率是；第一局有人出局的概率是；第三局才有人出局的概率是；若直到
22、第九局才有人出局，则甲出局的概率是；该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 三人各掷硬币一次，所有的结果共8种由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；当有甲掷得的结果与其他二人不同时，共有2种结果第一局有人出局时，有6种结果，由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，即可求出相应的概率解答： 解：三人各掷硬币一次，每一次扔硬币都有2种结果，所有的结果共有23=8种由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，
23、此人就出局且游戏终止；当有甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是；第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6种结果，故第一局有人出局的概率是；由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是=；由于直到第九局才有人出局，则前8局无人出局，则直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是=；若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人退出，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1=故答案为：点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共7
24、5分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，cosx），=（cosx，2sinx）（）求函数f（x）的最小正周期和在0，上的单调递增区间；（）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2c2ab，求f（C）的取值范围考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理专题： 三角函数的图像与性质分析： （）由向量和三角函数可得f（x）=2sin（2x+）+1，由周期公式可得周期，解2k2x+2k+可得单调递增区间，取0，上的可得；（）由题意和余弦定理可得0C，进而由三角函数和不等式的性质可得解答： 解：（）由题意可得f（
25、x）=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1，函数f（x）的最小正周期T=，由2k2x+2k+可得kxk+，kZ，结合0，可得单调递增区间为0，；（）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2c2ab，cosC=，0C，02C，2C+，sin（2C+）1，f（C）=2sin（2C+）+12，3f（C）的取值范围为：2，3点评： 本题考查三角函数恒等变换，涉及周期性和单调性以及余弦定理，属中档题17某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，a1=1，且ak（k=2，3，4，5）为0和1的概率分别是和记=，当程序
26、运行一次时：（）求=3的概率；（）求的分布列和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 应用题；概率与统计分析： （）由题意得：P（=3）=，由此能求出=3的概率（）由题设知，的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出P（=1），P（=2），P（=3），P（=4），P（=5），由此能求出的概率分布列和E解答： 解：（）由题意得：P（=3）=（）由题设知，的可能取值为1，2，3，4，5，且P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=，故的概率分布列为： 1 2 3 4 5P E=1+2+3+4+5=4点评： 本题考查离散型随机变量的概率分布
27、列和数学期望，是中档题解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用18如图，三棱锥OABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且长度均为4，E，F分别是AB，AC的中点，过EF作平面，平面与侧棱OA相交于A1，与侧棱OB，OC的延长线分别交于点B1，C1，且OA1=3（）求证：BCB1C1；（）求二面角OA1B1C1的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）通过中位线定理及线面平行的判定定理即得答案；（）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，则二面角OA1B1C1即为OA1EF，所求值即为平面O
28、A1E的法向量与平面FA1E的法向量的夹角的余弦值解答： （）证明：E、F为AB、AC中点，BCEF，又BC平面A1B1C1，EF平面A1B1C1，BC平面A1B1C1，又BC平面OBC，平面OBC平面A1B1C1=B1C1，BCB1C1；（）解：以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立坐标系，则B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），A1（0，0，3），E（2，0，2），F（0，2，2），二面角OA1B1C1即为OA1EF，显然OC平面OA1E，故平面OA1E的法向量可以取=（0，1，0），设平面FA1E的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，1，2），=
29、，二面角OA1B1C1的余弦值为点评： 本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题19已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx（）若函数F（x）=f（x）g（x）有极值1，求实数a的值；（）若函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题： 分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （）求出导数，对a讨论，当a0时，当a0时，判断函数的单调区间，即可得到极值，进而求得a；（）求出函数G（x）的导数，由于G（x）在区间（
30、0，1）上为增函数，可得acos（1x）+0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可求得最小值，可得a的范围解答： 解：（）x0，F（x）=a=（x0），当a0时，F（x）0，F（x）在（0，+）递减，无极值；当a0时，由F（x）0，可得x，由F（x）0，可得0x，x=取得极小值由F（x）有极值1，即有1ln=1，解得a=；（）G（x）=fsin（1x）+g（x）=asin（1x）+lnx，G（x）=acos（1x）+，G（x）在（0，1）上递增，即有acos（1x）+0在（0，1）上恒成立，即a在（0，1）上恒成立令h（x）=xcos（1x），0x1，h（x）=cos（1x）+
31、xsin（1x）0，h（x）在（0，1）递增，0xcos（1x）1，即有1，则有a1点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键20如图，椭圆C1：+=1（ab0）与抛物线C2：x2=4y有公共的焦点F点A为椭圆C1与抛物线C2准线的交点之一，过A向抛物线C2引切线AB，切点为B，且点A，B都在y轴的右侧（）证明：FAFB；（）证明：直线AB是椭圆C1的切线考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由题意易得焦点准线，利用导数求斜率得出a，b，x0得关系式，再利用数量积得证（）利用判别式法
32、计算量太大，由斜率相等得出恒成立条件得证解答： 解：（）证明：由题意得，F（0，1），c=1，a2b2=1，准线y=1，由x2=4y，得y=，设点B，则直线AB斜率k=，得，=0，FAFB（）证明：根据抛物线的定义，点B到准线的距离等于到焦点的距离得，所以由，把代入y=a，若直线AB是椭圆C1的切线，则有恒成立，即，化简得a2b2=1直线AB是椭圆C1的切线点评： 熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、直线与圆锥曲线的相交问题是解题的关键本题需要较强的计算能力，注意数形结合的思想方法应用21已知数列an中，a1=1，且=+k（nN*）（）若k=0，b=1，求an的通项公式；（）若k=1，b=0，求证：当n3时，an3考点： 数列递推式分析： （）若k=0，b=1，利用叠乘法求an的通项公式；（）利用数学归纳法进行证明解答： （）解：k=0，b=1，=，n2，an=a1=1=，n=1时，结论也成立，an=；（）证明：k=1，b=0，=+1，a2=，a3=n=3时，左边=，右边=3=2，不等式成立；设n=k时结论成立，即ak3，则n=k+1时，ak+1（+1）（3）=3+3，综上可得，当n3时，an3点评： 本题考查数列的通项，考查叠乘法，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！