1、4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较水平1题组一函数模型的增长差异1下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()Ay50x By1 000xCy0.42x1 Dyex【解析】选D.指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快2有一组实验数据如表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数较适合的是()Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变3当2x2xlog2x.方法二：采用特殊值代
2、入法，如取x3，经检验易知选B.题组二函数模型的选取1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数，即一次函数模型2现在已经进入大数据时代，目前，数据已经从TB(1 TB1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB1 024 TB)，EB(1 EB1 024 PB)乃至ZB(1 ZB1 024 EB)级别，国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49
3、ZB，2009年全球产生的数据量为0.8 ZB，2010年全球产生的数据量为1.2 ZB，2011年全球产生的数据量为1.82 ZB，而到了2020年全球产生的数据量是2011年的44倍，为了较好地描述2008年起产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据数据信息，选出你认为拟合程度最好的函数模型是()Ag(x)kxb Bg(x)abxCg(x)klogaxb Dg(x)b【解析】选B.由已知列出年份，年份代码，数据量如表：年份20082009201020112020年份代码(x)123413数据量g(x)0.490.81.21.8280.08画出散点图如图，由散点图可知数据量随年份的增加而
4、增加，且增加的速度越来越快，故拟合程度最好的函数模型为g(x)abx.3.植物研究者在研究某种植物15年内的植株高度时，将得到的数据用散点图直观表示现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在15年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是()A.ykaxb(k0，a0，且a1)B.yklogaxb(k0，a0，且a1)C.yb(k0)D.yax2bxc(a0)【解析】选B.由散点图可知函数单调递增，但是趋于平缓，选项A：若a(0，1)，则它在(0，)上递减，a(1，)，它在(0，)上递增且递增速率变大，故A错误；选项B：若a(0，1)，则它在(0，)上递减，若a(1，)，它在(0，)上递增且
5、递增速率变小，B正确；选项C：当k0时，在(0，)上递减，C错误；选项D：当a0时，它开口向上，与散点图不相符，D错误题组三模型的应用1把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1()，空气的温度是T0()，经过t分钟后物体的温度T()可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体，放在10 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()A1.78 B2.77 C2.89 D4.40【解析】选B.由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tln ln 20.693，解得t2.
6、77.2电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为4 050元的计算机经过15年后价格应降为_元【解析】4 0504 0501 200(元).答案：1 2003一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过_小时才能开车(精确到1小时，参考数据lg 20.30，lg 30.48)【解析】设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(10.25)n.根据题意，有0.3(10.25)n
7、0.09，在不等式两边取常用对数，则有n lg n(lg 32lg 2)lg 0.3lg 31，将已知数据代入，得n(0.480.6)0.481，解得n4，故至少经过5小时才能开车答案：5易错点混淆模型导致选择错误1在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)()Ayabx ByabxCyax2b Dya【解析】选B.在坐标系中描出各点，可知函数yabx更接近2某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建
8、立恰当的函数模型来反映该公司调整后的利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数 B二次函数C指数型函数 D对数型函数【解析】选D.一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合【易错误区】对一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长趋势记忆不牢，导致错误水平1、2限时30分钟分值50分战报得分_一、选择题(每小题5分，共25分)1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6x Bylog6x Cyx6 Dy6x【解析】选B.D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意2三个变量y1，y2，y3随着变量
9、x的变化情况如下表：x1357911y1525456585105y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3 By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2【解析】选C.通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律3小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段
10、时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合最好的图象是()【解析】选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.4渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)mat.若出
11、海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 20.3，结果取整数)()A33分钟 B40分钟 C43分钟 D50分钟【解析】选C.由题意得解得a2，m0.05，故h(t)0.05，令h(t)0.051，得20，故t43(分钟).5高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数Vf(h)的大致图象是()【解析】选B.Vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小二、填空题(每小题5分，共15分)6近几年由于
12、北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_【解析】1年后的价格为180180x180(1x)(万元)，2年后的价格为180(1x)180(1x)x180(1x)(1x)180(1x)2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1x)10万元答案：y180(1x)107若已知16xlog2x；x4或x16时，xlog2x；在(4，16)内，xlog2x.答案：xlog2x8将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，
13、t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaen t，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n_；若再过m秒甲桶中的水量只有升，则m_【解析】因为5秒后两桶的水量相等，则ae5ne5nnln ln 2，若k秒后甲桶水量为，则aenk，enknkln ln 2k2ln 2，所以k10，所以m1055.答案：ln 25三、解答题9(10分)某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表强度(J)1.610193.210194.510196.41019震级(里氏)5.05.25.35.4(注：地震强度是指地震时释放的能量)地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用ya lg
14、xb(其中a，b为常数).求a的值(取lg 20.3进行计算)【解析】由模拟函数及散点图得两式相减得a(lg 3.2lg 1.6)0.2，a lg 20.2，a.*5信息技术支持的函数研究(略)限时60分钟分值100分战报得分_一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()Ae01与ln 10Blog392与93C8与log8Dlog771与717【解析】选B.对于A：e01可化为：0loge1ln 1，所以A正确；对于B：log392可化为：329，所以B不正确；对于C：8可化为：log8，所以C正确；对于D：log771
15、可化为：717，所以D正确2已知Uy|ylog2x，x1，P，则UP ()A BC(0，) D(，0)【解析】选A.由集合U中的函数ylog2x，x1，解得y0，所以全集U(0，)，同样：P，得到UP.3设a，b0，若a4b1，则log2alog2b的()A最小值为2 B最小值为4C最大值为2 D最大值为4【解析】选D.因为a，b0，且a4b1，所以由基本不等式得：a4b2，所以ab，所以log2alog2blog2(ab)log24.4f(x)log4(x1)的定义域是()A(0，1)(1，4 B1，1)(1，4C(1，4) D(1，1)(1，4【解析】选D.根据题意得，解得：1x1或1x4
16、，故f(x)log4(x1)的定义域是(1，1)(1，4.5对任意实数x，都有loga(ex3)1(a0且a1)，则实数a的取值范围是()A B(1，3C(1，3) D3，)【解析】选B.因为loga(ex3)1logaa，所以若a1，则ex3a恒成立，因为ex33，所以此时1a3，若0a1，则ex3a恒成立，因为ex33，所以此时a无解，综上所述，1a3，即实数a的取值范围是(1，3.6若函数f(x)loga(x2ax2)在区间(，1上为单调递减函数，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C2，3) D2，3【解析】选C.因为函数f(x)loga(x2ax2)在区间(，1上为单调递减函
17、数，所以当a1时，yx2ax2在(，1上为单调递减函数，且x2ax20在(，1)上恒成立，所以需yx2ax2在(，1上的最小值1a23a0，且对称轴xa1，所以2a3；当0a1时，yx2ax2在(，1上为单调递增函数，不成立综上可得a的取值范围是2，3).二、选择题(本大题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得分5分，有选错的得0分，部分选对的得分3分)7下列各式化简运算结果为1的是()Alog53log32log25Blg lg 5Cloga2(a0且a1)Deln 3(0.125)【解析】选AD.A.原式1；B原式lg 2lg 5lg (25
18、)；C原式2lg a224；D原式38321.8设函数f(x)logx，下列四个命题正确的是()A函数f(|x|)为偶函数B若f(a)|f(b)|，其中a0，b0，ab，则ab1C函数f(x22x)在(1，3)上为单调递增函数D若0a1，则|f(1a)|f(1a)|【解析】选ABD.f(x)logx，x0.函数f(|x|)log|x|，因为f(|x|)f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)|f(b)|，其中a0，b0，因为ab，所以f(a)|f(b)|f(b)，所以logalogblog(ab)0，所以ab1.因此B正确函数f(x22x)log(x22x)log(x1)21
19、，由x22x0，解得0x2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0a1，所以1a1a，所以f(1a)0f(1a)，故|f(1a)|f(1a)|f(1a)f(1a)log(1a2)0，即|f(1a)|f(1a)|，因此D正确三、填空题(每小题5分，共20分)9方程log2x(x22x1)2的解是_【解析】因为log2x(x22x1)2，所以(2x)2x22x1，整理，得3x22x10，解得x1或x.验根得x1不符合题意，故x是原方程的根答案：10函数f(x)log3(x22x10)的值域为_【解析】令tx22x10(x1)299，故函数变为ylog3t，t9
20、，此函数是一个增函数，其最小值为log392，故f(x)的值域为2，).答案：2，)11进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个_元【解析】设每个涨价x元，则实际销售价为每个(10x)元，日销售量为(10010x)个，则日利润为y(10x)(10010x)8(10010x)10(x4)2360(0x10)，所以当x4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大答案：1412关于函数f(x)lg (x0)，下列命题中所有正确结论的序号是_其图象关于y轴对称；当x0时，f(x)是增函数；当x0时，f(
21、x)是减函数；f(x)的最小值是2lg 2；f(x)在区间(1，0)，(2，)上是增函数【解析】定义域为R，又满足f(x)f(x)，所以函数yf(x)的图象关于y轴对称，正确令tx(x0)，在(0，2上是减函数，在2，)上是增函数，不正确tx4，又f(x)是偶函数，所以函数f(x)的最小值是2lg 2，正确当1x0或x2时，函数tx是增函数，根据复合函数知，f(x)是增函数，正确答案：四解答题(每小题10分，共40分)13已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)，其中0a1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为4，求a的值【解析】(1)要使函数有意义：则有，解得
22、3x1，所以函数f(x)的定义域为(3，1).(2)f(x)loga(1x)loga(x3)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)24，因为3x1，所以0(x1)244，因为0a1，所以loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4；由loga44，得a44，所以a4.14已知函数f(x)3log2x，x1，16，若函数g(x)f(x)22f(x2).(1)求函数g(x)的定义域；(2)求函数g(x)的最值【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义，则，解得x1，4，故函数g(x)的定义域为1，4.(2)令tlog2x，x1，4，则t0，2，yg(x)f(
23、x)22f(x2)(3log2x)22(3log2x2)(log2x5)210(t5)210，由函数y(t5)210的图象是开口朝上且以直线t5为对称轴的抛物线，故函数y(t5)210在0，2上单调递增，故当t0时，yg(x)取最小值15，当t2时，yg(x)取最大值39.15某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2013201420152016x(年份代码)0123生产总值y(万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产
24、总值比较；(3)利用关系式预测2030年该国的国内生产总值【解析】(1)画出函数图象，如图所示：从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为ykxb(k0).把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k0.677 7，b8.206 7.所以函数关系式为y0.677 7x8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为0.677 718.206 78.884 4(万亿元)，0.677 728.206 79.562 1(万亿元).与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元(3)2030年，即x
25、17时，由(1)得y0.677 7178.206 719.727 6(万亿元)，即预测2030年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元16已知函数f(x)loga(x2)，g(x)loga(4x)，其中a0且a1.(1)求函数f(x)g(x)的定义域；(2)若函数f(x)g(x)的最大值是2，求a的值；(3)求使f(x)g(x)0成立的x的取值范围【解析】(1)要使f(x)g(x)的表达式有意义，则有：2x4，所以函数f(x)g(x)的定义域是(2，4).(2)令h(x)f(x)g(x)，则h(x)loga(x2)(4x)loga(x22x8)，设tx22x8(x1)29，则t(0，9，因为函数h(x)f(x)g(x)的最大值是2，即ylogat，t(0，9的最大值是2，所以a1且loga92，所以a29，所以a3.(3)由f(x)g(x)0即loga(x2)loga(4x)，：若a1，则x24x0，所以1x4.：若0a1，则有：0x24x，所以2x1，所以当a1时满足题意的x的取值范围是(1，4)，当0a1时满足题意的x的取值范围是(2，1).- 16 -