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广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期教学质量测试数学试卷 WORD版含解析.docx

1、广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期教学质量测试数学试卷 一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集 ,集合 ,则 ( ) A.B.C.D.2.设l是直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 3.复数 (i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是( ) A.B.C.D.4.2020年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇,加大了生猪养殖规模,为了检测生猪的养殖情

2、况,该养猪场对2000头生猪的体重(单位:kg)进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是( ) A.这2000头生猪体重的众数为160kgB.这2000头生猪体重的中位数落在区间160,180)内C.这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg5.已知双曲线 (a0,b0)的两条渐近线斜率分别为 ,若 ,则该双曲线的离心率为( ) A.5B.C.D.6.设变量x,y满足约束条件 ,则 的最大值是( ) A.3B.C.1D.87.已知函数 (a0,且a1)过定点P,若点P在直线2mxny60(mn0)上,则 的最小值为( )

3、 A.2B.C.8D.8.已知 为奇函数, 为偶函数,若当 时, ,则 ( ) A.B.0C.1D.2二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知函数 ,则下列结论正确的是( ) A.g(x)的图象关于直线 对称B.g(x)的图象关于点 对称C.g(x)在区间 上单调递增D.g(x)在区间 上有两个零点10.已知 ,则下列结论错误的是( ) A.B.C.D.11.下列命题中,真命题的是( ) A.B.已知 ,则“ ”是“ ”的充要条件C.命题P:“ ”的否命题为 :“ ”D.已知函数

4、,且关于x的方程f(x)xa恰有两个互异的实数解的充要条件是a112.如图点M是正方体 中的侧面 上的一个动点,则下列结论正确的是( ) A.若点M为线段 的中点,则CM B.不存在点M到直线AD和直线 的距离相等C.若正方体的棱长为1,则三棱锥 的体积为 D.在线段 上不存在点M,使异面直线 与CD所成的角是30三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量 都为单位向量, ,则向量 的夹角为_. 14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,一年气象图将二十四节气配以太极图,说明一年之气象,来氏认为“万古之人事,一年之气象也,春作夏长秋收冬藏,一年不过如此

5、”,下图是来氏太极图,其大圆半径为5,大圆内部的同心小圆半径为2,两圆之间的图案是对称的,若在大圆内随机取一点,则该点落在黑色区域的概率为_. 15.已知函数 ,给出三个条件: ; ; .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件,在这个条件下,数列 的前n项和 _. 16.已知点P是地物线 上的一个动点,则点P到直线 和 的距离之和的最小值为_. 四、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数 . (1)将f(x)的图象向右平移 个单位得到g(x)的图象,求函数g(x)的解析式和最小正周期; (2)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a

6、,b,c,若f(A)=1,a= ,b=2,求ABC的面积. 18.已知等比数列 各项都是正数,且 ;数列 的前n项和 满足 . (1)求数列 , 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前n项和 . 19.如图,在四棱锥PABCD中,PAD为正三角形,四边形ABCD为梯形,二面角PADC为直二面角,且ABDC,ABAD,ADAB DC,F为PC的中点. (1)求证:BF平面PAD; (2)求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值. 20.为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y(单位:十亿元),绘制如表:年份2010201120122013201420

7、152016201720182019编号x12345678910销售额y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图,如图所示:(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及如表中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测2021年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额不超过150(十亿元)的年份叫“平销年,把销售额低于30(十亿元)的年份叫“试销年”,从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个,表示取到“试销年”的个数,求的分布列和数学期望.

8、参考数据:参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,21.已知椭圆E: (ab0)的左、右焦点分別为 ,离心率为 ,过左焦点 作直线 交椭圆E于A,B两点, 的周长为8. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线 :y=kx+m(km0)与圆O: 相切,且与椭圆E交于M,N两点, 是否存在最小值?若存在,求出 的最小值和此时直线 的方程. 22.已知函数 . (1)若 在点 处的切线的斜率为10,求此切线方程; (2)当 时,证明: . 答案解析部分一、单选题1.已知全集 ,集合 ,则 ( ) A.B.C.D.【答案】 A 【考点】交集及其运算,补集及其运算 【解析】

9、【解答】解:因为全集 ,集合 ,所以 , 所以 ;故答案为:A 【分析】 进行补集和交集的运算即可.2.设l是直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 【答案】 C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解:若 , ,则 或 与 相交,A不符合题意; 若 , ,则 或 或 与 相交,相交也不一定垂直,B不符合题意;若 , ,由直线与平面垂直的性质,可得 ,C符合题意;若 , ,则 或 ,D不符合题意故答案为:C 【分析】 由平行于同一直线的两平面的位置关

10、系判定A;由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析B;由直线与平面垂直的性质判断C;由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析D.3.复数 (i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是( ) A.B.C.D.【答案】 B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因 ,则 , 所以 在复平面内对应的点是 .故答案为:B 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出.4.2020年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇,加大了生猪养殖规模,为了检测

11、生猪的养殖情况,该养猪场对2000头生猪的体重(单位:kg)进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是( ) A.这2000头生猪体重的众数为160kgB.这2000头生猪体重的中位数落在区间160,180)内C.这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg【答案】 D 【考点】频率分布直方图,众数、中位数、平均数 【解析】【解答】由频率分布直方图知,数据落在区间140,160)内的频率最大,众数约为150kg,A不正确; 数据落在区间80,140)内的频率为0.30.5,中位数落在区间140,160)内,B不正确;体重不低

12、于200kg的频率为0.04,2000头生猪中约有80头体重不低于200kg,C不正确;2000头生猪体重的平均数约为 kg,D符合题意.故答案为:D 【分析】 由众数的概念,结合频率分布直方图可判断A;由中位数的概念和图象,可判断B;由图象找出体重不低于200kg的那段,计算可判断C;由平均数的概念,结合图象计算可判断D.5.已知双曲线 (a0,b0)的两条渐近线斜率分别为 ,若 ,则该双曲线的离心率为( ) A.5B.C.D.【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解:双曲线 的两条渐近线方程分别为 , , 不妨取 , ,由 ,得 ,即 ,所以 故答案为:D 【分析】 写出

13、双曲线的渐近线方程,求得k1,k2的值,代入 ,结合隐含条件即可求得双曲线的离心率.6.设变量x,y满足约束条件 ,则 的最大值是( ) A.3B.C.1D.8【答案】 D 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 联立 ,解得 ,即 ,令 ,得 ,由图可知,当直线 过A时,直线在 轴上的截距最小, 有最大值为3,则 故答案为:D 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.7.已知函数 (a0,且a1)过定点P,若点P在直线2mxny60(mn0)上,则 的最小值为( ) A.2B.C.8D.【答案】 B 【考点】基本不等式 【解

14、析】【解答】当 时, . 函数 过定点 , 点 在直线 上, ,化为 . 则 ,当且仅当 时取等号. 的最小值为 . 故答案为:B. 【分析】 先求出点P的坐标,然后代入直线方程,利用1的代换以及基本不等式即可求解.8.已知 为奇函数, 为偶函数,若当 时, ,则 ( ) A.B.0C.1D.2【答案】 A 【考点】函数的周期性,函数的值 【解析】【解答】因为 为奇函数,所以 , 因此当 时, ,.因为 是偶函数,所以 ,而 为奇函数,所以 ,因此有 ,因此有 ,所以 ,因此 的周期为4, ,故答案为:A 【分析】 根据题意,由函数的奇偶性和对称性分析可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

15、,即函数是周期为4的周期函数,由此可得f(2023)=-f(1),又由函数的解析式和奇函数的定义可得a的值,即可得f(1)的值,分析可得答案.二、多选题9.已知函数 ,则下列结论正确的是( ) A.g(x)的图象关于直线 对称B.g(x)的图象关于点 对称C.g(x)在区间 上单调递增D.g(x)在区间 上有两个零点【答案】 A,C 【考点】余弦函数的奇偶性与对称性,余弦函数的单调性,余弦函数的零点与最值 【解析】【解答】A选项, ,取到最大值,A选项说法正确; B选项, 的图象为 向上平移1个单位,故对称中心的纵坐标为1,B选项说法错误;C选项,当 时, ,又 在 上单调递增,所以 单调递增

16、,C选项说法正确;D选项,令 ,得 ,即 ,故在区间 上没有零点,D选项说法错误故答案为:AC 【分析】 利用对称轴处有最值判断A选项;从图象的平移角度判断B选项;C选项,通过的范围判断单调性;D选项,求出g(x)的零点判断.10.已知 ,则下列结论错误的是( ) A.B.C.D.【答案】 B,D 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】 , 令 ,可得 ,A正确,不符合题意; 令 ,可得 ,故 ,B错误,符合题意; ,C正确,不符合题意;令 ,可得 , ,D错误,符合题意.故答案为:BD 【分析】 注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答

17、案.11.下列命题中,真命题的是( ) A.B.已知 ,则“ ”是“ ”的充要条件C.命题P:“ ”的否命题为 :“ ”D.已知函数 ,且关于x的方程f(x)xa恰有两个互异的实数解的充要条件是a1【答案】 A,B,C 【考点】命题的否定,必要条件、充分条件与充要条件的判断,三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】解:对于 ,所以要使 ,令 ,所以 ,所以 , ,所以 , ,所以 , ,故A正确;对于 :设函数 , ,因为 ,所以 ,所以函数 在 上单调递增,若 ,则 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以若 ,则 ,所以 , ,“ “是“ “的充分条件,若 ,则 ,所以 ,所以函数 在 上单调递增

18、,所以 ,即 ,所以若 ,则 ,”所以 , ,“ ”是“ ”的必要条件,故B正确;对于 :命题 :“ , ”的否命题为“ , ”,故C正确;对于 :设 ,若关于 的方程 恰有两个互异的实数解,则函数 有两个零点,当 时,函数 表达式可化为 ,所以当 时, , 单调递增,当 时, , 单调递增,因为 , ,所以此时函数 有两个零点,所以当 时,关于 的方程 恰有两个互异的实数解成立,所以“ ”不是“关于 的方程 恰有两个互异的实数解”的必要条件,故D错误故答案为:ABC 【分析】 对于A:利用三角函数辅助角公式可得 , 解得x0,即可判断A是否正确; 对于B:由充要条件的定义判断,即可判断B是否

19、正确;对于C:由特称命题的否定,可得 ,即可判断C是否正确;对于D:由充要条件的定义判断,即可判断D是否正确。12.如图点M是正方体 中的侧面 上的一个动点,则下列结论正确的是( ) A.若点M为线段 的中点,则CM B.不存在点M到直线AD和直线 的距离相等C.若正方体的棱长为1,则三棱锥 的体积为 D.在线段 上不存在点M,使异面直线 与CD所成的角是30【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角 【解析】【解答】 选项,连接 、 、 ,则 为等边三角形 当 为 的中点时,由三线合一可知 ,故 说法正确;B选项,当 为 为中点时, 到直线 为 , 到直线 的

20、距离为 , ,B说法错误;C选项, ,C说法正确;D选项, 到平面 的距离为 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ,所以直线 与 所成角的正弦值不小于 ,所成角大于 ,因为 ,所以异面直线 与 所成角大于 ,D说法正确故答案为:ACD 【分析】 A选项,CM在平面ADD1A1的射影为DM,利用三垂线定理证明CMAD1;B选项,M为DD1为中点时,M到直线AD和直线C1D1的距离相等;C选项,利用等体积法求体积;D选项,因为 ,所以异面直线B1M与CD所成角等于直线A1B1与B1M所成角,利用线面角最小判断.三、填空题13.已知向量 都为单位向量, ,则向量 的夹角为_. 【答案】【考点】数量

21、积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】因向量 都为单位向量,且 , 于是得 ,即 ,解得 ,从而有 ,而 ,因此得 ,所以向量 的夹角为 .故答案为: 【分析】 根据已知条件,结合向量的夹角公式,即可求解.14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,一年气象图将二十四节气配以太极图,说明一年之气象,来氏认为“万古之人事,一年之气象也,春作夏长秋收冬藏,一年不过如此”,下图是来氏太极图,其大圆半径为5,大圆内部的同心小圆半径为2,两圆之间的图案是对称的,若在大圆内随机取一点,则该点落在黑色区域的概率为_. 【答案】【考点】几何概型 【解析】【解答】设大圆面积为 ,小圆面积 ,则

22、 , , 可得黑色区域的面积为 ,所以落在黑色区域的概率为 .故答案为: . 【分析】 根据题意,计算大圆的面积和黑色区域的面积,由几何概型公式计算可得答案.15.已知函数 ,给出三个条件: ; ; .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件,在这个条件下,数列 的前n项和 _. 【答案】【考点】对数的运算性质,等比数列,等比数列的前n项和 【解析】【解答】因函数 , 条件, ,则有 ,而 不是常数,即数列 不是等比数列;条件, ,则有 ,而 不是常数,即数列 不是等比数列;条件, ,则有 , 是常数,即数列 是等比数列,其首项为2,公比2,所以 .故答案为: 【分析】 对三个条件分别考虑,结合

23、对数的运算性质、等比数列的定义和求和公式,可得所求.16.已知点P是地物线 上的一个动点,则点P到直线 和 的距离之和的最小值为_. 【答案】 3 【考点】点到直线的距离公式,抛物线的定义 【解析】【解答】抛物线 ,即x2=4y的焦点坐标为 (0,1),准线方程l2:y+1=0. 由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值, .故答案为:3. 【分析】 求出抛物线的焦点坐标,准线方程,利用抛物线的定义转化为焦点到直线的距离求解

24、即可.四、解答题17.已知函数 . (1)将f(x)的图象向右平移 个单位得到g(x)的图象,求函数g(x)的解析式和最小正周期; (2)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=1,a= ,b=2,求ABC的面积. 【答案】 (1)因 ,则 ,即 所以函数 ,其最小正周期为 ;(2)在锐角ABC中,因 ,即 , , 而 ,即 ,于是得 ,解得 ,在ABC中,由余弦定理 得: ,即 ,解得c=3或c=-1(舍去), ,所以ABC的面积为 .【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换,余弦定理,正弦函数的周期性 【解析】【分析】 (1)由题意利用函数y=Asin(wx+

25、)的图象变换规律,求得函数的解析式,再根据正弦函数的周期性,得出结论; (2)由题意利用余弦定理求得c的值,从而求得 的值.18.已知等比数列 各项都是正数,且 ;数列 的前n项和 满足 . (1)求数列 , 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前n项和 . 【答案】 (1)设等比数列 的公比为q(q0),依题意, ,解得: , 于是得 ,因数列 的前n项和 满足 ,则 时, ,而 满足上式,所以 (2)由(1)得: , 于是得: ,两边都乘3得: ,两式相减得: ,所以 .【考点】数列的求和,数列递推式 【解析】【分析】 (1) 设等比数列的公比为q(q0), 结合a1=1,a2+a3=12

26、即可求出q值从而得出an;由 可得 时, , 计算出bn后再检验b1的值是否满足改式即可确定bn; (2)易知 ,从而利用错位相减求和法即可求出数列 的前n项和。19.如图,在四棱锥PABCD中,PAD为正三角形,四边形ABCD为梯形,二面角PADC为直二面角,且ABDC,ABAD,ADAB DC,F为PC的中点. (1)求证:BF平面PAD; (2)求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值. 【答案】 (1)证明:证明:如图所示,取 的中点 ,连接 , 为 的中点, 又 , 且 四边形 为平行四边形 又 平面 , 平面 , 平面 (2)解:取 的中点 ,连接 ,由 为正三角形, 取 的中点 ,

27、连接 , 四边形 为梯形, 为二面角 的平面角 又二面角 为直二面角, 以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:设 ,则 , , , , 故 , 设平面 的一个法向量为 ,则 则可取 设直线 与平面 所成的角为 , 故直线 与平面 所成的角的余弦值为 【考点】直线与平面平行的判定,用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】 (1)取PD的中点G,连接GF,AG.证明四边形ABFG为平行四边形,推出BF/AG,然后证明 平面; (2)取AD的中点O,连接OP,说明POE为二面角P-AD一C的平面角, 以为坐标原点, , , 所在直线分别为轴,轴

28、,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面PAB的一个法向量,设直线PC与平面PAB所成的角为 , 利用空间向量的数量积求解即可.20.为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y(单位:十亿元),绘制如表:年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910销售额y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图,如图所示:(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及如

29、表中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测2021年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额不超过150(十亿元)的年份叫“平销年,把销售额低于30(十亿元)的年份叫“试销年”,从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个,表示取到“试销年”的个数,求的分布列和数学期望. 参考数据:参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,【答案】(1)由散点图可得,适宜作为销售额y关于x的回归方程类型.(2)令,则,根据题中数据可得:,所以,因此y关于x的回归方程为 . 当时,(十亿元).所以2021年天猫双十一销售额预计为386.8(十亿元).(3

30、)由题意,2010年到2019年这十年的“平销年”的个数为7个,其中“试销年”为3个,因此从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个,取到“试销年”的个数能取的值为0,1,2,3. 则, .因此的分布列如下:0123P所以其数学期望为 .【考点】散点图,线性回归方程,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)由散点图的走势,即可判断; (2)通过已知条件,结合线性回归方程公式,可得y关于x的回归方程,将x=11代入该方程,即可求解; (3)从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个,取到“试销年”的个数能取的值为0,1,2,3,分别求出对

31、应的概率,即可得的分布列,并结合期望公式,即可求解. 21.已知椭圆E: (ab0)的左、右焦点分別为 ,离心率为 ,过左焦点 作直线 交椭圆E于A,B两点, 的周长为8. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线 :y=kx+m(km0)与圆O: 相切,且与椭圆E交于M,N两点, 是否存在最小值?若存在,求出 的最小值和此时直线 的方程. 【答案】 (1)依题意,结合椭圆定义知 的周长为4a,则有4a=8,即a=2, 又椭圆的离心率为 ,得 ,于是得 ,所以椭圆E的方程为 ;(2)因直线 :y=kx+m(km0)与圆O: 相切,则 ,即 , 设 ,而点M在椭圆E上,则 ,即 ,又 , ,同理 ,

32、于是得 ,由 消去y得: ,显然 ,则 ,又km0,且 ,因此得 , 令 ,则 ,当且仅当 ,即t=3时等号成立,于是得 存在最小值,且 , 的最小值为2,由 ,且km0,解得 或 .所以所求直线 的方程为 或 ,即 或 .【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)离心率为 ,ABF2的周长为8,列方程组,解得a,b,c,即可得出答案; (2)由直线 :y=kx+m(km0) 与 圆O:相切,得 , 设 由于点M在椭圆E上,则 , 计算出|MF2|,|NF2|,再利用基本不等式得 的最小值,进而可得答案.22.已知函数 . (1)若 在点 处的切线的斜率为10,

33、求此切线方程; (2)当 时,证明: . 【答案】 (1) , . 在点 处的切线的斜率为10, ,即 ,解得: . ,切点坐标为 .所求切线方程为: ,即 .(2) , ,当 时, ;当 时, ;当 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减.当 时, 取得极大值,也是最大值,且 . , 令 . 解 ,得 ;解 ,得 ;解 ,得 在 上单调递增,在 单调递减 当 时, 取得极大值,也是最大值,且 , ,即 当 时, 【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】 (1)由f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为10,列方程求出a,然后求出切线的方程即可; (2)对f(x)求导,判断f(x)的单调性,求出f(x)的最大值,然后构造函数 求出h(t)的最大值,进一步得到 。

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