1、能力提升课第六讲 天体运动中的四大难点研考向考点探究 栏目导航 随堂练知能提升 热点一 近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题(师生共研)三种匀速圆周运动的参量比较典例 1(2019山西大学附中模块诊断)同步卫星离地心距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为 R，则下列比值正确的是()A.v1v2rR Bv1v2RrC.a1a2rR2Da1a2rR解析：对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力，得：GmMr2 mv2r，得 vGMr，则得v1v2Rr，A 错误
2、，B 正确因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由 a12r，a22R 可得：a1a2rR，D 正确，C 错误答案：BD热点二 双星及多星模型(自主学习)1模型特征(1)多星系统的条件各星彼此相距较近各星绕同一圆心做匀速圆周运动(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量各行星转动方向相同，周期、角速度相等2.思维引导21.双星模型 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在万有引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程
3、中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2T Bn3k TC.n2k TDnkT解析：如图所示，设两恒星的质量分别为 M1 和 M2，轨道半径分别为 r1 和 r2.根据万 有 引 力 定 律 及 牛 顿 第 二 定 律 可 得 GM1M2r1r22 M1(2T)2r1 M2(2T)2r2，解 得GM1M2r1r22(2T)2(r1r2)，即GMr1r23(2T)2，当两星的总质量变为原来的 k 倍，它们之间的距离变为原来的 n 倍
4、时，有GkMnr3(2T)2，联立两式可得 Tn3k T，故 B 项正确答案：B22.三星模型(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设这三个星体的质量均为 M，并设两种系统的运动周期相同，则()A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周期 T4RR5GMC三角形三星系统中星体间的距离 L3 125 RD三角
5、形三星系统的线速度大小为125GMR解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A 错误；三星系统中，对直线三星系统有 GM2R2G M22R2M42T2 R，解得 T4RR5GM，B 正确；对三角形三星系统根据万有引力定律可得 2GM2L2 cos 30M42T2 L2cos 30，联立解得L3 125 R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为 v2rT 2L2cos 30T，代入解得 v 36 3 125 5GMR，D 错误答案：BC热点三 卫星的变轨问题(师生共研)人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论1变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤
6、道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上(2)在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道.(3)在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道.2一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道上过 A点和 B 点时速率分别为 vA、vB.因在 A 点加速，则 vAv1，因在 B 点加速，则 v3vB，又因 v1v3，故有 vAv1v3vB.(2)加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨道上经过 A 点，卫星的加速度都相同同理，从轨道和轨道上经过 B 点时加速度也相同(
7、3)周期：设卫星在、轨道上运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律a3T2k 可知 T1T2T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒若卫星在、轨道的机械能分别为 E1、E2、E3，则 E1E2E3.3卫星变轨的两种方式一是改变提供的向心力(一般不采用这种方式)二是改变需要的向心力(通常采用这种方式)典例 2(2016北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动下列说法正确的是()A不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的速度都相同B不论在轨道
8、1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同C卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度D卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同速度解析：卫星在轨道 1 上运行到 P 点，经加速后才能在轨道 2 上运行，故 A 错误；由 GMmr2 ma 得 aGMr2，由此式可知 B 正确、C 错；卫星在轨道 2 上的任何位置具有的速度大小相等，但方向不同，故 D 错答案：B易错提醒卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析.v2r 与GMr2 相等时，卫星才可以做稳定的匀速圆周运动；v2r GMr2 时，卫星将做离心运动31.变轨运行参数分析(多选)小行星绕恒星运动的同时，恒星均匀地向四周辐射能量
9、，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动则经过足够长的时间后，小行星运动的()A半径变大 B速率变大C加速度变小D周期变小解析：恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大，故 A 正确；根据 GMmr2 mamv2r mr42T2，得 aGMr2，vGMr，T42r3GM，因为 r 增大，M 减小，则 a 减小，v 减小，T增大，故 C 正确，B、D 错误答案：AC32.变轨中的能量分析(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图假设“嫦娥三号”运行经过 P 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的
10、圆轨道上运动，再次经过 P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为 Q、高度为 15 km，远地点为 P、高度为 100 km 的椭圆轨道上运动，下列说法正确的是()A“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动时速度大小可能变化B“嫦娥三号”在距离月面高度 100 km 的圆轨道上运动的周期一定大于在椭圆轨道上运动的周期C“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的加速度一定大于经过 P 点时的加速度D“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的速率可能小于经过 P 点时的速率解析：“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大
11、小不变，A 错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律知，“嫦娥三号”在距离月面高度 100 km 的圆轨道上运动的周期一定大于在椭圆轨道上运动的周期，B 正确；由于在 Q 点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的加速度一定大于经过 P点时的加速度，C 正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q 点的引力势能小于 P 点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动到 Q 点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动经过 Q 点时的速率一定大于经过 P 点时的速率，D 错误答案：BC热点四 卫星中的追及相
12、遇问题(师生共研)某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 的整数倍时就是出现最近或最远的时刻典例 3(多选)(2014全国卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；
13、5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B在 2015 年内一定会出现木星冲日C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析：设某行星相邻两次冲日的时间间隔为 t，地球绕太阳运动的周期为 T，某行星绕太阳运动的周期为 T 行，则2T t2T行t2，可得 tT1 TT行；而根据开普勒定律可得T2T2行R3R3行，联立可得 tT1R
14、3R3行，代入相关数据可得 t 火T1R3R3火2.195T，t 木T1R3R3木1.092T，t 土T1R3R3土1.035T，t 天T1R3R3天1.012T，t 海T1R3R3海1.006T；根据上述数据可知，各地外行星并不是每年都会出现冲日现象，A 错误；木星在 2014 年 1 月 6 日出现了木星冲日现象，再经 1.092T 将再次出现木星冲日现象，所以在 2015 年内一定会出现木星冲日，B 正确；根据上述数据可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔不是土星的一半，C 错误；根据上述数据可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，D 正确答案：BD反思总结对于天体追及问题的处理思路1根据G
15、Mmr2mr2，可判断出谁的角速度大2根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于 2 的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于 的奇数倍在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断 设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为 R，“金星凌日”每隔 t0 年出现一次，则金星的公转轨道半径为()A.t01t0R BR2 t01t03
16、CR31t0t0 2DR3 t01t02解析：根据开普勒第三定律有R3金R3T2金T2地，“金星凌日”每隔 t0 年出现一次，故(2T金2T地)t02，已知 T 地1 年，联立解得R金R 3 t01t02，因此金星的公转轨道半径R 金R3 t01t02，故 D 正确答案：D12016 年 9 月 15 日，我国成功发射“天空二号”空间实验室，2016 年 10 月 19 日，“神舟十一号”飞船与“天空二号”自动交会对接成功假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，我国实现飞船与空间实验室对接成功的措施可能是()A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现
17、对接B使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接C 2(2016四川卷)国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 78
18、6 km 的地球同步轨道上设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为()Aa2a1a3 Ba3a2a1Ca3a1a2Da1a2a3D 3(2019安徽阜阳三中模拟)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上已知引力常量为 G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是()A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B四颗星的轨道半径均为a2C四颗
19、星表面的重力加速度均为GmR2D四颗星的周期均为 2a2a4 2GmB 解析：任一颗星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，故 A 正确；任一星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均 r 22 a，故 B 错误；在四颗星表面上，物体的重力等于万有引力，则有：mgGmmR2，得四颗星表面的重力加速度 gGmR2，故 C 正确；对于任一星体，由万有引 力 定 律 和 向 心 力 公 式 得：Gm2 2a2 2 Gm2a2 m 42T2 22 a，解 得：T 2a2a4 2Gm，D 正确4.(多选)
20、(2019哈尔滨三中调研)2016 年 9 月 15 日，我国的空间实验室天宫二号在酒泉成功发射.9 月 16 日，天宫二号在椭圆轨道的远地点 A 开始变轨，变轨后在圆轨道上运行，如图所示，A 点离地面高度约为 380 km，地球同步卫星离地面高度约为 36 000 km.若天宫二号变轨前后质量不变，则下列说法正确的是()AC A天宫二号在轨道上运行通过远地点 A 点的速度一定小于 7.9 km/sB天宫二号在轨道上运行的周期可能大于在轨道上运行的周期C天宫二号在轨道上运行通过近地点 B 的速度一定大于轨道的速度D天宫二号在轨道变轨到轨道机械能减少解析：7.9 km/s 为第一宇宙速度，也为最大轨道环绕速度，故天宫二号在轨道上运行通过远地点 A 点的速度一定小于 7.9 km/s，A 正确；根据开普勒第三定律，因为轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以“天宫二号”在轨道上运行的周期小于在轨道上运行的周期，B 错误；根据GMmr2mv2r 可得，即轨道半径越大，线速度越小，若轨道为圆周，则在轨道上的速度大于在轨道上的速度，而轨道为椭圆，即在 B 点需要点火加速，所以在 B 点的速度一定大于轨道的速度，C 正确；从轨道变轨到轨道，需要在 A 点点火加速，即外力做正功，机械能增大，D 错误