1、第6讲 函数的单调性【学习目标】了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，并能运用函数单调性解决有关问题【基础检测】1x1，x2 是函数 f(x)定义域内的两个值，且 x1x2时有 f(x1)f(x2)，则 f(x)是()A增函数B减函数C常数函数D增减性不定D【解析】条件中丢掉了“任意”与“区间”，所以增减性不定，故选 D.2下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()AyexByx3Cyln xDy|x|B【解析】依据函数解析式，通过判断定义域和单调性，逐项验证 A 项，函数定义域为 R，但在 R 上为减函数，故不符合要求；B 项，函数定义
2、域为 R，且在 R 上为增函数，故符合要求；C 项，函数定义域为(0，)，不符合要求；D 项，函数定义域为 R，但在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不符合要求3若函数 yax 与 ybx在(0，)上都是减函数，则 yax2bxc 在(0，)上是()A增函数B减函数C先增后减D先减后增C【解析】yax 在(0，)上是减函数，a0，yax2bxc 的开口向下，对称轴 x b2a0，yax2bxc 在(0，)上先增后减4已知函数 fx（a2）x1，x1，logax，x1.若 fx 在，上单调递增，则实数 a 的取值范围为()A.1，2B.2，3C.2，3D.2，C【解析】据题意，只需 a20
3、且当 x1 时，(a2)x10 即可5函数 f(x)log12x，x12x，x1的值域为(，2)【解析】ylog12x 为减函数，ylog1210，y2x 为增函数，y212，综合可知 y(，2)【知识要点】1单调函数的有关概念(1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2 时，都有，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)f(x1)0，则 f(x)在(a，b)上；若当 x(a，b)时，f(x)0，则 f(x)在(a，b)上(5)如果 f(x)在区间 D 上
4、是增(减)函数，那么 f(x)在 D的任一子区间上也是增(减)函数(6)利用函数图象判断函数的单调性相同相反递增递减一、求函数的单调区间例1已知函数 f(x)x22|x|3，(1)用分段函数的形式表示 f(x)；(2)画出 f(x)的图象；(3)根据图象写出 f(x)的单调区间【解析】(1)当 x0 时，f(x)x22x3(x1)24；当 x0 时，f(x)x22x3(x1)24.即 f(x)（x1）24，x0，（x1）24，x0)在(0，)上的单调性【解析】解法一：定义法略，一般不用此方法 解法二：f(x)1 ax2，令 f(x)0，则 1 ax20，x a或 x a(舍)令 f(x)0，则
5、 1 ax20，ax a，x0，0 x a.f(x)在(0，a上为减函数，在 a，)上为增函数【点评】证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有：定义法其过程是：作差变形判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；求导法其过程是：求导判断导函数的符号下结论含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围三、函数单调性应用例3(1)已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，4上是减函数，求实数 a 的取值范围(2)已知函数 f(x)在实数集中满
6、足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)在定义域内是减函数求 f(1)的值；若 f(2a3)0，试确定 a 的取值范围【解析】(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1a f(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合 1a4，解得 a3.(2)f(xy)f(x)f(y)，令 xy1，得：f(1)f(1)f(1)，f(1)0.f(2a3)0，即是 f(2a3)1，得 a2.即 a 的取值范围为(2，)备选题例4已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex(xR，e 为自然对数的底数)(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递增
7、区间；(2)若函数 f(x)在(1，1)上单调递增，求 a 的取值范围；(3)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数，若是，求出 a的取值范围；若不是，请说明理由【解析】(1)当 a2 时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令 f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得 2x0，x2(a2)xa0 对任意 x(1，1)都成立 即 ax22xx1（x1）21x1(x1)1x1对任意x(1，1)都成立 令 y(x1)1x1，则 y11（x1）20.y(x1)1x1在(1，1)上单调递增 y0，x2(a2)xa0 对任意 xR 都成立(a2)
8、24a0，即 a240，这是不可能的 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对任意xR都成立，即x2(a2)xaex0 对任意 xR 都成立，ex0，x2(a2)xa0 对任意 xR 都成立 而(a2)24aa240，故函数 f(x)不可能在 R 上单调递增 综上可知函数 f(x)不可能是 R 上的单调函数【点评】利用函数单调性的定义判断函数的单调性，反之知道了函数的单调性可确定函数解析式中的参数值或范围1在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函
9、数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断时间，同时应充分注意函数的等价性2函数单调性的证明方法：定义证明法；导数证明法3判断函数的单调性的方法：(1)观察法；(2)图象法；(3)定义法；(4)复合函数法；(5)导数法注意：确定单调性一定要相对于某个区间而言，并且这个区间一定要在定义域内4运用奇、偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)f(x)f(|x|)5已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域这一隐性限制条件(2014
10、陕西)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3Bf(x)3xCf(x)x12Df(x)12xB【解析】根据函数满足的条件和函数性质逐一判断 f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y3，不满足 f(xy)f(x)f(y)，A 错误f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)3x 是增函数，B 正确f(x)x12，f(xy)(xy)12x12y12，不满足 f(xy)f(x)f(y)，C 错误f(x)12x，f(xy)12xy12x12x，满足f(xy)f(x)f(y)，但 f(x)12x不是增函数，D 错误【点评】
11、本题考查基本函数的单调性及幂指数函数的运算1已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x f(1)的实数 x 的取值范围是()A(1，1)B(0，1)C(1，0)(0，1)D(，1)(1，)B2已知函数 f(x)|xm|在区间1，2)上为单调函数，则 m 的取值范围是()Am1 或 m2 B1m2Cm2 Dm1A3已知 f(x)（2a）x1，x0，a1，a（2a）11，解得 a 的取值范围是32a2，故选 D.4若函数 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1，2上都是减函数，则 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(1，0)(0，1C(0，1)D(0，1D【解析】f(x)x
12、22ax(xa)2a2，由图象可知，当 a1 时，f(x)在1，2上是减函数 g(x)ax1，当 a0 时，在1，2上是减函数，a 的取值范围是(0，15如图所示为函数 yf(x)，x4，7的图象，则函数 f(x)的单调递增区间是1.5，3和5，6【解析】由图象知单调递增区间为1.5，3和5，66若函数 f(x)2x2mx3 在(，2上为减函数，在2，)上为增函数，则 f(1)_13【解析】f(x)的图象的对称轴为 xm42，m8.f(x)2x28x3.f(1)28313.【解析】(1)证明：设 x2x10，则 x2x10，x1x20.f(x2)f(x1)1a 1x2 1a 1x1 1x1 1x2x2x1x1x20.f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是单调递增函数 7已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若 f(x)在12，2 上的值域是12，2，求 a 的值(2)f(x)在12，2 上的值域是12，2，又 f(x)在12，2 上单调递增，f12 12，f(2)2.故12，2 是方程 f(x)x，即1a1xx 的两个根，整理得 x21ax10，由根与系数的关系得：1a21252，a25.
