1、阶段质量检测（一） 导数及其应用 （部分）(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以正弦曲线ysin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.B0，)C. D.解析：选Aycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是1,1，倾斜角的范围是.2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个 B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在
2、(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点3函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.4函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.5.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(
3、x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.6定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增
4、故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)18(本小题满分15分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1
5、)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x2时，S(x)0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以当x2时，函数S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6万元所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元19(本小题满分15分)已知函数f(x)ax22ln(1x)(a为常数)(1)若f
6、(x)在x1处有极值，求a的值并判断x1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在3，2上是增函数，求a的取值范围解：(1)f(x)2ax，x(，1)，f(1)2a10，所以a.f(x)x.x0，x20，因此，当x0，当1x1时f(x)0，x1是f(x)的极大值点(2)由题意f(x)0在x3，2上恒成立，即2ax0在x3，2上恒成立a在x3，2上恒成立，x2x2 12，6，min，a.即a的取值范围为.20(本小题满分15分)已知函数f(x)x(t0)和点P(1,0)，过点P作曲线yf(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)(1)求证：x1，x2为关于x的方程x
7、22txt0的两根；(2)设|MN|g(t)，求函数g(t)的表达式；(3)在(2)的条件下，若在区间2,16内总存在m1个实数a1，a2，am1(可以相同)，使得不等式g(a1)g(a2)g(am)g(am1)成立，求m的最大值解：(1)证明：由题意可知：y1x1，y2x2f(x)1，切线PM的方程为：y(xx1)，又切线PM过点P(1,0)，0(1x1)，即x2tx1t0，同理，由切线PN也过点P(1,0)，得x2tx2t0.由，可得x1，x2是方程x22txt0(*)的两根(2)由(*)知|MN|，g(t)(t0)(3)易知g(t)在区间2,16上为增函数，g(2)g(ai)g(16)(i1,2，m1)，则mg(2)g(a1)g(a2)g(am)g(am1)g(16)即mg(2)g(16)，即m，所以m ，由于m为正整数，所以m6.又当m6时，存在a1a2a62，a716满足条件，所以m的最大值为6.
