1、31.1数系的扩充和复数的概念预习课本P102103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？1复数的有关概念我们把集合C中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位全体复数所成的集合C叫做复数集复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式对于复数zabi，以后不作特殊说明都有a，bR，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部点睛复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成abi(a，bR)的形式，其中00
2、0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是代数形式2复数相等在复数集C中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.3复数的分类对于复数abi，当且仅当b0时，它是实数；当且仅当ab0时，它是实数0；当b0时，叫做虚数；当a0且b0时，叫做纯虚数这样，复数zabi可以分类如下：复数z点睛复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差
3、都等于0，那么这两个复数相等()答案：(1)(2)(3)2(1)i的实部与虚部分别是()A1，B1，0C0,1 D0，(1)i答案：C3复数z(m21)(m1)i(mR)是纯虚数，则有()Am1 Bm1Cm1 Dm1答案：B复数的概念及分类 典例实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当x满足即x5时，z是实数(2)当x满足即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足即x2或x3时，z是纯虚数复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z
4、abi(a，bR)时应先转化形式(2)注意分清复数分类中的条件设复数zabi(a，bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数a0，b0.z0a0，且b0.活学活用当m为何值时，复数zm2(1i)m(3i)6i，mR，是实数？是虚数？是纯虚数？解：z(m23m)(m2m6)i，(1)当m满足m2m60，即m2或m3时，z为实数(2)当m满足m2m60，即m2且m3时，z为虚数(3)当m满足即m0时，z为纯虚数.复数相等典例已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实数根，则实数m的值为_，方程的实根x为_解析设a是原方程的实根，则a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)
5、i00i，所以a2a3m0且2a10，所以a且23m0，所以m.答案一题多变1变条件若将本例中的方程改为：x2mx2xi1mi如何求解？解：设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得解得或因此，当m2时，原方程的实根为x1，当m2时，原方程的实根为x1.2变条件若将本例中的方程改为：3x2x1(10x2x2)i，如何求解？解：设方程实根为x0，则原方程可变为3xx01(10x02x)i，由复数相等定义，得：解得或因此，当m11时，原方程的实根为x2；当m时，原方程的实根为x.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的
6、条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的 层级一学业水平达标1以3i的虚部为实部，以3i2i的实部为虚部的复数是()A33iB3iCi D.i解析：选A3i的虚部为3,3i2i3i的实部为3，故选A.243aa2ia24ai，则实数a的值为()A1 B1或4C4 D0或4解析：选C由题意知解得a4.3下列命题中：若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3；若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对
7、应正确的命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选A取xi，yi，则xyi1i，但不满足xy1，故错； 错；对于，a0时，ai0，错，故选A.4复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为实数的充要条件是()A|a|b| Ba0且abCa0且ab Da0解析：选D复数z为实数的充要条件是a|a|0，故a0.5若复数cos isin 和sin icos 相等，则值为()A. B.或C2k(kZ) Dk(kZ)解析：选D由复数相等定义得tan 1，k(kZ)，故选D.6下列命题中：若aR，则ai为纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；两个虚数不能比较大小；xyi的实部、虚部分别为x，y.其中正确
8、命题的序号是_解析：当a0时，0i0，故不正确；虚数不能比较大小，故不正确；正确；xyi中未标注x，yR，故若x，y为复数，则xyi的实部、虚部未必是x，y.答案：7如果(m21)(m22m)i1则实数m的值为_解析：由题意得解得m2.答案：28已知z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，则实数m_，n_.解析：由复数相等的充要条件有答案：229设复数zlog2(m23m3)log2(3m)i，mR，如果z是纯虚数，求m的值解：由题意得解得m1.10求适合等式(2x1)iy(y3)i的x，y的值其中xR，y是纯虚数解：设ybi(bR且b0)，代入等式得(2x1)ibi(bi3
9、)i，即(2x1)ib(b3)i，解得即x，y4i.层级二应试能力达标1若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则()Aa1Ba1且a2Ca1 Da2解析：选C若复数(a2a2)(|a1|1)i不是纯虚数，则有a2a20或|a1|10，解得a1.故应选C.2已知集合M1，(m23m1)(m25m6)i，N1,3，MN1,3，则实数m的值为()A4 B1C4或1 D1或6解析：选B由题意知m1.3已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有实数根n，且zmni，则复数z等于()A3i B3iC3i D3i解析：选B由题意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i，故应选B.4若
10、复数z1sin 2icos ，z2cos isin (R)，z1z2，则等于()Ak(kZ) B2k(kZ)C2k(kZ) D2k(kZ)解析：选D由复数相等的定义可知，cos ，sin .2k，kZ，故选D.5已知z1(4a1)(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR.若z1z2，则a的取值集合为_解析：z1z2，a0，故所求a的取值集合为0答案：06若(xi)iy2i，x，yR，则x_，y_.解析：(xi)ixi1y2i，则x2，且y1.答案：217定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，求实数x，y的值解：由定义运算adbc，得3x2yyi，故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以有得得x1，y2.8已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MNM，求实数a，b的值解：依题意，得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i.由，得a3，b2，由，得a3，b2.综上，a3，b2，或a3，b2或a3，b2.
