1、复习课(一)导数及其应用(部分)导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解典例(全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析设x0，则x0，f(x)ex1
2、x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案2xy0类题通法(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8)1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，ky|x12，切线方程为：
3、y12(x1)，即y2x1.2已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：yxln x，y1，y2.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.法一：y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，y2ax0(a2)由解得答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若
4、以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0；函数f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0
5、.即f(x)0(f(x)0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件典例已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR.(1)若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性并求出单调区间解f(x)1.(1)由导数的几何意义得f(2)3，即13，a8.由切点P(2，f(2)在直线y3x1上，得f(2)3217，则2b7，解得b9，函数f(x)的解析式为f(x)x9(x0)(2)当a0时，显然f(x)0(x0)，这时f(x)在(，0)，(0，)上是增函数当a0时，由f(x)0，解得x.当x或x时，f(x)0；当x0或0x时，f(x)0
6、.f(x)在(，)，(，)上是增函数，在(0，)，(，0)上是减函数类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)计算函数f(x)的导数f(x)(3)解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间提醒求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误1设函数f(x)x23x4，则yf(x1)的单调递减区间为_解析：由f(x)x23x4，令f(x)0，即x23x40，解得4x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(4,1)，所以yf(x1)的单调递减区间为(5,0)答案：(5,0)2已知函数f(x)x22xa
7、ex.(1)若a1，求f(x)在x1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x22xex，则f(1)1221ee，f(x)x2ex，f(1)12e1e，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(1e)(x1)，即y(1e)x.(2)f(x)在R上是增函数，f(x)0在R上恒成立，f(x)x22xaex，f(x)x2aex，于是有不等式x2aex0在R上恒成立，即a在R上恒成立，令g(x)，则g(x)，令g(x)0，解得x3，列表如下：x(，3)3(3，)g(x)0g(x)减极小值增故函数g(x)在x3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min，
8、所以a，即实数a的取值范围是.导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大1导数与函数单调性、极值的关系(1)f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(x0)0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例已知函数f(x)ax3bxc
9、在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9
10、c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.类题通法1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值1已知函数f(x)xaln x(
11、aR)，试求函数的极值解：f(x)1，x0.(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值2已知函数f(x)(x1)，(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)，x1，ln x0，f(x)0.故函数f(x)在1，)上单调递减(2)x1，f(x)k，令g(
12、x)，g(x).再令h(x)xln x，则h(x)1.x1，则h(x)0，h(x)在1，)上单调递增h(x)minh(1)10，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，k2.故实数k的取值范围为(，2生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档(1)解决优化问题的策略要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(2)求实际问题的最大(小)值时，一定
13、要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去(3)在实际问题中，由f(x)0常常仅得到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100
14、2rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积
15、最大类题通法利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域(2)求方程f(x)0的所有实数根(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值1书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析：设每次进书x千册(0x150)，手续费与
16、库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y3040，y20，当0x15时，y0，当15x150时，y0.故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少答案：1015 0002一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x(x0)千米/时的燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103，可得k.Qx3.总费用yx2.y.令y0，得x2
17、0.当x(0,20)时，y0，此时函数单调递减，当x(20，)时，y0，此时函数单调递增当x20时，y取得最小值，此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小1函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A.B0C. D1解析：选A由f(x)ex(cos xsin x)，则在点(0，f(0)处的切线的斜率kf(0)1，故倾斜角为，选A.2已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()Ac BcCc Dc解析：选A由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c0，解得c.3函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1 De解析
18、：选C函数yln xx的定义域为(0，)，又y1，令y0得x1，当x(0,1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e)时，y0，函数单调递减当x1时，函数取得最大值1，故选C.4函数f(x)x22mln x(m0)的单调递减区间为()A(0，)B(0，)C(，)D(0，)(，)解析：选B由条件知函数f(x)的定义域为(0，)因为m0，则f(x).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)5已知函数f(x)x32x22x，若存在满足0x03的实数x0，使得曲线yf(x)在点(x0，f
19、(x0)处的切线与直线xmy100垂直，则实数m的取值范围是()A6，) B(，2C2,6 D5,6解析：选Cf(x)x24x2(x2)26，因为x00,3，所以f(x0)2,6，又因为切线与直线xmy100垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是2,66已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2C4 D2解析：选D由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2或x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f(x)在x2处取得极小值，a2.7已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)
20、的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：38若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_解析：y3x22ax，由题意知3x22ax0在区间(0,2)内恒成立，即ax在区间(0,2)上恒成立，a3.答案：3，)9已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_解析：f(x)3x22ax，根据已知f(2)0，得a3，即f(x)x33x24.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在1,1上的最小值为f(0)4，f(n)3n26n在1,
21、1上单调递增，所以f(n)的最小值为f(1)9. f(m)f(n)minf(m)minf(n)min4913.答案：1310请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底
22、面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.11已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若函数f(x)的图象在x2处的切线方程为yxb，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，)为增函数，求a的取值范围解：(1)因为f(x)x(x0)，又f(x)在x2处的切线方程为yxb，所以解得(2)若函数f(x)在(1，)上恒成立则f(x)x0在(1，)上恒成立，即ax2在(1，)上恒成立所以有a1，故a的取值范围为(，112设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2
23、)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln 1，即1x.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.