1、（13）寒假提前学：平面向量基本定理及坐标表示2022-2023学年高一数学人教A版（2019）寒假作业基础知识1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.2.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.3.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.4.平面向量的坐标运算：设向量，则有下表：运算文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量坐标公式一个
2、向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知，则5.平面向量共线的坐标表示（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.6.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.7.向量模的坐标表示：（1）若向量，则；（2）若点，向量，则.由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.8.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，是与的夹角，则.9.向量垂直的坐标表示：设向量，则.练习1.在梯形ABCD中， ，E是边CD上的点，且.若记，则( )A.B.C.D.2.如图，在正
3、方形ABCD中，M是BC的中点.若，则的值为( )A.B.C.D.23.已知向量.若，则( )A.（2，-4）B.（-2，4）C.（2，4）D.（-2，-4）4.已知向量，且，则实数( )A.-1B.0C.1D.任意实数5.已知，且，则向量与夹角的大小为( )A.B.C.D.6.在中，N是AC边上一点，且，P是BN上一点.若，则实数( )A.B.C.D.17.（多选）已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是的有( )A.B.C.D.8.（多选）如图，在平面四边形中，等边三角形的边长为2，M为边上一动点，记，则的取值可以是( )A.-4B.C.5D.109.已知向量，若非零向量与共线，
4、其中，则等于_.10.设D，E分别是的边AB，BC上的点， ，若（为实数），则_.11.已知向量.若向量与的夹角为，则_.12.设A，B，C，D为平面内的四点，且.（1）若，求D点的坐标；（2）设向量，若向量与平行，求实数k的值.答案以及解析1.答案：A解析：.故选A.2.答案：B解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则，故，解得，所以.故选B.3.答案：A解析：因为向量，所以，即，则.故选A.4.答案：B解析：.由，得，解得.故选B.5.答案：C解析：设与的夹角为，由，可知，则.因为，所以.故选C.6.答案：B解析：如图，因为，所以，则.又因为B，P，N三点共线，所以，故.7.答案：ABC解析：对于A，由，得，则，即，则，即，则A正确；对于B，由，则，即，则，即，则B正确；对于C，则，则，即，则C正确；对于D，由，则，则，即，则D不正确.故选ABC.8.答案：CD解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设.则，.，在上为增函数，.故选CD.9.答案：解析：由，可得.因为与共线，所以，即可得.故答案为.10.答案：解析：易知，所以.11.答案：0解析：向量，且向量与的夹角为，则.故答案为0.12.解析：（1）设.因为，所以，整理得，所以解得所以.（2）因为，所以，.因为向量与平行，所以，解得.
