1、概率在决策中的应用典例某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项调查结果如下表所示：男女总计赞成18927反对122537不发表看法201636总计5050100随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？解用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(AB)P(A)P(B)0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.概率在决策问题中的应用(1)由于概率反映了随机事件
2、发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等活学活用某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元请你按公司的要求设计一个摸彩方案解：可以提出如下2个方案(答案
3、不唯一)(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖.概率在整体估计中的应用典例为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物解设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A带有记号的动物，
4、则由古典概型可知，P(A).第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m100，由概率的统计定义可知P(A)，故，解得x12 000.所以，保护区内约有12 000只该种动物利用频率与概率的关系求未知量的步骤(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为.(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为.(3)用频率近似等于概率，建立等式.(4)求得n.活学活用若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋能孵化出多少只小鸡解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A鸡蛋能孵化出小鸡，此试验
5、为古典概型，则P(A)设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，则P(A)，由得，解得m16 000.所以20 000个鸡蛋大约能孵化出小鸡16 000只层级一学业水平达标1若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为()A7 840B160C16 D784解析：选B在8 000件产品中，合格品约有8 00098%7 840件，故次品约有8 0007 840160(件)2如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影区域的面积为()A. B.C. D无法计算解析：选B在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴
6、影区域内的概率P，又因为S正方形4，所以S阴影，故选B.3设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从_箱中取出的解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可知，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的答案：甲4为了检测山上某个森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从山上捕捉
7、松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量解：假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从山上任捕一只，设事件A为“带有记号的松鼠”，则由古典概型可知P(A).第二次从山上捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m5，由此知P(A)，由可得，所以n1 000.所以，森林内约有松鼠1 000只层级二应试能力达标1“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是()A可能北京今天降雨了，而上海没有降雨B可能上海今天降雨了，而北京没有降雨C可能北京和上海
8、都没有降雨D北京降雨的可能性比上海大解析：选D因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确2调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的()A3.33% B53%C5% D26%解析：选A应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占3.33%.3乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车
9、，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于()A. B.C. D.解析：选A因为各路电车先停靠的概率都等于，所以乘客等候的电车首先停靠的概率为.4某人手表停了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他等待不超过一刻钟的概率为()A.B.C. D.解析：选C由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在060之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P.5某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个
10、面落在桌面上的次数(如下表)如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是_.石块的面12345频数3218151322解析：第四面落在桌面上的概率为P0.13.答案：0.136地球上的山地、水和平原面积比约为361，那么太空的一块陨石恰好落在平原上的概率为_解析：因为平原所占比例为，所以陨石恰好落在平原上的概率为.答案：7在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，在该三角形内任取一点，则该点到直角顶点A的距离不大于1的概率为_解析：由已知可得SABC222，该三角形内到点A距离不大于1的点构成扇形面积S1，所以P.答案：8.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)转动转盘，当转
11、盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜猜数方案从以下三种方案中选一种：A猜“是奇数”或“是偶数”B猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性解：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”或C，猜“是大于4的数”“不是4的整数倍数”的概
12、率为0.8，“是大于4的数”的概率为0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜的机会大(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的(3)设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性9小红家的晚报在下午5：306：30之间的任何一个时间随机地被送到，小红一家人在下午6：007：00之间的任何一个时间随机地开始进晚餐(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪种可能性更大些？(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？解：(1)晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大些(2)如图所示，试验的所有可
13、能结果与图中区域D(右上方小正方形)内的所有点一一对应，晚报在晚餐开始之前送到等价于晚报到达时间y晚餐开始时间x，该事件的结果对应图中的阴影部分(区域d)试验为几何概型右上方小正方形的面积设为1，则d的面积为，于是所求事件的概率为.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件中随机事件的个数为()连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；某人买彩票中奖；已经有一个女儿，第二次生男孩；在标准大气压下，水加热到90 C会沸腾A1B2C3 D4解析：选C都
14、有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件对于，在标准大气压下，水加热到90 C会沸腾，是不可能事件故选C.2从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个黑球与都是红球B至少有一个黑球与都是黑球C至少有一个黑球与至少有一个红球D恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选DA中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件故选D.3从分别写有A，B，C
15、，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为()A. B.C. D.解析：选B试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P.4在正方体ABCDA1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥OABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是()A. B.C. D.解析：选B设正方体的体积为V，则四棱锥OABCD的体积为，所求概率为.5在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为()A. B.C. D.解析：选B该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2
16、m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为.6从的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是()A. B.C. D.解析：选C符合要求的是，共8个，而集合共有子集2532个，P.7连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x2y217内部的概率是()A. B.C. D.解析：选B点P(m，n)的坐标的所有可能为6636种，而点P在圆x2y217内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为.8从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶
17、点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.解析：选D从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为.故选D.9甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是()A. B.C. D.解析：选C甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为.10有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C.
18、D.解析：选A记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件因此P(A).11在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A. B.C. D.解析：选C分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P.12设一元二次方程x
19、2BxC0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为()A. B.C. D.解析：选D因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况由方程有实数根知，B24C0，显然B1.当B2时，C1(1种)；当B3时，C1,2(2种)；当B4时，C1,2,3,4(4种)；当B5时，C1,2,3,4,5,6(6种)；当B6时，C1,2,3,4,5,6(6种)故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻
20、，用随机模拟的方法来估计圆周率的值如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中的估计值是_解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知，即，解得3.104.答案：3.10414某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为451，其中青年教师有120人现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为_解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为451, 知该校共有教师120300(人)采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P.答案：
21、15如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是_解析：连接AC交弧DE于点F，BAC30，P.答案：16点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧长为2，点B落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为.答案：三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：抽取件
22、数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率(1)求次品出现的频率；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)0.05.(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(10.05)x1 000，得x1 053.至少需进货1 053件衬衣18(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同
23、学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P(A).(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4
24、,6，共8个，所以P(B).19(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率
25、解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c0.1.从而a10.20.450.10.150.1.所以a0.1，b0.15，c0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(
26、y1，y2)，共4个故所求的概率P(A)0.4.20(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2y210上的点P
27、的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2y210上的概率为.(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为.21(本小题满分12分)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2
28、)其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A.因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A).(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B.事件B由4个基本事件组成，因而P(B).地区ABC数量501501
29、0022.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.