1、四川省内江市2020届高三数学3月网络自测试题 文（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合,根据交集定义即可求得答案.【详解】 又 故选:D.【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得在方向上的投影.【详解】在方向上的投影为.
2、故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.3.已知复数，则复数的虚部为A. 1B. C. iD. 【答案】A【解析】【分析】化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.4.已知等差数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质求得的值，由此求得的值.【详解】由于等差数列满足，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查诱导公式，属于基础题.5.已知,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
3、分析】因为,由得:,即可求得答案.【详解】 根据图像可知:又 ,根据图像,由 综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.6.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该
4、校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份ABCDE20162018由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图均为直角三
5、角形，俯视图为直角梯形，则在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图画出原图，并判断出四个侧面是否为直角三角形.【详解】画出四棱锥的直观图如下图所示，由三视图可知，三角形和三角形是直角三角形.在三角形中，则，所以三角形是直角三角形.（也可用平面，则平面，得到.）在三角形中，不满足勾股定理，所以三角形不是直角三角形.所以四棱锥的侧面中，直角三角形有个.故选：C【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查直角三角形的判断，属于基础题.8.设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值为（ ）A. B. C
6、. D. 【答案】A【解析】【分析】通过函数图像变换求得的表达式，根据为偶函数求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】依题意，函数的图像向左平移个单位长度，得到函数，由于为偶函数，所以，解得（），由于，所以当时，的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.9.数列:称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数时,输出结果恰好为“兔子数列”的第项,则图中空白处应填入
7、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由数列:可得数列,.结合程序框图即可得出答案.【详解】 由数列: 可得数列,结合程序框图可得空白处为:故选:B.【点睛】本题考查斐波那契数列理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.10.若直线是曲线的切线，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数等于切线的斜率，结合切点坐标列方程，解方程求得的值.【详解】依题意的导函数，令，解得，故切点为，代入直线方程得.故选：C【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，考查导数的计算，属于基础题.11.已知分别是双曲线的左、右焦点，点P为渐近线上
8、一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出双曲线的图像，利用等边三角形的性质可知渐近线的斜率为，即，从而可求离心率.【详解】双曲线的图像如下图，由为等边三角形可知，渐近线OP的倾斜角为，则渐近线的斜率为，即，则.故选：A.【点睛】本题考查双曲线求离心率的方法，注意充分利用几何性质可简化计算，属基础题.12.在三棱锥中，面，且在三角形中，有（其中为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为.在三角形中，（其中为内角所对的边）.根据正弦定理可得，即.由正弦
9、定理，得三角形的外接圆的半径为.面该三棱锥外接球的表面积为故选A.点睛：本题考查正弦定理解三角形及三棱锥外接球的表面积，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的表面积.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线与直线平行，则_【答案】【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值
10、.【详解】由于直线与直线平行，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题.14.若，则_.【答案】【解析】【分析】由，求出cos（），由此利用诱导公式能求出的值【详解】，cos（）12sin2（），又由诱导公式得cos（），故答案为【点睛】本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角公式和诱导公式的合理运用15.已知函数，且，则实数a的值等于_.【答案】【解析】【分析】先求出的值,然后分和两种情况,分别代入对应的解析式，解关于的方程即可.【详解】当时，因为，所以，即，得到；当时，因为，所以，即，方程无解.综上所述，.故答案为:【点睛】本题考查
11、利用分段函数的解析式求参数及指数型函数与对数型函数的性质;属于中档题.16.已知F是椭圆 =1的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意知,先分别求出过点,斜率为和斜率不存在时所对应的直线与椭圆的交点,然后根据直线绕定点旋转斜率的变化情况,找出符合题意的点的位置,进而求出直线的斜率变化范围即可.【详解】由椭圆方程为，可知，当过点,且斜率为时,此时所对应的直线为，由，解得或,所以直线与椭圆的交点为，因为过作轴垂线与椭圆交于，所以当点在弧上时，符合题意，斜率的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,
12、结合圆锥曲线求直线斜率范围,属于中档题;解决圆锥曲线范围问题一般有两种方法:几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决;将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数的有界性、函数单调性以及均值不等式等解答.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列满足,.（1）证明:数列为等比数列;（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由,可得,根据等比数列概念即可得出答案;（2）由（1）知,可得,采
13、用分组求和方法,即可求得数列的前项和.【详解】（1） ，则，又，是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，故其前项和为:. 数列的前项和为:.【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前项和公式和等差数列前项和公式,考查了计算能力,属于基础题.18.随着时代的进步，科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某网店统计了年至年（年时）在该网店的购买人数（单位：百人）的数据如下表：年份（1）依据表中给出的数据，求出关于的回归直线方程（2）根据中的回归直线方程，预测年在该网店购物的
14、人数是够有可能破万？【答案】（1）；（2）不会破万.【解析】【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令，求得年人数的估计值，由此判断出不会破万.【详解】（1）由表中数据可得，所以关于的回归直线方程为：（2）年时，此时，所以年在该网店购物的人数不会破万.【点睛】本小题主要考查回归直线方程计算，考查用回归直线方程进行预测，属于常考题.19.如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD.（1）证明：平面平面PAC；（2）若异面直线PD与AB所成角的余弦值为，且，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面ABCD为菱形，可知，结合面，可得
15、，从而可证明平面，结合平面，可证明平面平面；（2）由，可知PD与CD所成角的余弦值为，在中，利用余弦定理可求得，进而求得四棱锥体积为.【详解】（1）证明：底面ABCD为菱形，.又面，.又，平面，又平面平面平面；（2），所以异面直线PD与AB所成角的余弦值，即PD与CD所成角的余弦值，即.设，在中，底面为菱形，中，.中，由余弦定理，又，从而.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆:的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为,且的面积为.（1）求椭圆的方程;（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,若,求直
16、线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）离心率为,可得,的面积为,可得,根据椭圆：,可得,即可求得椭圆的方程;（2）设直线:,联立椭圆方程和直线方程,通过韦达定理即可求得直线的方程.【详解】（1） 离心率为,可得又的面积为,可得根据椭圆：,可得联立解得:,， 椭圆方程为（2）设直线:，由 ,消掉得:，根据韦达定理:,， ， ，故，即，即，解得（舍）或， 直线:.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问
17、题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数(1)若,求的极值;(2)若,都有成立,求k的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）.【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间；（2）求出函数的导数，通过讨论的取值范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据，求出的取值范围即可【详解】（1）时，令，解得，时，函数取得极小值，；无极大值；（2），当时，所以，当时，当时，则在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以在区间上的最小值为，且，符合题意；当时，令，得或，所以，当时，在区间上，为增函数，所以在区间上的的最小值为，且
18、，符合题意；当时，当时，在区间上是减函数，所以，不满足对任意的，恒成立，综上，的取值范围是【点睛】本题考查函数的单调性、极值与最值的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.请考生在第两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为,圆的直角坐标方程为.（1）求与在第一象限的交点的极坐标;（2）若点,分别为圆,上位于第一条限的点,且,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公
19、式,由圆:,可得极坐标方程为,即可求得与在第一象限的交点的极坐标;（2）设点的极坐标为,在中,由余弦定理求得,结合、都要在第一象限,即可求得的取值范围.【详解】（1）圆:,其极坐标方程为,联立:得, 所求点的极坐标为（2）设点的极坐标为在中,由余弦定理得:,又、都要在第一象限, .【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式 ,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等.23.已知函数.（1）若对任意恒成立,求实数的取值范围；（2）记函数的最小值为,若,且,证明:.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设,画出其函数图像,当恒成立时,结合函数图像,即可求得实数的取值范围;（2）,当且仅当时等号成立,得,故,原不等式等价于,由柯西不等式即可求得答案.【详解】（1）设 恒成立 其图像如图所示:故， （2），当且仅当时等号成立，即，原不等式等价于,由柯西不等式得:，当且仅当,时等号成立， 成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,