1、第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运
2、算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数，使得ba.1两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线(或线段)平行有何
3、不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上30与a0时，a的值是否相等？提示：相等，且均为0.4当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立吗？提示：成立1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：选D可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A、B、C选项都不正确，故D正确3D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D
4、解析：选A如图，由于D是AB的中点，所以4(教材习题改编)化简的结果为_解析：()().答案： 5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则的值为_解析：ab与(b3a)共线，存在实数，使ab(3ab)，即答案： 易误警示(四)平面向量线性运算中的易误点典例(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命
5、题的个数是()A1B2C3D4解题指导利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断解析对于，因为a与b给定，所以ab一定存在，可表示为c，即cab，故abc成立，正确；对于，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知正确；对于，由题意必有b和c表示不共线且长度不定的向量，由于为正数，故bc不能把任意向量a表示出来，故错误；对于，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|b|c|a|，故错误，因此正确的个数为2.答案B名师点评1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为也是正确的，从而错选C.2进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶
6、点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解下列命题中正确的是()A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|ab|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线解析：选D若a0，b0，此时a，b共线，但对任意实数都不满足ba，故选项A不正确；0而不是0，故选项B不正确；当a，b中至少有一个为0时，两个等号同时成立，故选项C不正确；因为向量a与b不共线，所以a，b，ab与ab均为非零向量若ab与ab共线，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，则方程组无解，故假设不成立，即ab与ab不共线，故选D.