1、第1课时圆的极坐标方程核心必知1曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程2圆的极坐标方程圆心为C(a，0)(a0)半径为a的圆的极坐标方程为2acos_问题思考1在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如给定曲线，设点P的一极坐标为(，)，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，
2、但点P的另一个极坐标(，)就不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可2圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是什么？圆心在点处且过极点的圆的方程又是什么？提示：圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为r；圆心在点(a，)处且过极点的圆的方程为2asin_(0)设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程精讲详析本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹方程设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：设P(
3、，)为轨迹上的一点，则OP，xOP.在直角三角形ODP中，OPODcos ，OP，OD2r，2rcos (0，2r)这就是所求轨迹的方程(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：建立适当的极坐标系设P(，)是曲线上任一点列出，的关系式化简整理(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键1设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，过M作MPMA交OA于P，求P点的轨迹方程解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图设定圆O的半径为r，OMa，P(，)是轨迹上任意一点MPMA，|MA|2|MP|2|PA|2.由余弦
4、定理，可知|MA|2a2r22arcos ，|MP|2a222acos .而|PA|r，由此可得a2r22arcos a222acos (r)2.整理化简，得.求圆心在(0，0)，半径为r的圆的方程精讲详析在圆周上任取一点P(如图)设其极坐标为(，)由余弦定理知：CP2OP2OC22OPOCcos COP，r2220cos (0)故其极坐标方程为r2220cos (0)(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法(2)特别地，当圆心在极轴上即00时，方程为r2220cos ；若再有0r，则其方程为20cos 2rcos ；若0r，00，则方程为2rc
5、os(0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置2在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P是OQ中点，求P的轨迹解：(1)如图，设Q(，)为圆上任意一点，连接DQ、OQ，则|OD|6，DOQ，或DOQ，DQO.在RtODQ中，|OQ|OD|cos ()，即6cos ()(2)若P的极坐标为(，)，则Q点的极坐标为(2，)26cos ()，3cos ()P的轨迹是圆.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)cos21；(4)2cos 24；(5).精讲详析本题考查极坐标与直角坐标的互化公式(1)将xc
6、os ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos .化简，得sin 24cos .(2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10，得(sin )2(cos )22cos 10，化简，得22cos 10.(3)cos 21，1，即cos 2.x2.化简，得y24(x1)(4)2cos 24，2cos 22sin 24，即x2y24.(5)，2cos 1.2x1.化简，得3x24y22x10.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进
7、行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验3把极坐标方程cos1化为直角坐标方程解：由cos ()1得cos sin 1，将cos x，sin y代入上式，得x1，即xy20.利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解决问题，是高考命题的重点题型之一湖南高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考命题的一个新亮点考题印证(湖南高考)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_命题立意本题考查
8、将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法解析2sin ，22sin ，x2y22y，即曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.答案：x2y22y0一、选择题1(北京高考)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B.C(1，0) D(1，)解析：选B因为该圆的直角坐标方程为x2y22y，即为x2(y1)21，圆心的直角坐标方程为(0，1)，化为极坐标是(1，)2极坐标方程cos所表示的曲线是()A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆解析：选Dcos ()cos sin ，2cos sin ，x2y2xy，这个方程表示一个圆3在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin ，过点作曲线C的切线，则切线长为
9、()A4 B. C2 D2解析：选C4sin 化为普通方程为x2(y2)24，点(4，)化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2.4(安徽高考)在极坐标系中，点到圆2cos 的圆心的距离为()A2 B. C. D.解析：选D由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆2cos 的方程为x2y22x，即(x1)2y21，则圆心到点(1，)的距离为.二、填空题5(江西高考)若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析：，2x2y2，22sin 4cos x2y22y4xx2
10、y24x2y0.答案：x2y24x2y06在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R，则圆C的极坐标方程为_解析：将圆心C(2，)化成直角坐标为(1，)，半径R，故圆C的方程为(x1)2(y)25.再将C化成极坐标方程，得(cos 1)2(sin )25.化简，得24cos ()10，此即为所求的圆C的极坐标方程答案：24cos ()107(天津高考)已知圆的极坐标方程为4cos ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则|CP|_解析：圆4cos 的直角坐标方程为x2y24x，圆心C(2，0)点P的直角坐标为(2，2)，所以|CP|2.答案：28已知曲线C与曲线5cos 5sin 关于极轴对称，则
11、曲线C的极坐标方程是_解析：曲线5cos 5sin 10cos ()，它关于极轴对称的曲线为10cos ()10cos ()答案：10cos ()三、解答题9.如图，在圆心极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程解：设M(，)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos 得08cos 0，所以28cos ，即4cos ，故所求轨迹方程是4cos .因为xcos ，ysin ，由4cos 得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0为轨迹的直角坐标方程1
12、0指出极坐标方程2cos，2cos，2cos 代表的曲线，并指出它们之间的关系解：2cos ()是以点(1，)为圆心，半径为1的圆2cos ()是以点(1，)为圆心，半径为1的圆2cos 是以点(1，0)为圆心，半径为1的圆因此曲线2cos ()，可看成曲线2cos 绕极点顺时针旋转得到的曲线2cos ()是由曲线2cos 绕极点逆时针旋转得到的曲线11已知半径为R的定圆O外有一定点O，|OO|a(aR)，P为定圆O上的动点，以OP为边作正三角形OPQ(O、P、Q按逆时针方向排列)，求Q点的轨迹的极坐标方程解：如图所示，以定点O为极点，射线OO为极轴正向建立极坐标系，则O的极坐标方程是2(2acos )a2R20.设Q(，)，则有P(，)，又P在O上，22acos ()a2R20.即所求Q点的轨迹方程是：22acos ()a2R20.