1、专题五立体几何必考点一空间几何体的三视图、表面积与体积高考预测运筹帷幄1以三视图为背景的几何体的识别问题2空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积3球及有关组合体的表面积与体积速解必备决胜千里1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”2(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则体对角线长为 (2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2R.(3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PB
2、b，PCc，则4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)速解方略不拘一格类型一有关几何体的三视图的计算例1(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C. D.解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以，故选D.速解法：如图所示，VAA1B1D1VABDA1B1D1V正方体VAA1B1D1VABCDB1C1D1答案：D方略点评：基本法是具体计算几何体的体积
3、，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案.(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2r2r24r22r25r24r2.由5r24r21620，得r2.故选B.速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“”，只有圆柱的轴截面面积不含“”，即2r2r16，r2，故选B.答案：B方略点评：(1)基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r.
4、(2)此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.1如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B.C. D.解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为22432234 cm3，圆柱体毛坯的体积为32654 cm3，所以切削掉部分的体积为543420 cm3，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为，故选C.答案：C2(2016高考全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视
5、图，则该多面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.答案：B类型二球及其组合体例2(1)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离
6、最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.速解法：设球的半径为r, 则VOABCr2hr336，故r6.故S球4r2144.答案：C方略点评：基本法是根据直观图，找到C点位置.,速解法是利用VOABC的表达式的代数关系(r3)直接求得r.(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.解析：基本法：如图所示，R2(4R)22，R2168RR22，R，S表4R24，选A.速解法：由几何体的直观图可看出R2(h2R)S表4R216，只
7、能选A.答案：A方略点评：(1)基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立R的方程求R.速解法是估算球的半径的取值范围从而想到S表的范围而选答案，巧而快.(2)有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.1如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3 D.cm3解析：基本法：设球半径为R，如图所示，B为弦的中点，OAOCR，由垂径定理，知OBA为直角三角形BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为53(cm3)
8、，故选A.答案：A2(2016高考全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B.C8 D4解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2Ra(R为正方体外接球的半径)，所以R，故所求球的表面积S4R212.答案：A终极提升登高博见选择题、填空题的解法范围分析法方法诠释对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内注意事项从条件分析变量范围时要尽量“精准”限时速解训练十三空间几何体的三视图、表面积与体积(建议用时40
9、分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：选A.设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OABC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱C四棱锥 D四棱柱解析：选B.原几何体为如
10、图所示的三棱柱，故选B.3一个几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为()解析：选C.若几何体的俯视图为C选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为C选项，故选C.4某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则()A2A，且4AB.A，且4AC2A，且2A D.A，且A解析：选D.由俯视图可知，该四棱锥的底面边长为，由主视图可知四棱锥的高为4，所以其侧棱长为，故选D.5如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为()A2 B3C4 D5解析：选C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知ABBD
11、2，BCCD，AD2，AC，故ABC，ACD，ABD，BCD均为直角三角形，故选C.6半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是()AR2 B2R2C3R2 D4R2解析：选B.设球的内接圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则2r2R2，该圆柱的侧面积为2rl2R2，当且仅当lR时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是2R2，又球的表面积为4R2，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4R22R22R2，故选B.7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为()A17 B22C142 D222解析：选D.作出四棱锥PABCD的直观图如图所示，AB4，BC2，
12、PC3，S矩形ABCD248，SBCP233，SABP42，SCDP346，SADP25，故四棱锥的表面积S83265222，故选D.8一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D32解析：选C.由三视图可得该几何体是平放的直四棱柱，底面是上底边长为2、下底边长为4、高为4的等腰梯形，四棱柱的侧棱长(即高)为4，所以一个底面面积是(24)412，侧面积为422444248，故表面积是122248488，故选C.9在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C
13、. D2解析：选C.过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.10(2016山东淄博一模)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方体，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是()A. B.C. D.解析：选A.由三视图可知该几何体为一正方体挖去一个倒置且高为的正四棱锥，所以该几何体的体积为111.故选A.11(2016吉林长春一
14、模)下图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. B.C(42) D(84)解析：选D.该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即S4r2rl84(84).故选D.12某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为()A2 B4C8 D16解析：选D.该几何体的直观图如图所示，由直观图可知PA2102y2x2(2)2，x2y2128.又128x2y22xy，当且仅当xy时xy取得最大值，此时hPA6，VSABC|PA|28616.二、填空题(把答案填在题中横线上)13(2016山东临沂模拟)四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为
15、2,3,4.若四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为_解析：依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为3，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为2,4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4,2,3的长方体的一部分，则其外接球的半径为R，故这个球的表面积为S4R24229.答案：2914(2016山东德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是_解析：观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边长分别为3,4，它们的高均为 2，所以该几何体的体积为2224328.答案：
16、815设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1、h1，r2、h2，由侧面积相等，即2r1h12r2h2，得.又，所以，则.答案：16一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为2，高为2，下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V2221244.答案：必考点二空间直线与平面的位置关系高考预测运筹帷幄1空间线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质2空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定
17、和性质3空间异面直线的判定，求解异面直线所成的角速解必备决胜千里1经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(唯一性)2如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行(线面线线)3三个平面两两垂直，其交线也两两垂直(面面线线)4两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面(线线线面)5一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面(面面线面)6两个相交平面同垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面(面面线面)7垂直于同一条直线的两个平面平行(线面面面)8一个平面及该平面外的一条直线，同垂直于第二个平面，则直线与该平面平行(面面线面)(反之也成立)速解方
18、略不拘一格类型一空间位置关系的判定例1(1)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：基本法：若，则mn，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确将已知条件转化到正方体中，易知与不一定垂直，但与的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.速解法：构造图形如图所示，知D项正确答案：D方略点评：基本法是逐个排除选项，利用线面关系定理进行推证.速解法是根据已知条件画出适合题意的图形，进行证明.(2)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则
19、nD若m，mn，则n解析：基本法：对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面内，故C不正确；对D，n还可能在内，故D不正确速解法：在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确答案：B方略点评：判断线面的位置关系，一种方法是根据判定定理或性质定理进行理论推证，另一种方法，把线面放置在具体的几何体中进行判定.1(2016山东莱芜二模)设m，n是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是()A当n时，“n”是“”的充要条件B当m时，“m”是“”的充分不必要条件C当m时，“n”是“mn”的必要不充分条件D当m时，“n”是“mn”的
20、充分不必要条件解析：基本法：C中，当m时，若n，则直线m，n可能平行，可能异面；若mn，则n或n，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件，故C项不正确答案：C2(2016高考全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平
21、面相交于直线l，则ln，由m知ml，从而mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确答案：终极提升登高博见选择题、填空题的解法反证法方法诠释对于要证的结论，假设不成立，以此为突破口，进行推理，最后得出矛盾的方法是反证法方法特点对于从正面不易说明的结论，可考虑反证法，如证明异面直线等，产生矛盾可以是与已知矛盾，也可以与定理矛盾.限时速解训练十四空间直线与平面的位置关系(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A若l，则B若，则lmC若l，则 D若，则lm解析：
22、选A.考生可借助笔和桌面，不难通过空间想象加以判断解决，也可借助正方体举反例，直观地排除不正确的选项，从而使问题获解如：平面B1BCC1平面ABCD，但B1C不垂直BC，可排除B；D1C1平面ABCD，但平面D1DCC1不平行于平面ABCD，可排除C；平面A1B1C1D1平面ABCD，但A1B1与AC不平行，可排除D，故选A.2设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，解析：选C.A中，若，a，b，则a或a，不能得到ab，故A错；B中，a，则a，又b，则ab，故B错；C中，若b，则b，又a，则ab，故C正确；D中，a与b可能垂直
23、、平行或异面，故D错综上所述，故选C.3在长方体A1B1C1D1ABCD中，直线A1C与平面BC1D交于点M，则M为BC1D的()A垂心 B内心C外心 D重心解析：选D.连接AC，与BD交于点O，则平面ACC1A1平面BC1DC1O.又MA1C平面ACC1A1，M平面BC1D，MC1O，故C1，M，O三点共线而OCA1C1，OMCC1MA1，又C1O是BC1D的中线，M为BC1D的重心，故选D.4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析：选C.A，B，D中直线m可能在平面内也可能与平面相交或平行；由线面垂直的判定
24、与性质可知C正确，故选C.5设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是()A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则解析：选C.A项中可能出现，B项中可能出现，C项正确，由m知平面内存在直线l，使得ml，则ln.因为n，所以l，因为l，所以，故选C.6对于直线m，n和平面，使m成立的一个充分条件是()Amn，n Bm，Cm，n，n Dmn，n，解析：选C.对于A，直线m可能位于平面内，此时不能得出m；对于B，直线m可能位于平面内，且与平面，的交线平行，此时不能得出m；对于C，由m，n得mn，又n，因此m；对于D，直线m可能是平面，的交线，此时不
25、能得知m，故选C.7已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有()A0条 B1条C2条 D无数条解析：选B.如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MNAA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN平面ABCD，故选B.8已知直线l与平面平行，则下列结论错误的是()A直线l与平面没有公共点B存在经过直线l的平面与平面平行C直线l与平面内的任意一条直线都平行D直线l上所有的点到平面的距离都相等解析：选C.直线l与平面平行，则直线l不可
26、能与平面内的任意一条直线都平行，故选C.9已知a，b，c是三条不同的直线，命题“ab且acbc”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选C.依题意，当a，b均为平面，c为直线时，此时相应的结论正确；当a，c均为平面，b为直线时，此时相应的结论不正确；当b，c均为平面，a为直线时，此时相应的结论正确；当a，b，c均为平面时，此时相应的结论正确综上所述，在所得的命题中，真命题有3个，故选C.10设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是()Ac，若c，则Bb，c，若ca，则bcCb，若b，则Da，b
27、，abP，ca，cb，若，则c解析：选C.利用排除法求解A的逆命题为：c，若，则c，成立；B的逆命题为：b，c，若bc，则c，成立；C的逆命题为：b，若，则b，不成立；D的逆命题为：a，b，abP，ca，cb，若c，则，成立，故选C.11已知平面，且与的距离为d(d0)，m，则在内与直线m的距离为2d的直线共有()A0条 B1条C2条 D无数条解析：选C.由题意得平面内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面的交线，易知交线有2条，故选C.12在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DFAC1，则下述结论：AC1BC；AFFC
28、1；平面DAC1平面ACC1A1，其中正确的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.不妨设棱长为2.连接AB1，则AB1AC12，AC1B190，即AC1与B1C1不垂直，又BCB1C1，错；连接AD，DC1，在ADC1中，ADDC1，而DFAC1，F是AC1的中点，对；由知在ADC1中DF，连接CF，CD，易知CF，而在RtCBD中，CD，DF2CF2CD2，DFCF，又DFAC1，CFAC1F，DF平面AA1C1C，对，故选C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13(2016山西太原二模)设，为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：若，则；若，且l，则l；若直线l与平面内的无数条直
29、线垂直，则直线l与平面垂直；若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：借助于正方体易知正确；对于，若平面内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面不垂直，所以错；中的不共线的三点有可能是在平面的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以错，故填.答案：14(2016辽宁五校联考)四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对解析：由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，
30、ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对答案：615已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系可能是_解析：由题意，若al，则利用线面平行的判定可知a，a，从而直线b和c平行；若alA，则a在，内的射影直线b和c相交于点A；若aB，ac，且直线a和l垂直，则a在，内的射影直线b和c相交，否则直线b和c异面综上所述，b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案：相交、平行或异面16点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正确命题的序号是
31、_解析：由题意可得，直线BC1直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C，所以直线BC1平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不改变因为VAD1PCVPAD1C，所以三棱柱AD1PC的体积不变，故正确连接A1C1，A1B，可得平面AD1C平面A1C1B.又因为A1P平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，所以正确当点P运动到点B时，DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故不正确连接BD，则BD为DB1在平面ABCD内的射影因为ACBD，所以ACDB1.同理可得AD1DB1，所以可得DB1平面AD1C.又因为BD1平面PDB1，所以平面PDB1平面ACD1，故正确
32、综上，正确命题的序号为.答案：专题五综合提升训练(五)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016吉林省实验中学一模)已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面，有如下命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l.其中正确命题的个数是()A3B2C1 D0解析：选C.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以正确；若，l，则l或l，所以错误综上可知，选C.2(2016河北唐
33、山模拟)已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，PA3，ABBC2，则球O的表面积为()A13 B17C52 D68解析：选B.如图所示，可将此三棱锥放入长方体中，则此三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，球心为PC的中点因为PC，所以球O的半径R，所以此球的表面积为S4217.3(2016哈尔滨六中适应性考试)已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是()A4，8 B4，C4(1)， D8,8解析：选C.由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长AB2，高PO2，则四棱锥的斜高PE.
34、所以该四棱锥的表面积S4424(1)，体积V222.故选C.4(2016吉林省实验中学一模)设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc解析：选B.A的逆命题为：当c时，若，则c，由线面垂直的性质知c；B的逆命题为：当b时，若，则b，显然错误；C的逆命题为：当b，且c是a在内的射影时，若ab，则bc，由三垂线的逆定理知bc；D的逆命题为：当b，且c时，若bc，则c，由线面平行的判定定理可得c.故选B.5有一圆锥内接于球O，其底面圆周和顶点均在球面上
35、，底面积S3，球的半径R2，则此圆锥的体积为()A B3C或3 D2解析：选C.由r23得，圆锥的底面半径r.设O1为圆锥底面圆的圆心，OO1x，则x1，圆锥的高hRx3或hRx1，所以圆锥的体积VSh333或VSh31.6(2016广西南宁市、百色市联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A. B.C.2 D.2解析：选A.由三视图可知，该几何体下面是半径为的半球，上面是一个底面是腰为2的等腰直角三角形、高是2的三棱锥，其体积V()3222，故选A.7半径为1的球面上有四个点A，B，C，
36、D，球心为点O，AB过点O，CACB，DADB，DC1，则三棱锥ABCD的体积为()A. B.C. D.解析：选A.连接OC，OD，由球体的对称性可知VABCD2VAOCD.因为OCODCD1，所以OCD为等边三角形，故SOCD，故VAOCD1，故VABCD2，故选A.8如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为()解析：选B.由题知该几何体为组合体，上方为四棱锥，下方为正方体，四棱锥顶点在底面上的射影为正方体一边上的中点，结合选项图可知，选B.9半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.6 B.2C2 D512解析：选B.正方体底面的中心即
37、球的球心，设球的半径为R，正方体的棱长为a，则有R2a22，得R2a2，所以半球的体积与正方体的体积之比为R3a32.10已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，命题p：若mn，m，则n；命题q：若m，n，n，则m.则下列结论正确的是()Ap(綈q)是真命题B(綈p)q是真命题C(綈p)q是假命题Dpq是假命题解析：选B.对于命题p，若mn，m，则n也可能在平面内，故命题p为假命题；对于命题q，若m，n，n，则m，命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)q是真命题，选B.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点A，B，C，D在球O上，球O与BA1的另一个交点为E
38、，且AEBA1，则球O的表面积为()A6 B8C12 D16解析：选B.因为AB2，AEBA1，所以AEBE，O为底面ABCD的中心，球O的半径为，所以球O的表面积为4()28.12已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为()A. B.C. D.解析：选C.因为在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在底面ABC上的高已知球的半
39、径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥PABC在底面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13在三棱锥PABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA1，PB2，PC3，则三棱锥的外接球的表面积为_解析：由题知，三棱锥PABC的外接球的直径为，则球的表面积为4214.答案：1414如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP，过点P，M，N的平面交CD于点Q，则PQ_.解析：连接AC，易知MN平面ABCD，MNPQ.又MNAC，PQAC.AP
40、，PQACa.答案：a15已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现将三棱锥PABC沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的内切球的体积为_解析：根据题意知，该几何体为正三棱锥，如图，D为AB的中点，O为展开后平面图形外接圆的圆心，设棱长为a，则PDa，ODa，OPa.易知ODPDaaa2，故a3，V三棱锥PABCa2a9.设三棱锥内切球的半径为r，则4a2r9，解得r，所以内切球的体积V3.答案：16如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M，N分别是AD，BE的中点，将ADE沿AE折起则下列说法正确的是_(填上所有正
41、确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.解析：如图，设Q，P分别为CE，DE的中点，可得四边形MNQP是矩形，所以正确；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN与AB是异面直线，不可能MNAB，所以错；当平面ADE平面ABCD时，可得EC平面ADE，故ECAD，正确答案：专题一五滚动训练(四)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合AxN|
42、x23x100，Bxy|xA，yA，则集合B中所含元素个数为()A7B9C11 D13解析：选B.AxN|x23x100xN|2x50,1,2,3,4，所以集合B中最小的元素为0，最大的元素为8，共9个元素，故选B.2复数z的共轭复数为，i为虚数单位，且z2i54i，则z等于()A12i B12iC12i D12i解析：选A.设zabi(a，bR)，abi，则abi2i(abi)54i，即a2bi(2ab)54i，所以所以a1，b2，z12i.故选A.3设函数f(x)则函数f(x)的零点个数为()A2 B3C4 D0解析：选A.当x0时，令log2x20，解得x1；当x0时，令2|x|40，解
43、得x2.故选A.4函数f(x)ln(x22)的图象大致是()解析：选D.因为x220，所以f(x)的定义域为R，排除B；f(x)f(x)，所以图象关于y轴对称，排除C；f(0)ln 20，故排除A，选D.5若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是()A4 B5C6 D7解析：选B.第一次，n35116，k1；第二次，n8，k2；第三次，n4，k3；第四次，n2，k4；第五次，n1，k5.此时满足条件输出k5，故选B.6(2016高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D1解析：选C.由三视图及四棱锥与球的体积公式求解，由三视图
44、知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为1213.故选C.7设Sn为等差数列an的前n项和若a40，a5|a4|，则使Sn0成立的最小正整数n为()A6 B7C8 D9解析：选C.a40，a5|a4|，a4a50，S80.最小正整数为8.8给出下列四个结论：命题“若m0，则方程x2xm0有实数根”的逆否命题为“若方程x2xm0无实根，则m0”；若pq为假命题，则p，q均为假命题；若命题p，x0R，xx010，则綈p：xR，x2x10；“a2”是“函数f(x)x2ax2在x(，1上单调递减”的充分不必要条件其中正确结论的个数为()A0 B1C2
45、 D3解析：选D.正确若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以错误正确函数f(x)x2ax2在x(，1上单调递减，则a2，所以正确，所以正确结论有3个，选D.9设x，yR，a1，b1，若axby2，a2b4，则的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选B.由axby2得xloga2，ylogb2，2log2alog2blog2(a2b)log222(当且仅当a2b2时取等号)，故选B.10设函数f(x)3sin(x)的图象关于直线x对称，它的周期是，则()Af(x)的图象过点Bf(x)在上是减函数Cf(x)的一个对称中心是D将f(x)的图象向右平移|个单位得到函数y3sin x的图象解
46、析：选C.因为函数f(x)3sin(x)的周期为，所以，所以2，又f(x)3sin(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，所以k，kZ，又，所以，所以f(x)3sin.所以f(0)3sin，故A不正确；当x时，2x，而y3sin x在上不是单调函数，所以f(x)在上不是单调函数，故B不正确；f(x)的图象向右平移个单位长度得到y3sin的图象，故D不正确f3sin3sin 0，所以f(x)的一个对称中心是.故选C.11若x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2B.1xx2Ccos x1x2Dln(1x)xx2解析：选C.设f(x)cos xx21，则f(x)sin xx0(x0)
47、，所以f(x)cos xx21是增函数，所以f(x)cos xx21f(0)0，即cos x1x2.故选C.12如图，已知线段AB8，点C在AB上，且AC2，点P为线段CB上的动点，若点A绕点C旋转后，与点B绕点P旋转后重合于点D.设CPx，CPD的面积为f(x)，则f(x)取得最大值时x的值是()A1 B3C. D2解析：选B.在CPD中，设DCP，由余弦定理可知(6x)222x222xcos ，则cos ，sin ，SCPD2xsin ，即f(x)，在x3时取得最大值故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，a
48、bc，则a，b_.解析：因为abc，所以|c|ab|，所以c2a22abb2，又|a|b|c|，ab|b|2，所以cosa，b，所以a，b120.答案：12014已知函数f(x)2sin2cos 2x1，x，则f(x)的最小值为_解析：f(x)2sin2cos 2x11cos 2cos 2x1coscos 2xsin 2xcos 2x2sin，因为x，所以2x，所以sin sinsin，即sin1，所以12sin2，即1f(x)2，所以f(x)的最小值为1.答案：115下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，则第n个图形中小正方形的个数是_解析：由题意得a11，a23，a36，a410，所以a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，等式两边同时累加得ana123n，即an12n，所以第n个图形中小正方形的个数是.答案：16若直线l与曲线f(x，y)0相切于不同的两个点，则称直线l为曲线f(x，y)0的“二重切线”现有下列曲线：yx2；yx2|x|；yexln x；ysin xcos2x.则存在“二重切线”的曲线有_解析：作出函数的图象如图所示由图知显然存在“二重切线”，因为为周期函数，所以也存在“二重切线”答案：