1、复习课(一)计数原理两个计数原理(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”分类就是能“一步到位”任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成计数原理(1)分类加法计数原理：Nn1n2n3nm；(2)分步乘法计数原理：Nn1n2n3nm典例如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()
2、A180种B240种C360种 D420种解析由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A种方案当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A种方案当用五种颜色时有A种方案因此所有栽种方案为A2AA420(种)答案D类题通法使用两个原理解决问题时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步1从黄瓜、白菜、油菜、
3、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A24种 B18种C12种 D6种解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有326种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有326种不同的种植方法故不同的种植方法共有6318种法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43224种方法，其中不种黄瓜有3216种方法，故共有不同的种植方法24618种2有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有_种解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升
4、2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理，共可组成392739种不同的信号答案：39排列与组合应用问题(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则先分组后分配原则
5、：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数3排列数与组合数公式(1)排列数公式An(n1)(nm1)；An！(2)组合数公式C4组合数的性质(1)CC；(2)CCC典例(1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节
6、目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A9 B14C12 D15解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，选B(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法故共有CCC9种选法法二
7、：(间接法)CC9种答案(1)C(2)B(3)A类题通法排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列(2)相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置1有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A12 B24C36 D48解析：选B2盆黄
8、菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有AAA24种2某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为()A720 B520C600 D360解析：选C根据题意，分2种情况讨论只有甲乙其中一人参加，有CCA480种情况；若甲乙两人都参加，有CCA240种情况，其中甲乙相邻的有CCAA120种情况，不同的排法种数为480240120600种，故选C二项式定理及应用(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难
9、度中低档(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，Tk1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素 这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组) 这里要注意n为正整数，k为自然数，且kn1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r0,1，n)二项式通项Tr1Canrbr，它表示第r1项2二项式系数的性质典例(1)已知(1ax)(1x)5的展
10、开式中x2的系数为5，则a()A4 B3C2 D1(2)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6C7 D8(3)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a1a2a3a4_解析(1)展开式中含x2的系数为CaC5，解得a1，故选D(2)由题意得：aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，经检验为原方程的解，选B(3)令x1可得a0a1a2a3a41，令x0，可得a01，所以a1a2a3a40答案(1)D(2)B(3)0类题通法求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特
11、定项可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可(2)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解1在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C15 D10解析：选C只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C15，故选C2若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8C6 D5解析：选B令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，a0a2a481设二项式n的展开式各项
12、系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a2b80，则n的值为()A8B4C3 D2解析：选C由题意a4n，b2n，a2b80，4n22n800，即(2n)222n800，解得n32教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有()A63种 B31种C8种 D7种解析：选D由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有CCC7(种)3分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有()AA种 BAA种CCA种 DCCA种解析：选C先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民
13、家，故有CA种4(x2)2(1x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()A5 B3C2 D0解析：选A常数项为C22C4，x7系数为CC(1)51，因此x7系数与常数项之差的绝对值为556的展开式中，常数项是()A BC D解析：选DTr1C(x2)6rrrCx1213r，令123r0，解得r4常数项为4C故选D6将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A10种 B20种C36种 D52种解析：选A分为两类：1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C4种放球方法；1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C
14、6种放球方法共有CC10种不同的放球方法7若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_解析：不妨设1xt，则xt1，因此有(t1)5a0a1ta2t2a3t3a4t4a5t5，则a3C(1)210答案：108农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有_种(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C种种植方法，则第24块地共有A种种植方法，由分步乘法计数原理可
15、得，不同的种植方案有CA120种答案：1209(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种解析：将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2A12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有481236种答案：3610若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，求a0a12a23a3的值解：由(2x3)32(x2)13C2(x2)3(1)0C2(x2)2(1)1C2(x2
16、)1(1)2C2(x2)0(1)38(x2)312(x2)26(x2)1a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3则a01，a16，a212，a38则a0a12a23a3511将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120种放入方式12已知(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项解：(1)令x1，则二项式各项系数和为(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n由题意，知4n2n992(2n)22n9920(2n31)(2n32)02n31(舍)或2n32，n5由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x(2)展开式通项公式为Tr1C3r(x)5r(x2)rC3rx假设Tr1项系数最大，则有rrN*，r4展开式中系数最大项为T5C34x405x
