1、2020-2021学年云南省昆明一中教育集团高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A0，1，2，集合Bx|x10，则AB的真子集个数为（）A1B2C3D42若，则复数z（）A1iB2iC32iD3i3“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩若将8拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）ABCD4已知sinxcosx，则sin
2、2x（）ABCD5一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（）ABCD26已知M为直线yx+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+40上的动点，则|MN|的最小值是（）ABC1D7函数f（x）的大致图象为（）ABCD8设数列an的前n项和为Sn，若2SnSn+1+Sn+2（nN*），且a11，a22，则S5（）A11B9C9D119已知正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，且，AB2，则球O的表面积为（）A3B9C12D1610在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面方程为A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）0，经过点P（x
3、0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l方程为已知：在空间直角坐标系Oxyz中，平面的方程为x+2y+3z0，经过P（0，0，0）的直线l方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（）ABCD11已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的离心率为（）ABC2D312已知定义在R上的函数yf（x）满足：函数yf（x）2021为奇函数，且对x（，+），2f（x）f（x）恒成立（f（x）是函数f（x）的导函数），则不等式的解集为（）A（0，+）B（0，2021）C（1，202
4、1）D（2021，2021）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是 （只需填满足题意的一个值即可）14在ABC中，C90，|5，|4，则 15已知和，则函数f（x）的图象与g（x）的图象的对称轴之间的最短距离为 16设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若FBD30，ABD的面积为，则抛物线C的方程为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3cosB（ac
5、osB+bcosA）c（1）求cosB；（2）若AB2，sinAsinB，求ABC的面积18某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入xi（百万元）和相应的销售额yi（百万元）进行了统计，其中i1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：，其中，i1，2，3，4，5（1）根据散点图判断，ybx+a与ycx2+d哪一个适宜作为月销售额yi关于月科技投入xi的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月科技投入300万元时的月销售额附：对于一组数据（s1，t1），（s2，t2），（sn，
6、tn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19已知数列an各项均为正数，a11，a23，且an+3an+2an+1an对任意nN*恒成立（1）若a36，求a5的值；（2）若a35，证明：数列an是等差数列；在数列an中，若a2，am，构成等比数列求符合条件的一组（m，k）的值（满足题意的一组值即可），说明理由20已知点C在圆（x+1）2+y216上，A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），线段BC的垂直平分线交线段AC于点M（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设圆x2+y2r2与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标21如图，在
7、四棱锥PABCD中，平面PAD平面PAPD，ADBC，ADC90，BCAD1，CD，Q，M分别为AD，PC的中点（1）求证：Q，P，C，B四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB与平面PDC的交线（不需要写画法）（3）设平面PAB与平面PDC的交线为l，直线l与平面ABCD所成角的正切值为，求平面MQB与平面PDC所成的锐二面角的大小22已知函数，aR（1）若函数f（x）在x1处的切线斜率为2，求a；（2）若不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合A0，1，2，集合Bx|x10，则AB的真子集个数为（）A1B
8、2C3D4解：因为集合A0，1，2，集合Bx|x10x|x1，所以AB1，2，故AB的真子集个数为2213故选：C2若，则复数z（）A1iB2iC32iD3i解：，z（1i）（2+i）2ii23i故选：D3“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩若将8拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）ABCD解：将8拆成两个正整数的和，基本事件有：1+78，2+68，3+58，4+48
9、，5+38，6+28，1+78，共7个，拆成的和式中，加数全部为质数包含的基本事件有：3+58，5+38，共2个，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率p故选：A4已知sinxcosx，则sin2x（）ABCD解：sinxcosx，两边平方可得：1sin2x，解得：sin2x故选：A5一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（）ABCD2解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面正三角形一边上的高为2，设底面等边三角形的边长为a，可得，得a4，再设正三棱柱的高为h，可得，解得h故选：C6已知M为直线yx+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+40上的动点，则|
10、MN|的最小值是（）ABC1D解：由圆x2+y2+2x+4y+40，得（x+1）2+（y+2）21，可得圆心坐标为（1，2），半径为1，圆心到直线xy+10的距离d，而M为直线yx+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+40上的动点，则|MN|的最小值是故选：D7函数f（x）的大致图象为（）ABCD解：根据yln|x+1|，可得x1；当2x1时，分母0，分子ln|x+1|0；函数f（x）0；图象在x轴上方；当2x时，分母0，分子ln|x+1|0；函数f（x）0；图象在x轴下方；当0x时，函数f（x）0；图象在x轴上方；综上可知满足的图象是A故选：A8设数列an的前n项和为Sn，若2SnSn
11、+1+Sn+2（nN*），且a11，a22，则S5（）A11B9C9D11解：由2SnSn+1+Sn+2，得Sn+22SnSn+1（nN+），又a11，a22，所以S32S1S22（1+2）1；S42S2S32（1+2）（1）7，故S52S3S42（1）79故选：B9已知正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，且，AB2，则球O的表面积为（）A3B9C12D16解：设正四棱锥的高为h，底面ABCD的外接圆半径为r，则，球心O在正四棱锥的高上，设半径为R，则R2（hR）2+r2，解得所以表面积为4R29故选：B10在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面方
12、程为A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l方程为已知：在空间直角坐标系Oxyz中，平面的方程为x+2y+3z0，经过P（0，0，0）的直线l方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（）ABCD解：因为经过P（0，0，0）的直线l方程为，则直线l的一个方向向量为，又平面的方程为x+2y+3z0，则平面的一个法向量为，所以，则直线l与平面所成角的正弦值为故选：D11已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的离心率为
13、（）ABC2D3解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|F1F2|，所以PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|PF1|，又因为在直角F1MO中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，所以|F1M|b|PF1|又|PF1|PF2|+2a2c+2a，c2a2+b2由可得c2a2（）2，即为4（ca）c+a，即3c5a，解得e故选：B12已知定义在R上的函数yf（x）满足：函数yf（x）2021为奇函数，且对x（，+），2f（x）f（x）恒成立（f（x）是函数f（x）的导函数），则不等式的解集为（）A（0，+）B（0，2021）C（1，2021）D（2021，2021）解：令，x
14、（，+），2f（x）f（x），g（x）0，g（x）在R上的减函数，又yf（x）2021为奇函数，y|x0f（0）20210，f（0）2021，2021g（0），0，即x0，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是 1（只需填满足题意的一个值即可）解：c1时，不等式不成立故答案为：114在ABC中，C90，|5，|4，则16解：C90，|5，|4，cosB，则|cosB5416故答案为：1615已知和，则函数f（x）的图象与g（x）的图象的对称轴之间的最短距离为 解：f（x）sin（x+）cos（x+）
15、cos（x），令xk1，则x+k1，k1Z，令x+k2，则x+k2，k2Z，所以函数f（x）的图象与g（x）的图象的对称轴之间的距离为：d|（+k1）（+k2）|+（k1k2）|，k1，k2Z，当k1k21时，最短距离为：，故答案为：16设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若FBD30，ABD的面积为，则抛物线C的方程为 y2解：如图所示，设l与x轴交于H，且F（，0），l：x，因为FBD30，在直角三角形FBH中，可得|FB|2|FH|2p，所以圆的半径为|FA|FB|FD|2p，|BD|2|BH|2p，由抛物线的定
16、义知，点A到准线l的距离为d|FA|2p，所以ABD的面积为|BD|d2p2p，解得p，可得抛物线方程为y2故答案为：y2三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3cosB（acosB+bcosA）c（1）求cosB；（2）若AB2，sinAsinB，求ABC的面积解：（1）因为3cosB（acosB+bcosA）c所以3cosB（sinAcosB+sinBcosA）sinC，所以3cosBsin（A+B）sinC，即3cosBsinCsinC，因为sinC0，所以cosB（2）因为sinAsinB，所以ab，ABC
17、为等腰三角形，取AB的中点D，连接AC，则CDAB，因为AB2，所以BD1，所以BC3，所以CD2，所以SABCABCD22218某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入xi（百万元）和相应的销售额yi（百万元）进行了统计，其中i1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：，其中，i1，2，3，4，5（1）根据散点图判断，ybx+a与ycx2+d哪一个适宜作为月销售额yi关于月科技投入xi的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月科技投入300万元时的月销售额附：对于一组数据（
18、s1，t1），（s2，t2），（sn，tn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，解：（1）根据散点图，应该选择ycx2+d作为回归方程模型；（2）设，则，则，故回归方程为；当月科技投入300万元时，即3百万元时，月销售额为百万元，即628.3万元19已知数列an各项均为正数，a11，a23，且an+3an+2an+1an对任意nN*恒成立（1）若a36，求a5的值；（2）若a35，证明：数列an是等差数列；在数列an中，若a2，am，构成等比数列求符合条件的一组（m，k）的值（满足题意的一组值即可），说明理由解：（1）由an0，a11，a23，且an+3an+2an+1an对任意nN
19、*恒成立，可得a4a3a2a12，而a36，所以a42+68；又a5a4a3a2633，所以a53+811；（2）证明：由题意可令bnan+1an，由于an+3an+2an+1an对任意nN*恒成立，当n为奇数时，bna2a12；当n为偶数时，bna3a22所以nN*时，bn2恒成立即an+1an2，而a11，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列；因为a2，am，构成等比数列，所以am2a2ak3ak，而m，kN*，2mk，由可得aka1+2（k1）2k1，ama1+2（m1）2m1，所以2m22m+23k0，即mN*，所以当k14时，m5，此时a2，a5，a14构成等比数列，即存在一组
20、（5，14）符合条件20已知点C在圆（x+1）2+y216上，A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），线段BC的垂直平分线交线段AC于点M（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设圆x2+y2r2与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标解：（1）由已知得：|MA|+|MB|AC|4，而|AB|24，所以点M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a4的椭圆，设M（x，y），所以点M的轨迹E的方程：（2）由对称性可知，四边形DEFG为矩形，不妨设D（x1，y1）为椭圆E上第一象限的点，则S矩形DEFG4x1y1，而x10，y10，且，所以，当且仅当，即
21、，时，取“”，所以矩形DEFG的面积的最大值为，此时，四个点的坐标为：，21如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面PAPD，ADBC，ADC90，BCAD1，CD，Q，M分别为AD，PC的中点（1）求证：Q，P，C，B四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB与平面PDC的交线（不需要写画法）（3）设平面PAB与平面PDC的交线为l，直线l与平面ABCD所成角的正切值为，求平面MQB与平面PDC所成的锐二面角的大小【解答】（1）证明：连接QC，因为PAPD，Q为AD的中点，则PQAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQ平面PAD，所以PQ平面ABCD，
22、又CQ平面ABCD，则PQCQ，在RtPCQ中，M为PC的中点，所以QMPMCM，连接BQ，因为DQBC，DQBC，且QDC90，故四边形BCDQ为矩形，则BCQB，因为PQBC，且QBPQQ，故BC平面PQB，又PB平面PQB，所以BCPB，在RtPBC中，M为PC的中点，所以BMPMCM，故QMPMCMBM，故Q，P，C，B四点在以M为圆心，为半径的球面上；（2）解：如图所示，PE为平面PAB与平面PDC的交线，延长AB，DC交于点E，连接PE，则E在平面PAB上，也在平面PDC上，又P为两个平面的公共点，所以PE为两个平面的交线；（3）解：连接EQ，因为QBDE，Q为AD的中点，所以QB
23、为ADE的中位线，则DE2QB2DC，所以，因为PQ平面ABCD，则直线l与平面ABCD所成的角即为PEQ，所以，解得，以点Q为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面MQB的法向量为，则，即，令，则x1，y0，故，设平面PDC的法向量为，则，即，令，则c1，b0，故，所以，则平面MQB与平面PDC所成的锐二面角的大小为6022已知函数，aR（1）若函数f（x）在x1处的切线斜率为2，求a；（2）若不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围解：（1），f（x），函数f（x）在x1处的切线斜率为2，f（1）a2a2，解得a1或2；（2）1恒成立，a2lnx+axx20（x0）恒成立，令h（x）a2lnx+axx2（x0），则h（x）max0h（x）+a2x（x0），1当a0时，h（x）x20恒成立；2当a0时，由h（x）0，得x，若x，h（x）0，h（x）单调递增；若x，h（x）0，h（x）单调递减；h（x）maxh（）a2ln（）+a（）0，即ln（），解得2a0；3当a0时，由h（x）0，得xa，同理可得，h（x）maxh（a）a2lna+a2a2a2lna0，解得0a1；综合，得2a1，即a2，1
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