1、2.2.3待定系数法学习目标1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.预习导引1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为ykx(k0)，反比例函数的一般形式为y(k0)，一次函数的一般形式为ykxb(k0)，二次函数的一般形式为yax2bxc(a0).要点一求一次函数的解析式例1设一次函数f(x)满足ff(x)4x9，求f(x)的解析式.解设f(x)axb(a0
2、)，则ff(x)af(x)ba(axb)ba2xabb.由ff(x)4x9，得a2xabb4x9，解得或f(x)2x3或f(x)2x9.规律方法设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x).解设f(x)axb(a0)，则有3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab2x17，则a2，b7，即f(x)2x7.要点二求二次函数的解析式例2已知二次函数yf(x)的图象过A(0，5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的解析式.解方法一设二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得
3、解得所求函数解析式为f(x)x24x5.方法二设二次函数f(x)a(x2)2k(a0)，将(0，5)，(5,0)，代入上式得解得所求函数的解析式为f(x)(x2)29，即f(x)x24x5.方法三二次函数过点(5,0)，且对称轴为x2，二次函数与x轴另一交点为(1,0)，设二次函数为f(x)a(x5)(x1)(a0)，将(0，5)代入得a1，f(x)x24x5.规律方法用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，3)，C(2,5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点
4、(2,0)在函数图象上；(3)已知yx24xh的顶点A在直线y4x1上.解(1)设所求函数为yax2bxc(a0)，其中a，b，c待定.根据已知条件得解得因此所求函数为yx22x3.(2)设所求函数ya(x4)22(a0)，其中a待定.根据已知条件得a(24)220，解得a，因此所求函数为y(x4)22x24x6.(3)yx24xh(x2)2h4，顶点A(2，h4)，由已知得(4)21h4，h5，所求函数为yx24x5.要点三待定系数法的综合应用例3如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解设左侧的射线对应的解析式为ykxb(k0，x1)，因为点(1,
5、1)，(0,2)在此射线上，故解得k1，b2，所以左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x3).当1x3时，抛物线对应的函数为二次函数.设其方程为ya(x2)22(1x3，a0)，由点(1,1)在抛物线上可知a21，所以a1，所以抛物线对应的函数解析式为yx24x2(1x3).综上，函数的解析式为y由图象可知函数的最小值为1，无最大值，所以，值域为1，).规律方法由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3已知f(x)是定义在6,6上的奇函数，且f(x)在3,3上是一次函数，在3,6上是二次函数
6、，f(6)2，又当3x6时，f(x)f(5)3，求f(x)的解析式.解因为f(x)在3,6上是二次函数，f(x)f(5)3，则(5,3)为抛物线的顶点，所以设f(x)a(x5)23(a0)，又因为f(6)2，代入f(x)得a1，所以x3,6时，f(x)(x5)23.当x3时，f(3)1，所以点(3，1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上.又因为f(x)为奇函数，且x6,6，所以f(0)0，故可设一次函数式为f(x)kx(k0)，将(3，1)代入f(x)得k.所以一次函数式为f(x)x.当x6，3时，x3,6，所以f(x)f(x)(x5)23.所以f(x)1.已知二次函数yx2bxc的图象
7、经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为()A.yx22x3B.yx22x3C.yx22x3D.yx22x6答案A解析将(1,0)，(2,5)代入yx2bxc可得由解得b2，c3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为()A.yxB.yxC.yxD.yx答案B解析设一次函数解析式为ykxb(k0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知得3.已知二次函数的图象经过(1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为()A.yx21B.y1x2C.yx21D.yx21答案A解析设ya(x1)(x1)(a0)，将点(2,3)代入得33a，a1.yx21
8、.4.已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()A.y2(x1)23B.y2(x1)23C.y2(x1)23D.y2(x1)23答案D解析设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23.5.已知二次函数f(x)的图象顶点坐标为(1，2)，且过点(2,4)，则f(x)_.答案6x212x4解析设f(x)a(x1)22(a0)，因为过点(2,4)，所以有a(21)224，得a6.所以f(x)6(x1)226x212x4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已
9、知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.一、基础达标1.已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为()A.y4xB.y4xC.yD.y答案C解析设y(k0)，过(2,8)点，8，k16，即y.故选C.2.已知函数f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值为()A.5B.5C.6D.6答案C解析由f(1)f(2)0得，1pq42pq0，p3，q2.则f(x)x23x2，故f(1)6.3.已知f(x)axb(a0)且
10、af(x)b9x8，则()A.f(x)3x2B.f(x)3x4C.f(x)3x4D.f(x)3x2或f(x)3x4答案D解析f(x)axb，af(x)ba(axb)b9x8，a2xabb9x8，或f(x)3x2或f(x)3x4.4.已知2x2x3(x1)(axb)，则a，b的值分别为()A.2,3B.3,2C.2,3D.3,2答案A解析(x1)(axb)ax2(ba)xb，因为(x1)(axb)2x2x3，所以解得5.抛物线yax2bxc与x轴的交点为(1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y2x2相同，则yax2bxc的解析式为()A.y2x2x3B.y2x24x5C.y2x24x8D.y2x
11、24x6答案D解析由题意得y2(x1)(x3)2x24x6，故选D.6.二次函数的图象与x轴交于A(2,0)，B(2,0)，并且在y轴上的截距为4，则函数的解析式为_.答案yx24解析设二次函数的解析式为ya(x2)(x2)(a0)，将点的坐标(0,4)代入方程，得4a2(2)，所以a1.所以函数的解析式为yx24.7.某一次函数图象经过(8，6)和(6,18)，且(6，5)在某个正比例函数图象上，求这两个函数的解析式.解设一次函数解析式为ykxb(k0)，正比例函数解析式为ykx(k0).把(8，6)，(6,18)分别代入ykxb得解得一次函数的解析式为y12x90.把(6，5)代入ykx，
12、得56k，解得k.正比例函数的解析式为yx.二、能力提升8.已知f(x)x21，g(x)是一次函数且是增函数，若fg(x)9x26x2，则g(x)为()A.g(x)3x2B.g(x)3x1C.g(x)3x2D.g(x)3x1答案B解析设g(x)axb(a0)，则a0，f(g(x)f(axb)(axb)219x26x2，a3，b1.9.已知二次函数yax2bxc，当x1时，y有最大值4，且|a|1，则它的解析式为_.答案yx22x3解析y有最大值，a0.又|a|1，a1.由题意得点(1,4)是抛物线的顶点.所求抛物线解析式为y(x1)24，即yx22x3.10.若f(x)x2mxn，且f(1)f
13、(3)，则在f(1)，n，f(1)的大小关系为_.答案f(1)nf(1)解析由f(1)f(3)得m2，f(x)x22xn(x1)2n1对称轴为x1，在(，1)上单减，f(1)f(0)f(1).又f(0)n，f(1)nf(1).11.抛物线经过点(2，3)，它与x轴交点的横坐标是1和3.(1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标；(3)画出草图；(4)观察图象，x取何值时，函数值小于零？x取何值时，函数值随x的增大而减小？解(1)设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)(a0)，把点(2，3)代入，得3a(21)(23)，a1.抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x
14、3.(2)yx22x3(x1)24.由此可知抛物线的对称轴方程为x1，顶点坐标为(1，4).(3)抛物线的草图如图所示：(4)由图象可知，当x(1,3)时，函数值y小于零；当x(，1时，y随x的增大而减小.三、探究与创新12.已知二次函数f(x)对一切xR，有f(2x)f(x)，f(1)0，且f(x)1.(1)求二次函数的解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距.解(1)由f(2x)f(x)，得二次函数图象的对称轴为x1，由f(x)1对一切xR成立，得二次函数的最小值为1.设二次函数的解析式为f(x)a(x1)21，f(1)0，4a10，a，f(
15、x)(x1)21x2x.(2)设直线l的解析式为g(x)kxb.由(1)知，抛物线顶点为C(1，1)，由x2x0，解得x11，x23，l过点A(1,0)，解得一次函数为yx.在y轴上的截距为b.13.已知函数f(x)满足f(x)4x22x1.(1)设g(x)f(x1)2x，求g(x)在2,5上的值域；(2)设h(x)f(x)mx在2,4上是单调函数，求m的取值范围.解(1)g(x)f(x1)2x4(x1)22(x1)12x4x28x3，x2,5.g(x)的对称轴为方程x1，当x1时，g(x)min1，当x5时，g(x)max63，所求值域为1,63.(2)由题知h(x)4x2(2m)x1.h(x)的对称轴为直线x，2或4，即m18或m34.故所求m的取值范围是(，1834，).