1、2021年安徽省示范高中皖北协作区第23届高考数学联考试卷（文科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x2x20，Bx|0x1，则AB（）A（1，1）B（1，2）C（0，1）D（0，2）2已知i为虚数单位，（1+i）z|1+i|2，则复数z的虚部为（）A0B1CiD13已知a0.30.2，b，clog5，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca4设双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为（）AB2CD5设等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a6a2+5，则S17（）A5B17C85D1706我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中算经十书
2、是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书十部书的名称是：周髀算经、九章算术、海岛算经、张丘建算经、夏侯阳算经、五经算术、缉古算经、缀术、五曹算经、孙子算经、算经十书标志着中国古代数学的高峰算经十书这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期其中张丘建算经、夏侯阳算经就成书于魏晋南北朝时期某中学拟从算经十书专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是张丘建算经、夏侯阳算经的概率为（）ABCD7已知向量（1，0），|，且（），则|
3、+2|（）A2BCD58函数f（x）的大致图象是（）ABCD9某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为1且其内接四边形为正方形，则该几何体的体积为（）ABCD10已知函数f（x）sinx（sinx+cosx）（0）在区间（0，）上恰有1个最大值点和1个最小值点，则的取值范围是（）ABCD11在四面体ABCD中，BCD是边长为2的等边三角形，ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A8BC6D212已知数列an满足an0，其前n项和，数列bn满足，其前n项和为Tn.若对任意nN*恒成立，则实数的取值池围是（）ABCD二、填空题：本题共4小
4、题，每小题5分，共20分13已知实数x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为 14已知函数f（x）x2lnx+x，则f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 15已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满足|AF|3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截y轴所得弦长为 16已知函数f（x），若函数g（x）f（f（x）af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，AD1，
5、BD，BAD（）求边AB的长；（）若CBD，BCBD，求ABC的面积18有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁高铁可以说是中国一张行走的名片截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里如表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678运营里程y（万公里）1.31.61.92.22.52.9
6、3.53.9根据以上数据，回答下面问题（）甲同学用曲线ybx+a来拟合，并算得相关系数r10.97，乙同学用曲线ycedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r20.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；（）根据（）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，参考数据：42.00，令wlny，1.1519如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PABCCDBD2，ABAD，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM3MA（）证明：OM平面PBC；（）求三棱锥PMCD的体积20在平面
7、直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点和上顶点，OAB的面积为，且椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线x4的垂线，垂足为Q试问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21已知函数（x）ax+sinx，x（0，+）（）当a时，函数f（x）的极大值点从小到大次记为x1，x2，x3，xn，求数列xn的通项公式；（）若f（x）xex恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标
8、系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2x+1|+|x+|（）求函数f（x）的最小值；（）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+b+cm，证明：参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x2x20，Bx|0x1，则AB（）A（1，1）B（1，2）C（0，1）D（0，2）解：Ax|1x2，Bx|0x1，AB（0，1）故选：C2
9、已知i为虚数单位，（1+i）z|1+i|2，则复数z的虚部为（）A0B1CiD1解：因为，（1+i）z|1+i|22，所以，所以复数z的虚部为1故选：D3已知a0.30.2，b，clog5，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca解：a0.30.2（0，1），blog571，clog50，bac，故选：C4设双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为（）AB2CD解：由已知条件知：；故选：C5设等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a6a2+5，则S17（）A5B17C85D170解：因为等差数列an中，a5+a6a2+5，所以a2+a9a2+5，即a9
10、5，则S1717a985故选：C6我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书十部书的名称是：周髀算经、九章算术、海岛算经、张丘建算经、夏侯阳算经、五经算术、缉古算经、缀术、五曹算经、孙子算经、算经十书标志着中国古代数学的高峰算经十书这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期其中张丘建算经、夏侯阳算经就成书于魏晋南北朝时期某中学拟从算经十书专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是张
11、丘建算经、夏侯阳算经的概率为（）ABCD解：从6部算经中任选2部的选法有15种，其中所选2部专著中没有张丘建算经、夏侯阳算经的选法6种，所选2部专著中至少有一部是张丘建算经、夏侯阳算经的选法9种，故其概率P故选：B7已知向量（1，0），|，且（），则|+2|（）A2BCD5解：向量（1，0），|，且（），（）10，即 1则|+2|5，故选：D8函数f（x）的大致图象是（）ABCD解：f（x），函数f（x）为非奇非偶函数，排除选项A和B，又f（）0，排除选项C，故选：D9某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为1且其内接四边形为正方形，则该几何体的体积为（）ABCD解：由三视图还原原几何体如图，
12、该几何体为半径为1的半球挖去一个四棱锥，半球的体积为，四棱锥的体积为，则几何体的体积为故选：B10已知函数f（x）sinx（sinx+cosx）（0）在区间（0，）上恰有1个最大值点和1个最小值点，则的取值范围是（）ABCD解：f（x）sin2x+sinxcosx+（0）x（0），02x2，2x2， 在（0，）上恰有1个最大值点和一个最小值点，故选：B11在四面体ABCD中，BCD是边长为2的等边三角形，ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A8BC6D2解：在四面体ABCD中，BCD是边长为2的等边三角形，ABD是以BD为斜边的等腰
13、直角三角形，ABAD，平面ABD平面ABC，如图，可知AD平面ABC，可得ADAC，所以BAC是等腰直角三角形，所以三棱锥ABCD是正方体的一个角，如图：外接球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2r，r，四面体ABCD的外接球的表面积为：4r26故选：C12已知数列an满足an0，其前n项和，数列bn满足，其前n项和为Tn.若对任意nN*恒成立，则实数的取值池围是（）ABCD解：前n项和，可得n1时，a1S1，解得a13；当n2时，4Sn1an12+2an13，又4Snan2+2an3，两式相减可得4an4Sn4Sn1an2+2an3an122an1+3，化为2（an+an1）（an+an
14、1）（anan1），由于an0，可得anan12，则an3+2（n1）2n+1，（1）n+1（1）n+1（+），所以T2n（+）（+）+（+）+（+）（+）（），对任意nN*恒成立，即为nT2n，即有3，由+在nN*时递减，可得+的最大值为7，所以3，则故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为2解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数zx2y为y，由图可知，当直线y过A时，z有最大值为2故答案为：214已知函数f（x）x2lnx+x，则f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为2xy10解：函数f（x）x2lnx+x
15、，可得f（x）2xlnx+x+1，所以f（1）2，f（1）1，所以f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y12（x1），即2xy10故答案为：2xy1015已知抛物线C：y24x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满足|AF|3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截y轴所得弦长为4解：抛物线C：y24x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满足|AF|3，则以点A（2，2），圆A的标准方程为（x2）2+（y2）29AF为半径的圆截y轴交点为：，所得弦长：4故答案为：416已知函数f（x），若函数g（x）f（f（x）af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（，0）解：当x1时，由f（x），得
16、f（x），当x（1，e）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（e，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，又当x+时，f（x）0且f（x）0，作出f（x）的图象如图：设f（x）t，则由g（x）f（f（x）af（x）+a+10，得f（t）at+a+10，可得f（t）a（t1）1，若函数g（x）f（f（x）af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则关于x的方程g（x）f（f（x）af（x）+a+10有5个不同的实根，结合函数yf（x）的图象及直线ya（x1）1得f（t）a（t1）1恰有2个不等的实根，得tt1f（x）（1，0），tt2f（x）（0，1），tt1f（x）（1，0）有2个不等实根，tt2
17、f（x）（0，1）有3个不等实根，a0故答案为：（，0）三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，AD1，BD，BAD（）求边AB的长；（）若CBD，BCBD，求ABC的面积解：（）在ABD中，AD1，BD，BAD，由余弦定理BD2AD2+AB22ADABcosBAD，可得71+AB221AB（），整理可得AB2+AB60，解得AB2，（负值舍去）（）因为CBD，BCBD，所以在ABD中，由正弦定理，所以sinABDsinBAD，因为
18、ABD（0，），所以cosABD，所以sinABCsin（ABD+DBC）sinABDcos+cosABDsin，所以SABCABBCsinABC18有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁高铁可以说是中国一张行走的名片截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里如表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份
19、代码x12345678运营里程y（万公里）1.31.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题（）甲同学用曲线ybx+a来拟合，并算得相关系数r10.97，乙同学用曲线ycedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r20.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由；（）根据（）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，参考数据：42.00，令wlny，1.15解：（）0r1r21，ycedx更适合作为y关于x的回归方程类型；（），由ycedx，得lnylncdx，即wln
20、c+dx，d0.15lncycedxe0.14+0.15xe0.14e0.15x1.15e0.15x19如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PABCCDBD2，ABAD，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM3MA（）证明：OM平面PBC；（）求三棱锥PMCD的体积【解答】（）证明：由已知可知，ABCADC，所以ACBD且O为BD的中点，由BCCDBD2，ABAD，可得，所以，所以OMPC，又OM平面PBC，PC平面PBC，所以OM平面PBC；（）解：因为PM3MA，所以，在ADC中，ADB30，CDB60，所以CDA90，所以，故，所以三棱锥PMCD的体积为20在平面直角坐标
21、系xOy中，A，B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点和上顶点，OAB的面积为，且椭圆C的离心率为（）求椭圆C的方程；（）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线x4的垂线，垂足为Q试问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由解：（）设椭圆的半焦距为c（c0），由题意可得，解得a2，b，c1，所以椭圆C的方程为+1（）设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（4，y1），设直线l的方程为xmy+1，联立，得（3m2+4）y2+6my90，所以y1+y2，y1y2，所以my1y2（y1+y2），直线QN的方程为：y（x4
22、）+y1，假设直线QN过定点，则由对称性知定点在x轴上，设直线QN与x轴的交点为（x0，0），则（x04）+y10，所以x0+4+4+4，将式代入上式，可得x0+4+4+4+4，所以直线QN过定点（，0）21已知函数（x）ax+sinx，x（0，+）（）当a时，函数f（x）的极大值点从小到大次记为x1，x2，x3，xn，求数列xn的通项公式；（）若f（x）xex恒成立，求实数a的取值范围解：（）当a时，f（x）x+sinx，所以f（x）+cosx，由f（x）+cosx0，得cosx，所以2kx2k+，（kZ），由f（x）+cosx0，得cosx，所以2k+x2k+，（kZ），所以f（x）的单调
23、递增区间为（2k，2k+），f（x）的单调递减区间为（2k+，2k+），（kZ），因为f（x）的定义域为（0，+），所以xn+2（n1）（）f（x）xexax+sinxxexxexsinxax0，设g（x）xexsinxax，则g（x）（x+1）excosxa，设h（x）g（x）（x+1）excosxa，则h（x）（x+2）ex+sinx，因为f（x）的定义域为（0，+），所以x+22，ex1，所以（x+2）ex2，又1sinx1，所以h（x）（x+2）ex+sinx0，所以h（x）在（0，+）上为增函数，所以h（x）h（0）11aa，当a0，即a0时，h（x）a0，即x（0，+）时，g（x）
24、0，所以g（x）在（0，+）上为增函数，所以g（x）g（0）0在（0，+）上恒成立，所以a0符合题意当a0，即a0时，x0（0，+），使得g（x0）0，则x（0，x0）时，g（x）0，x（x0，+）时，g（x）0，所以x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，所以x（0，x0）时，g（x）g（0）0，不合题意，综上所述，a的取值范围为a0，所以a的取值范围为（，0（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
25、系，曲线C2的极坐标方程为（）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求的值解：（）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为t，代入x4t21，得到直角坐标方程为y24x+4根据，转换为极坐标方程为2sin24cos+4曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为（）把曲线C2的极坐标方程为，代入2sin24cos+4得到，所以，1216，所以选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2x+1|+|x+|（）求函数f（x）的最小值；（）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+b+cm，证明：解：（）当x，f（x）单调递减；当x，f（x）单调递增；所以函数f（x）的最小值为1（）证明：由于a+b+c1，所以，即，当且仅当a，bc时取等号