1、安徽省示范高中培优联盟2019年春季联赛（高一）数学（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合A，B的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】，.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2.实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对于ACD选项，当x0,y0时，显然不成立；对于B可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x0,y0）的单调
2、区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错；若0，利用诱导公式二把yAsin(x)中x的系数化为大于0的数19.如图，的三个内角，对应的三条边长分别是，角为钝角，.（）求的值；（）求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据余弦的二倍角公式求出，利用余弦定理求出，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得（2）由（1）可求出，中，求得，再由，即可求出面积.【详解】解：(1)由得：，且角为钝角，解得： 由余弦定理得：解得 可知为等腰三角形，即所以，解得 (2)由可知在中，得，三角形面积【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角
3、形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓
4、度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.【答案】（1）7天；(2) . 【解析】【分析】(1) 空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为 当时，解得，当时，解得，综上得， 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.(2
5、)设从第一次喷洒起，经天，浓度= =，即，, 当时，满足题意，所以的最小值为.【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.（）若，是“距”增函数，求的取值范围；（）若，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）根据题干条件得到恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II）原题等价于恒成
6、立，恒成立，分和两种情况得结果即可.【详解】（I）.因为是“距”增函数，所以恒成立，由，所以.（II）因为，其中，且为“2距”增函数，即时，恒成立，所以，当时，即，当时，所以.综上所述，得.【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22.已知数列满足，是数列的前项和.（）求数列的通项公式；（）若，30，成等差数列，18，成等比数列，求正整数，的值；（）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，当时，由 列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，或，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，所以当时，当时，由 和，两式相除可得，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，解得，当时，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，则，所以，或，或，解得：，或，或，（舍去），综上所述，或14.