1、第60讲 空间角、距离及其求法【学习目标】理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及二面角的平面角等概念，能依题设条件选择恰当的方法求解空间角和距离特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系【基础检测】1设集合 A，B，C 分别表示两异面直线所成的角、平面的斜线与该平面所成的角、二面角的取值构成的集合，则 A，B，C 的关系是()AAB CBABCCA B CDB A CD【解析】由空间角的定义可知 A0，2，B0，2，C0，则 BAC.故选 D.2在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB1，D在棱 BB1 上，且 BD1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为()A.
2、64B 64C.104D 104【解析】取 AC 中点 E，连接 BE，则 BEAC，如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，则 A32，12，0，D(0，0，1)，则AD 32，12，1.平面 ABC平面 AA1C1C，BEAC，BE平面 AA1C1C.BE 32，0，0 为平面 AA1C1C 的一个法向量，cosAD，BE 64，设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为，sin|cosAD，BE|64，故选 A.A3如图，在二面角 l 中，Al，Bl，AC，BD，且 ACl，BDl，已知 AB1，ACBD2，CD 5，则二面角 l 的余弦值为_.12【解析】由已知AB AC，AB BD，AC
3、，BD 为二面角 l.则CD CA AB BD AB BD AC，CD 2AB 2BD 2AC 22AB BD 2AB AC 2AC BD 1442AC BD 5，AC BD 2，又AC BD|AC|BD|cosAC，BD，cosAC，BD 22212，即二面角 l 的余弦值为12.4已知 ABCD 为正方形，点 P 为平面 ABCD 外一点，PDAD，PDAD2，二面角 PADC 为 60，则点 C 到平面 PAB 的距离为_2 217【解析】易得PDC 就是二面角 PADC 的平面角，则PDC为正三角形，且面PDC与面ABCD垂直，取 CD 中点为 O，AB 中点为 M，连结 OM、PM，
4、过 O 作OHPM 于 H 点，易证 OH平面 PAB，那么 C 到平面 PAB 的距离即为 OH 的长，计算得 PO 3，又 OM2，则 PM 7，那么 OHPOOMPM2 217.|cosa，b|【知识要点】1异面直线所成的角及求法(1)平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；(2)向量法：若异面直线 a 和 b 的方向向量为 a 和 b，设异面直线 a 和 b 所成的角为，则 cos _|ab|a|b|02直线与平面所成的角及求法(1)定义：设 l 和 分别表示直线与平面若 l 或 l，则称直线 l 和平面 所成的角为_；若 l，则称 l
5、 与 所成的角为_；若 l 与 相交，则 l 与 l 在 内的射影所成的锐角为直线 l 与平面 所成的角(2)取值范围：设 是直线 l 与平面 所成的角，则 的取值范围是_(3)求法：定义法：探寻直线 l 在平面 内的射影(通常由垂直法找射影)，构造直线 l 与平面 所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角向量法：设 l 和 n 分别是直线 l 的方向向量和平面 的法向量，直线 l 与平面 所成的角为，则 sin _20，2|cosl，n|ln|l|n|3二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的
6、平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小(2)取值范围：规定二面角的取值范围为0，(3)求法：定义法：即求作二面角的平面角；垂面法：即探寻过二面角棱上一点且垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个面的交线所构成的角即为二面角的平面角；向量法：设二面角 l 的两个面 与 的法向量为 n1和 n2，二面角 l的大小为，则|cos|cos n1，n2|，当 0，2 时，cos|n1n2|n1|n2|；当2，时，cos|n1n2|n1|n2|.4空间距离及求法(1)空间距离的概念点到平面的距离：自点向平面引垂线，_的长度异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的_的长度直线与平面间的距
7、离：如果一条直线和一个平面平行，从这条直线上任意一点向平面引垂线，_的长度两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的_的长度(2)空间距离的求法求空间距离的常用方法直接法、转化法、等体积法、向量法求空间距离的一般步骤_；_；_点到垂足间线段 线段 这点到垂足间线段 公垂线段 找出或作出有关的距离 证明它符合定义 归结到某三角形中计算一、空间距离及其求法例1在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面ABC，SASC2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示求点 B 到平面CMN 的距离【解析】取 AC 的中点 O，连接 OS、OB SASC，ABBC，AC
8、SO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO平面 ABC，又BO平面 ABC，SOBO.如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0，2 3，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2 2)，M(1，3，0)，N(0，3，2)CM(3，3，0)，MN(1，0，2)，MB(1，3，0)设 n(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则CM n3x 3y0MN nx 2z0，取 z1，则 x 2，y 6，n(2，6，1)点 B 到平面 CMN 的距离 d|nMB|n|4 23.【点评】点到面的距离在求几
9、何体的体积时经常应用，求点到面的距离常用方法有：垂直法、等体积法和向量法三种二、异面直线所成角及其求法例2如图，直三棱柱 ABCABC的侧棱长为 3，ABBC，且 ABBC3，点 E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBF.(1)求证：无论 E 在何处，总有BCCE；(2)当三棱锥 BEBF 的体积取得最大值时，求异面直线 AF 与 AC 所成角的余弦值【解析】解法一：(1)由题意知，四边形 BBCC 是正方形，连接 AC，BC，则 BCBC.又 ABBC，BBAB，AB平面 BBCC.BCAB，BC平面 ABC.又 CE平面 ABC，BCCE.(2)连接 EF，BE，BF，AE，A
10、F，设 AEBFm，则 三 棱 锥 B EBF 的 体 积 为 V 12 m(3 m)（m3m）2898，当 m32时取等号 故当 m32，即点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点时，三棱锥 BEBF 的体积最大，则|cosAFE|为所求 EF3 22，AFAE3 52，AF92，|cosAFE|22，即异面直线 AF 与 AC 所成角的余弦值为 22.解法二：根据题意，以 B 为原点，以 BC、BA、BB分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系 B(0，0，0)，A(0，3，0)，A(0，3，3)，C(3，0，0)，C(3，0，3)，B(0，0，3)(1)设 F(a，0，0)，E(0
11、，3a，0)，BC(3，0，0)(0，0，3)(3，0，3)CE(0，3a，0)(3，0，3)(3，3a，3)BC CE(3，0，3)(3，3a，3)0，BC CE，BCCE.(2)设AE BF a，则VB EBF 12 a(3 a)（a3a）2898，当 a32时，取等号，F32，0，0 AF 32，0，0(0，3，3)32，3，3，AC(3，3，0)cosAF，AC 32，3，3 3，3，0923 2 22.AF 与 AC 所成角的余弦值为 22.【点评】本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作证算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求
12、异面直线所成角的关键，一般地，异面直线 AC，BD 的夹角 的余弦值为 cos|AC BD|AC|BD|.三、直线与平面所成角及其求法例3如图所示的多面体中，正方形BB1C1C 所在平面垂直平面 ABC，ABC 是斜边 AB 2的等腰直角三角形，B1A1BA，B1A112BA.(1)求证：C1A1平面 ABB1A1；(2)求直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角的正弦值【解析】解法一：(1)取 AB 的中点 O，连结 A1O，OC.ACBC，COAB，四边形 A1OBB1 为平行四边形，BB1 綊 A1O，BB1 綊 CC1，A1O 綊 CC1，又由CC1面 ABC 知 CC1CO，四边形
13、 A1OCC1 为矩形，A1C1A1O，A1C1AB 又A1OABO，C1A1平面 ABB1A1.(2)作 BD 垂直直线 AA1 于 D，连接 C1D.由(1)知平面 AA1C1平面 ABB1A1，从而 BD平面 AA1C1，BC1D 即为直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角 易知 A1O1，AO 22，AA1 62，于是BDABsinBAA1A1OAA1，BD 23，sinBC1DBDBC1 63，直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角的正弦值为 63.解法二：易知 CA，CB，CC1两两垂直，且 CACBCC11，故以 C 为原点，以 CA 为 x 轴建立空间直角坐标系如图，则
14、 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A112，12，1，所以AC1(1，0，1)，C1A1 12，12，0，AA1 12，12，1，AB(1，1，0)(1)C1A1 AA1 0，C1A1 AB 0，C1A1AA1，C1A1AB，又AA1ABA，C1A1平面 ABB1A1.(2)设面 A1C1A 的法向量为 n(x，y，z)，由 nAC1 0，nC1A1 0 xz012x12y0，令 x1，则 n(1，1，1)又BC1(0，1，1)，设直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角为，则 sin|cosn，BC1|nBC1|n|BC1|23 2 63.【点评】线面角的求法有构造
15、法和向量法两种，其中构造法的关键是找斜线在平面上的射影，而向量法的关键是恰当建立空间直线坐标四、二面角及其求法例4如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，BAC30，BMAC 交 AC于点 M，EA平面 ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1.(1)证明：EMBF；(2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值【解析】解法一：(1)EA平面 ABC，BM平面ABC，EABM.又BMAC，EAACA，BM平面 ACFE，而 EM平面 ACFE，BMEM.AC 是圆 O 的直径，ABC90.又BAC30，AC4，AB2 3，BC2，AM3，CM1，BM 3，EA平面 A
16、BC，FCEA，FC1，FC平面 ABC.EAM 与FCM 都是等腰直角三角形 EMAFMC45.EMF90，即 EMMF(也可由勾股定理证得)MFBMM，EM平面 MBF.而 BF平面 MBF，EMBF.(2)延长 EF 交 AC 于 G，连 BG，过 C 作 CHBG，连结 FH.由(1)知 FC平面 ABC，BG平面 ABC，FCBG.而 FCCHC，BG平面 FCH.FH平面 FCH，FHBG，FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的平面角 由FCEAGCGA13，得 GC2，BG BM2MG22 3.又GCHGBM，GCBGCHBM，则 CHGCBMBG2 32 3
17、1.FCH 是等腰直角三角形，FHC45.平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 22.解法二：(1)同解法一，得 AM3，BM 3.如图，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 由已知条件得 A(0，0，0)，M(0，3，0)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，F(0，4，1)，ME(0，3，3)，BF(3，1，1)由ME BF(0，3，3)(3，1，1)0，得ME BF，EMBF.(2)由(1)知BE(3，3，3)，BF(3，1，1)设平面 BEF 的法向量为 n(x，y，z)，由 nBE 0，nBF 0，得 3x3y3z0，3xyz0，令 x 3得 y1，z2
18、，n(3，1，2)，由已知 EA平面 ABC，所以取平面 ABC 的法向量为AE(0，0，3)，设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为，则 cos cosn，AE 30102332 2 22，平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 22.【点评】二面角的大小由平面角决定，因此构建二面角的平面角是传统方法求二面角的关键和解决问题的切入点和突破口，要求具备较好的推理论证能力，而向量法的关键在于恰当正确的建系备选题例5已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G分别是 PA，PB，BC 的中点
19、(1)求证：EF平面 PAD；(2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；(3)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点，问当 AM的长度等于多少时，直线 MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于 155？【解析】解法一：(1)证明：平面 PAD平面ABCD，ABAD，AB平面 PAD，E，F 分别为 PA，PB 的中点，EFAB，EF平面 PAD.(2)过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，平面 PAD平面 ABCD，则 PO平面 ABCD.连 OG，以 OG，OD，OP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，PAPDAD4，OP2 3，ODOA2，得 A(0，2，0)，
20、B(4，2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2 3)，E(0，1，3)，F(2，1，3)，G(4，0，0)，故EF(2，0，0)，EG(4，1，3)，设平面 EFG 的一个法向量为 n(x，y，z)，则nEF 0nEG 0，即2x04xy 3z0，取 z1，得 n(0，3，1)，又平面 ABCD 的一个法向量为 n1(0，0，1)，平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是：|cos n，n1|nn1|n|n1|12，故平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是60.(3)设 AMx，M(x，2，0)，则MF(2x，1，3)，设 MF 与平面 EFG
21、 所成角为，则 sin|cos n，MF|nMF|n|MF|3（2x）24 155，解得 x1 或 x3，M 靠近 A，x1，当 AM1 时，MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于 155.解法二：(1)证明：过 P 作 POAD于 O，平面 PAD平面 ABCD，则 PO平面 ABCD，连 OG，以OG，OD，OP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，PAPDAD4，OP2 3，ODOA2，得 A(0，2，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2 3)，E(0，1，3)，F(2，1，3)，G(4，0，0)，故EF(2，0，0)，AD(0，4，0)，PD(
22、0，2，2 3)，EF AD 0，EF PD 0，EF平面 PAD.(2)EF(2，0，0)，EG(4，1，3)，设平面 EFG 的一个法向量为 n(x，y，z)，则nEF 0nEG 0，即2x04xy 3z0，取 z1，得 n(0，3，1)，平面 ABCD 的一个法向量为 n1(0，0，1)，(以下同解法一)解法三：(1)证明：平面 PAD平面 ABCD，ABAD，AB平面 PAD.E，F 分别为 PA，PB 的中点，EFAB，EF平面 PAD;(2)取 AD 的中点 H，连 GH，则 EFHG，ABHG，HG 是所求二面角的棱，HG平面 PAD，AHHG，EHHG，EHA 是锐二面角的平面
23、角，又AEH 为正三角形，EHA60.(3)过 M 作 MK平面 EFG 于 K，连结 KF，则KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成的角，因为 ABEF，故 AB平面 EFG，故点 M 到平面 EFG 的距离等于点 A 到平面 EFG的距离，HG平面 PAD，平面 EFGH平面 PAD，且平面 EFGH平面 PADEH.A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高，等于 3，即 MK 3，155 3FM，FM 5，在直角梯形 EFMA 中，AEEF2，AM1 或 AM3 M 靠近 A，AM1.当 AM1 时，MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于 155.1求异面直线所成的角，要注意
24、角的范围是0，2，斜线与平面所成的角关键是找斜线在平面内的射影；求二面角的大小方法多、技巧性强，但一般先想定义法，再想构造法2实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节，计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重要3应用向量法求空间角要注意：恰当正确的建立空间直角坐标系；求得相关向量的夹角的三角函数值后一定要注意相应空间角的取值范围及问题情境确定所求角的三角函数值或大小(2014 北京)如图，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C分别为 AM，MD 的中点在五棱锥 PABCDE 中，F 为棱 PE 的中点，平面 ABF与棱 PD，PC 分别交于点 G，H.(1)求证：ABFG；(2)若
25、PA底面 ABCDE，且 PAAE，求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长【解析】(1)证明：在正方形 AMDE 中，因为 B 是 AM 的中点，所以 ABDE.又因为 AB平面 PDE，所以 AB平面 PDE.因为 AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG，所以 ABFG.(2)因为 PA底面 ABCDE，所以 PAAB，PAAE.建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC(1，1，0)设平面 ABF 的法向量为 n(x，y，z)，则 nAB 0，nAF 0，即x
26、0，yz0.令 z1，则 y1.所以 n(0，1，1)设直线 BC 与平面 ABF 所成角为，则 sin|cosn，BC|nBC|n|BC|12.因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为6.设点 H 的坐标为(u，v，w)因为点 H 在棱 PC 上，所以可设PH PC(0 B C D 【解析】如图，取底面 BCD 的中心为点 O，BC 的中点 E，连接 AO，BO，AE，EO，易知ABO，AEO，易知 0，故选 B.B4正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G分别是 CC1，D1A1，AB 的中点，则点 A 到平面 EGF 的距离为_33【解析】建立空间直角坐标系 Dx
27、yz，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，EF(1，2，1)，EG(2，1，1)，GA(0，1，0)，设 n(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，则 nEF，nEG，nEF 0，nEG 0，x2yz0，2xyz0，从而有 xyz，可取 n(1，1，1)GA 在 n 上的射影长度为|GA n|n|1|3 33，即点 A 到平面 EFG 的距离为 33.5如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段D1E 上，则点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为_2 55【解析】根据空间线面垂直关系求点 P到直线
28、CC1 的距离的最小值如图，过点 E作 EE1平面 A1B1C1D1，交直线 B1C1 于点E1，连接 D1E1，DE，在平面 D1DEE1 内过点P 作 PHEE1 交 D1E1 于点 H，连接 C1H，则 C1H 即为点 P 到直线 CC1 的距离当点 P 在线段 D1E上运动时，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为点 C1 到线段 D1E1 的距离，即为C1D1E1 的边 D1E1 上的高 h.C1D12，C1E11，D1E1 5，h 252 55.6(2014 浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点 A处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面
29、上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是_(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)5 39【解析】先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值 如图，过点 P 作 POBC 于点 O，连接AO，则PAO.设 COx m，则 OP 33 x m.在 RtABC 中，AB15 m，AC25 m，所以 BC20 m所以 cosBCA45.所以 AO625x2225x45 x240 x625(m)所以 tan 33 xx240 x62533140 x 625x2 33
30、25x 452 925.当25x 45，即 x1254 时，tan 取得最大值为33355 39.7如图，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上，PDA60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小【解析】如图，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz.则DA(1，0，0)，CC(0，0，1)连接 BD，BD.在平面 BBDD 中，延长 DP 交 BD于 H.设DH(m，m，1)(m0)，由已知60，由DA DH|DA|DH|cos 可得 2m2m21，解得 m 22，所以DH 22，22，1.(1)因为22 0
31、22 0111 222，所以45.即 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是DC(0，1，0)因为22 0 22 1101 212，所以60.可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.8如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D 为 AB 的中点(1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离；(2)若 AB1A1C，求二面角 A1CDC1 的平面角的余弦值【解析】(1)由 ACBC，D 为 AB 的中点，得 CDAB.又 CDAA1，故 CD平面 A1ABB1，所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD BC2BD2 5.(2)解法一
32、：如图，取 A1B1 的中点 D1，连接 DD1，则 DD1AA1CC1.又由(1)知 CD平面 A1ABB1，故 CDA1D，CDDD1，所以A1DD1 为所求的二面角 A1CDC1 的平面角 因为 A1D 为 A1C 在平面 A1ABB1 上的射影，又已知 AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得 AB1A1D，从而A1AB1，A1DA 都与B1AB 互余，因此A1AB1A1DA，所以 RtA1ADRtB1A1A，因此AA1ADA1B1AA1，即 AA21ADA1B18，得 AA12 2.从而 A1D AA21AD22 3.在 RtA1DD1 中，cosA1DD1DD1A1DAA1A1D 63
33、.解法二：如图，过 D 作 DD1AA1交 A1B1 于 D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1 两两垂直以 D 为原点，射线 DB，DC，DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.设直三棱柱的高为 h，则 A(2，0，0)，A1(2，0，h)，B1(2，0，h)，C(0，5，0)，C1(0，5，h)，从而AB1(4，0，h)，A1C(2，5，h)由AB1 A1C，有 8h20，解得 h2 2.故DA1(2，0，2 2)，CC1(0，0，2 2)，DC(0，5，0)设平面 A1CD 的法向量为 m(x1，y1，z1)，则 mDC，mDA1，即 5y10，2x12 2z10.取 z11，得 m(2，0，1)设平面 C1CD 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 nDC，nCC1，即 5y20，2 2z20，取 x21，得 n(1，0，0)，所以 cos m，n mn|m|n|2211 63.所以二面角 A1CDC1 的平面角的余弦值为 63.