1、第5讲 函数的值域及最值【学习目标】理解函数值域与最值的意义；熟练掌握基本初等函数的值域；掌握求函数的值域和最值的基本方法【基础检测】1设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题：若存在常数 M，使得对任意 xR，有 f(x)M，则 M 是函数 f(x)的最大值；若存在 x0R，使得对任意 xR，且 xx0，有f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；若存在 x0R，使得对任意 xR，有 f(x)f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值这些命题中，正确命题的个数是()A0 个B1 个C2 个D3 个C【解析】根据最大值的定义，对于M 可能是最大值，也可能是比最大
2、值还大的数；则显然与最大值的定义是一致的，因此是正确的2函数 yx22x 的定义域是0，1，2，则该函数的值域为()A1，0 B0，1，2Cy|1y0 Dy|0y2A【解析】当 x0 时，y0；当 x1 时，y1；当 x2 时，y0.故值域为1，03下列函数中，值域是(0，)的函数是()Aylg xBy131xCyx1xDy 12xB【解析】y131x3x1133x0，即 y131x的值域为(0，)，其他都不符合4函数 f(x)x24x6，x1，5)的值域是_2，11)【知识要点】1函数的值域函数的值域是的集合，记为y|yf(x)，xA，其中 A 为 f(x)的定义域2常见函数的值域(1)一次
3、函数 ykxb(k0)的值域为_(2)二次函数 yax2bxc(a0)，当 a0 时，值域为；当 a0 时，值域为(3)反比例函数 ykx(k0)的值域为(4)指数函数 yax(a0 且 a1)的值域为函数值R(，0)(0，)(0，)4acb24a，4acb24a(5)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的值域为(6)正、余弦函数 ysin x，ycos x 的值域为；正切函数的值域为3函数的最值一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M：(1)xI，f(x)M；(2)x0I，f(x0)M，则称 M 为 f(x)的若xI，f(x)M 且x0I，f(x0)M，则称 M 为 f
4、(x)的RR1，1最大值最小值一、求函数的值域例1求下列函数的值域(1)y1x21x2；(2)y2x24x1；(3)yx 4x2.【解析】(1)(不等式法)y1x221x212x21，且 x211，02x212，10恒成立x22xa0 恒成立 设 yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1 在1，)上递增，当 x1 时，ymin3a，于是，当且仅当 ymin3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.解法二：f(x)xax2，x1，)，当 a0 时，函数 f(x)的值恒为正，当 a0 时，函数 f(x)在1，)上递增，故当 x1 时，f(x)min3a，于是当且仅当 f(x)min
5、3a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.解法三：在区间1，)上，f(x)x22xax0恒成立 x22xa0 恒成立ax22x 恒成立 a 应大于 ux22x，x1，)的最大值，当 x1 时 u 取最大值3，a3.【点评】求解含参不等式恒成立问题的关键是将问题等价转化，利用函数方程思想求解1函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域2求值域的方法很多，一是要掌握基本的初等函数及它们的复合函数的值域；二是要掌握利用单调性求值域；三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本的方法，此外还有基本不等式法、数形结合法等3求最值可由值域而得到，但我们也要重视最值的概念，注
6、意检验是否具备取得最值的条件4分离参数在不等式恒成立问题中常常用到，注意对该类题的理解，分清“主元”和“参数”5与最值有关的“恒成立”的意义：f(x)a 恒成立f(x)mina，f(x)b 恒成立f(x)maxb.6与最值有关的“存在性”的意义：定义域内存在x0，使 f(x0)aaf(x)max；定义域内存在 x0，使 f(x0)bbf(x)min.1(2014 福建)已知函数 f(x)x21，x0，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)D【解析】很明显此分段函数不具奇偶性，y 轴左右两边函数图象不具有对称性，排
7、除 A，在 x0 时有递减区间，排除 B，x0 时，函数不具周期性，排除 C，1cos x1，x211，故值域为1，)2(2014 重庆)函数 f(x)log2 xlog 2(2x)的最小值为.14【解析】f(x)12log2x2(log2x1)(log2x)2log2xlog2x12214，f(x)min14.【点评】函数的值域与最值在求法上是一致的，但需注意各类特殊函数本身的值域1已知函数 f(x)x24xa(x0，1)，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为()A1 B1C0 D2A【解析】f(x)x24xa(x2)24a，x0，1，f(x)minf(0)a2，f(x)maxf(
8、1)a31.2定义运算：aba，abb，ab，如 232，则函数f(x)3x3x 的值域为()A(0，1)B(0，)C(0，1 D1，)C【解析】由题意知，当 3x3x，即 x0 时，f(x)3x(0，1)；当 3x3x，即 x0 时，f(x)3x(0，1，函数 f(x)3x3x 的值域为(0，13函数 y 2x3x4的值域是()A.，43 43，B.，23 23，CRD.，23 43，B【解析】解法一：y 2x3x42389x12，89x120，y23，故函数 y 2x3x4的值域为，23 23，.故选 B.解法二：由 y 2x3x4得 x(3y2)4y.x 4y3y2，由 3y20 得 y
9、23，故选 B.4已知 f(x)x2，g(x)2xm，若x11，3，x20，2，使 f(x1)g(x2)，则 m 的取值范围为【解 析】若 x1 1，3，x2 0，2，使f(x1)g(x2)，则 f(x)ming(x)min，当 x1，3 时，f(x)minf(3)9；当 x0，2 时，g(x)ming(0)1m.所以，由91m，得 m10.m105设 t0，函数 f(x)2x，xt，log12x，xt的值域为 M.若4M，则 t 的取值范围是116，2【解析】y2x在R上是增函数且值域为(0，)，当 xt 时，f(x)2x 的取值范围为(0，2t)；ylog12x 在(0，)上是减函数且值域
10、为 R，当 xt时，f(x)log12x 的值取值范围为(，log12t，又 f(x)的值域为 M，且 4M，有2t4，log12t 116 116t2，即 t 的取值范围为116，2.6设函数 f(x)3x13x.若x表示不大于 x 的最大整数，求函数f（x）12 f（x）12 的值域【解析】f(x)3x13x1113x，由 0113x1，故 f(x)(0，1)，f(x)3x13x113x(0，1)，且 f(x)f(x)1，所以当 f(x)0，12 时，f(x)12，1，f（x）12 f（x）12 0；当 f(x)12，1 时，f(x)0，12，f（x）12 f（x）12 0；当 f(x)12时，f(x)12，f（x）12 f（x）12 1.故函数f（x）12 f（x）12 0 或 1.7设 a 为实数，函数 f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若 f(0)1，求 a 的取值范围；(2)求 f(x)的最小值【解析】(1)若 f(0)1，则a|a|1a0a21a1.(2)当 xa 时，f(x)3x22axa2，f(x)minf（a），a0，fa3，a0.2a2，a0，2a23，a0.当 xa 时，f(x)x22axa2，f(x)minf（a），a0，f（a），a0.2a2，a0，2a2，a0.综上 f(x)min2a2，a02a23，a0.
