1、第三节函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1奇函数、偶函数及其图象特征奇函数偶函数定义义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如
2、果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1若函数f(x)在区间a，b(ab)上有奇偶性，则实数a，b之间有什么关系？提示：ab0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，那么f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个4若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)是
3、函数f(x)的周期吗？提示：不一定由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n0时，nT是f (x)的周期1(2013广东高考)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1解析：选C函数yx3，y2sin x为奇函数，y2x为非奇非偶函数，yx21为偶函数，故奇函数的个数是2.2(2013山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时， f(x) x2，则f(1)()A2 B0 C1 D2解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.3(2013湖北高考)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R
4、上为()A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数解析：选D函数f(x)xx在R上的图象如下图：故f(x)在R上为周期函数4若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析：f(x)x2(a4)x4a为二次函数，其图象的对称轴为x，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得a4.答案：45设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.答案： 前沿热点(二)与奇偶性、周期性有关的交汇问题1函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起与函数图象、函数零点等问题相交汇命题2函数的奇偶性主要体现为
5、f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题典例(2012辽宁高考)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos (x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8解题指导由f(x)f(x)，f(x)f(2x)可知该函数是
6、周期为2的偶函数，可画出g(x)与f(x)的图象，利用数形结合的思想求解解析由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图象，如图由图可知函数yg(x)，yf(x)在上有6个交点，故函数h(x)g(x)f(x)在上的零点有6个答案B名师点评解决本题的关键有以下几点：(1)正确识别函数f(x)的性质；(2)注意到x0是函数h(x)的一个零点，此处极易被忽视；(3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题(2014合肥模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()A0 B0或C或 D0或解析：选Df(x2)f(x)，T2.又0x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两个不同的公共点另当直线yxa与yx2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知x2xa，即x2xa0，14a0，则a，此时x.综上可知a0或.