1、第二节函数的单调性与最值【考纲下载】1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2. 会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间3函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，
2、使得f(x0)M对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值1如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能如函数y在(0，)及(，0)上都是减函数，但函数y在定义域上不是单调函数2当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“”将它们连接起来如函数y的单调递减区间有两个：(，0)和(0，)不能写成(，0)(0，)1下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay3x ByCyx24 Dy|x|解析：选D函数y3
3、x，y，yx24在(0,1)上都是减函数，y|x|在(0,1)上是增函数2(教材习题改编)如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则()Aa2 Ba2Ca2 Da2解析：选C函数f(x)3x22(a1)xb的对称轴为x，即函数f(x)的单调递减区间为.所以1，即a2.3若函数f(x)满足“对任意x1，x2R，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：选C由题意知，函数f(x)为R上的减函数，且f1，即|x|2时，yminf(a)a22.点评利用二次函数的性
4、质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决2单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值典例2已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解题指导(1)先判断f(x)在1，)上的单调性，然后求最值；(2)f(x)0恒成立f(x)min0.解(1)当a时，f(x)x2，在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在
5、1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.当00，a3.所以01时，f(x)在1， 上为减函数，在(，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值是f()22，220，显然成立综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3，)点评不等式mf(x)恒成立mf(x)max，mf(x)恒成立mf(x)min.3数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法典例3对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解题指导依据新定义，将f(x
6、)化简为分段函数，画出图象求解解析由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其图象如图所示由图形，易知当x时，函数有最小值，所以f(x)minf.答案点评用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解4换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式，灵活选择换元的方法，以便将复杂函数的最值问题转化为简单函数的最值问题如可用三角换元解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题典例4设a，bR，a22b26，则ab的最小值是_解题指导a22b26可变形为221，故可考虑利用三角换元求解解析因为a，bR，a22b26，所以令acos ，bsin ，R，则abcos sin 3sin()，所以ab的最小值是3.答案3点评在用换元法时，需特别注意换元后新元的取值范围，如本题换元后中间变量R，这是由条件a，bR确定的5基本不等式法(见第六章第四节基本不等式)