1、章末检测(二)一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式x22x的解集是()Ax|x2Bx|x2Cx|0x2 Dx|x0或x2解析：选D由x22x得x(x2)0，解得x0或x2，故选D.2若Aa23ab，B4abb2，则A，B的大小关系是()AAB BABCAB DAB解析：选BABa23ab(4abb2)b20，AB.3不等式组的解集为()Ax|1x1 Bx|0x3Cx|0x1 Dx|1x3解析：选C由得所以0x1，即不等式组的解集为x|0x1，故选C.4已知2a
2、10的解集是()Ax|xa Bx|x5a或xaCx|ax5a Dx|5axa解析：选A方程x24ax5a20的两根为a，5a.因为2a10，所以a5a.结合二次函数yx24ax5a2的图象，得原不等式的解集为x|xa，故选A.5若关于x的一元二次不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()Am2或m2 B2m2Cm2 D2mbac2bc2 B，c0ab3，ab0b2，ab0b可得ac2bc2，故A中说法正确；对于B，由，得0，当c0时，有ab0，则ab3，ab0，a3b3两边同乘，得到，b2，ab0，a2b2两边同乘，得到，不一定有0的解集为，则下列结论正确的是()Aa0 Bb0 C
3、c0 Dabc0解析：选BCD因为不等式ax2bxc0的解集为，故相应的二次函数yax2bxc的图象开口向下，所以a0，故A错误；易知2和是关于x的方程ax2bxc0的两个根，则有210，又a0，c0，故B、C正确；因为1，所以ac0，又b0，所以abc0，故D正确故选B、C、D.10下列结论中正确的有()A若a，b为正实数，ab，则a3b3a2bab2B若a，b，m为正实数，ab，则，则abD当x0时，x的最小值为2解析：选ACD对于A，a，b为正实数，ab，a3b3(a2bab2)(ab)2(ab)0，a3b3a2bab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a0，则，故B错误；对于C
4、，若，则ab，故C正确；对于D，当x0时，x的最小值为2，当且仅当x时取等号，故D正确故选A、C、D.11已知关于x的不等式ax2bx30，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是()A不等式ax2bx30的解集可以是x|x3B不等式ax2bx30的解集可以是RC不等式ax2bx30的解集可以是D不等式ax2bx30的解集可以是x|1x0，当x3时，b1.即当b1时，x3可使bx30成立，故A正确；在B中，取a1，b2，得x22x3(x1)220，解集为R，故B正确；在C中，当x0时，ax2bx330，知其解集不为，当a0，知其解集也不为，故C错误；在D中，依题意得a0，且解得符合题意，故D
5、正确12已知关于x的方程x2(m3)xm0，下列结论正确的是()A方程x2(m3)xm0有实数根的充要条件是mm|m9B方程x2(m3)xm0有一正一负根的充要条件是mm|m0C方程x2(m3)xm0有两正实数根的充要条件是mm|01解析：选BCD在A中，由(m3)24m0得m1或m9，故A错误；在B中，当x0时，函数yx2(m3)xm的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是mm|m0，故B正确；在C中，由题意得解得0m1，故C正确；在D中，由(m3)24m0得1m9，又m|1m1，故D正确三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若命题“xR
6、，x22mxm20”为假命题，则m的取值范围是_解析：命题“xR，x22mxm20的解集为x|x1，则ab_，一元一次不等式axb0的解集为_解析：由题意知，3和1是方程x2axb0的两根，所以解得故ab1.不等式axb0即为2x30，所以x.答案：115在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_解析：原不等式等价于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)对任意x恒成立，因为x2x1，所以a2a2，解得a.所以a的最大值为.答案：16对于实数x，当且仅当nxn1(nN)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析：由4x236x4
7、50，得x，又当且仅当nxn1(nN)时，xn，所以x2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为x|2x8答案：x|2xy，则x3y3正确(2)(3)(4)(5)(6)解：答案不唯一，示例如下：相等关系不等关系相等关系的命题不等关系的命题判断正误(1)若xy，则x3y3(1)若xy，则x3y3正确(2)若xy，则(2)若xy，则正确(3)若xy，则x2y2(3)若xy，则x2y2错误(4)若xy，则xzyz(4)若xy，则xzyz错误(5)若xy，pq，则pxqy(5)若xy，pq，则pxqy错误(6)若xy(xy0)，则(6)若xy(xy0)，则错误18.(本小题满分12分)已知a0，b
8、0且1.(1)求ab的最小值；(2)求ab的最小值解：(1)因为a0，b0且1，所以2 2，则21，即ab8，当且仅当即时取等号，所以ab的最小值是8.(2)因为a0，b0且1，所以ab(ab)332 32，当且仅当即时取等号，所以ab的最小值是32.19(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明：因为a，b，c均为正数，所以a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c2abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)2
9、3时，式等号成立故当且仅当abc时，原不等式等号成立20(本小题满分12分)已知关于x的方程x22xa0.当a为何值时，(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?(2)方程的一个根大于1且小于1，另一个根大于2且小于3?解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数yx22xa的图象(如图所示)知，当x1时，函数值小于0，即122a0，所以a1.因此a的取值范围是a|a1(2)由方程的一个根大于1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数yx22xa的图象(如图所示)知，x取1，3时函数值为正，x取1，2时函数值为负，即解得3a0.因此a的取值范围是a|3a021(本小题满
10、分12分)已知函数yax2(2a1)x2.(1)当a2时，解关于x的不等式y0；(2)当a0，解关于x的不等式y0.解：(1)当a2时，y2x25x20，可得(2x1)(x2)0，x2，解集为.(2)ax2(2a1)x20，即a(x2)0.当0a时，有2，解得2x；当a时，有2，解得x2；当a时，有2，解得x2.综上，当0a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为x|x2；当a时，不等式的解集为.22(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)
11、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解：(1)设每件定价为t元，依题意得t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意得当x25时，不等式ax25850(x2600)有解，等价于当x25时，a有解由于2 10，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元