1、第1课时空间直角坐标系及点的坐标 核心必知1空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系 (2)坐标系中相关概念如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面2空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系问题思考1画空间直角坐标
2、系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90？提示：不是空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90，但在画直观图时通常画xOy135，使x轴、y轴确定的平面水平，yOz90，以表示z轴竖直2确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面，于是，交于一点，该点即为所求(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置(3)以原点O为一个顶
3、点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点讲一讲1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标尝试解答如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.长方体的棱长AD3，DCAB5，DD1AA14，显然D(0,0,0)，A在x轴上，A(3,0,0)；C在y轴上，C(0,5,0)；D1在z轴上，D1(0,0,4)；B在xOy平面内，B(3,5,0)；A1在xOz平面内，A1(3,0,4)；C
4、1在yOz平面内，C1(0,5,4)由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，B1的横坐标为3，纵坐标为5，B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，B1的竖坐标为4，B1(3,5,4)1建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标练一练1如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G
5、三点的坐标解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|.E点的坐标为.B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.同理可得G点坐标为.讲一讲2求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标尝试解答如图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使AMCM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)过A作ANx轴于N并延长到点B，使ANNB.则A与B关于x轴对称且B(1，2,1)A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)A(1,2，1)关于x轴对称的点B
6、(1，2,1)点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P(x，y，z)关于原点对称,P1(x，y，z)；(2)P(x，y，z)关于x轴对称,P2(x，y，z)；P(x，y，z)P3(x，y，z)；P(x，y，z)P4(x，y，z)记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”(3)P(x，y，z)P5(x，y，z)；P(x，y，z)P6(x，y，z)；P(x，y，z)P7(x，y，z)练一练2设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图)正四棱锥SP
7、1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2Oy轴，P1P4Ox轴，SO在Oz轴上，d(P1P2)a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，P1，P2.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称P3，P4.又|SP1|a，|OP1|a，在RtSOP1中，|SO| a.S.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标错解如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系显然A(0,0,0)，又各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1
8、)，B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)错因因为三棱柱各棱长均为1，所以ABC为正三角形，即BAC60，即错解中建立的坐标系xOy90.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”正解取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
9、三棱柱各棱长均为1，OAOCO1C1O1A1，OB，A，B，C均在坐标轴上，A，B，C，点A1与C1在yOz平面内，A1，C1，点B1在xOy面内射影为B，且BB11.B1，各点的坐标为A，B，C0，0，A10，1，B1，C1.1z轴上点的坐标的特点是()A竖坐标为0B横坐标，纵坐标都是0C横坐标为0D横，纵，竖坐标不可能都是0解析：选B点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z轴上，所以其横、纵坐标都是0.2已知空间直角坐标系中一点A(3，1，4)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A(3，1,4)B(3，1，4)C(3,1,4) D(3，1，4)解析：选A点A关于x轴的对称点A的y、
10、z坐标都变为相反数，x坐标不变，A(3，1,4)3点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上解析：选C点的纵坐标为0，点在xOz平面上4在空间直角坐标系Oxyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是_解析：求点P关于xOz平面的对称点，只要将y坐标变为原来的相反数，对称点的坐标是(1，2,3)答案：(1，2,3)5已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_解析：设其中点为M(x，y，z)，由中点坐标公式可知x4，y0，z1，故M的坐标为(4,0，1)答案：(4,0，1)6.如图所示，在长方体ABCD
11、ABCD中，E，F分别是BB，BD的中点，其中|AB|4，|BC|3，|DD|2.求点E，F的坐标解：点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，而点E的z坐标为1，E(3,4,1)点F在坐标平面xDy上的射影的点的坐标为，而点F的z坐标为2，F.一、选择题1有下列叙述：在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)其中正确叙述的个数是()A1B2C3 D4解析：选C错误
12、，正确2已知点A(3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A(1，3，4) B(4,1，3)C(3，1，4) D(4，1,3)解析：选C空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数A(3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，1，4)3在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(2,3,4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对解析：选BP，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，P，Q关于yOz平面对称4设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()Az轴B与平面xOy平行的一直线C平面xOyD与平面xOy垂直
13、的一直线解析：选D(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线5已知点A(2,3，1v)关于x轴的对称点为A(，7，6)，则，v的值为()A2，4，v5B2，4，v5C2，10，v8D2，10，v7解析：选D两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有2,7(3)，6(1v)，2，10，v7.二、填空题6点A(5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为_解析：点A(5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为(5,5，
14、6)答案：(5,5，6)7点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为_解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(2,4，6)答案：(2,4，6)8在空间直角坐标系中，点M(2，4，3)在xOz平面上的射影为M点，则M关于原点对称的点的坐标是_解析：点M在xOz上的射影为(2,0，3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)答案：(2,0,3)三、解答题9如图，棱长为a的正方体OABCDABC中，对角线OB与BD相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标解：因为OB与BD相交于点Q，所以Q点在
15、xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为.同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD与OA的交点，所以Q点的坐标为.10如右图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，且为D1D的中点，故点E坐标为.过F作FMAD，FNDC，则|FM|FN|，故点F坐标为；点G在y轴上，又|GD|，故点G坐标为；过H作HKCG于点K，由于H为C1G的
16、中点，故|HK|，|CK|.|DK|.故点H的坐标为.第2课时空间两点间的距离公式核心必知1长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A，C的线段AC称为长方体的对角线(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|.问题思考1空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|.2已知点P(x，y，z)
17、，如果r为定值，那么x2y2z2r2表示什么图形？提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2y2z2r2知点P到原点的距离为定值|r|.因此r0时，x2y2z2r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面当r0时，x2y2z20表示原点讲一讲1.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AD|3，|CD|4，|DD1|2，作DEAC于E，求点B1到点E的距离尝试解答建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，得A(3,0,0)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，设E(x，y,0)在RtADC中，|AD|3，|CD|4，|AC|5，|DE|.在RtADE中，|DE|2x|AD|，x.在RtCDE中
18、，|DE|2y|CD|，y.E.|B1E| .空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z1z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z1z20，即得平面内两点间距离公式练一练1在空间直角坐标系中，已知ABC的顶点分别为A(1,2,3)，B(2，2,3)，C.判断ABC的形状解：法一：|AB| 5，|AC| ，|BC| .所以|BC|2|AC|2|AB|225，所以ABC是以C为直角顶点的直角三角形法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情况即可|AB|
19、5.|BC| ，|AC| .所以|BC|2|AC|2|AB|2，所以ABC是以C为直角顶点的直角三角形.讲一讲2在xOy平面内的直线2xy0上确定一点M，使它到点P(3,4 ,5)的距离最小，并求出最小值尝试解答点M在xOy平面内的直线2xy0上，设点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP| .当a1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2 ,0)M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少
20、参数，还能简化计算练一练2在空间直角坐标系中，求到两定点A(2,3,0)，B(5,1,0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件解：点P的坐标为(x，y，z)，则由题意可得|PA|，|PB|，PAPB，等式两边同时平方、整理得6x4y130，P点坐标满足条件为6x4y130.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)求：(1)MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小巧思建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解妙解(1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面
21、ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD.AB，BC，BE两两垂直以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系则Ma,0,1a，Na，a,0.|MN| (0a0)(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件因此，三个独立的条件可以确定一个圆(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程4直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数
22、法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr，其中d为圆心到直线的距离(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线若切线所过点(x0，y0)在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2；若点(x0，y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情
23、况也可能符合题意5常用的直线系和圆系(1)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数，且C)(2)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)(3)过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程是：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(为参数，且 0)(4)过直线l：AxByC0(A，B不同时为0)与圆C：x2y2DxEyF0(D2E24F0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数6对称问题对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法一般来说，对称问题可分为四个类型：
24、点关于点的对称；点关于直线的对称点；直线关于直线的对称直线；直线关于点的对称直线归根结底，都可转化为点关于点的对称(1)中心对称点的中心对称：若点M(x1，y1)关于P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得直线的中心对称：主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程(2)轴对称点的轴对称：点A(x0，y0)关于直线l：AxByC0对称点B(x，y)可由方程组求得直线的轴对称：主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程特殊情况：关于x轴对称，方法关于y轴对称，方法关于直线yx对称，方法即x，y对调；关于直线yx对称，方法即x，y对调之后加负号考点1直线的倾斜角与斜率典例1求直线axy20(1a1)的倾斜角的取值范围解直线的斜率ka，k，当0k时，直线的倾斜角满足0.当k0时，直线的倾斜角满足4，即|m1|2，解得m1或m0，因此x3或x3.所以BC3或BC3.