1、11直线的倾斜角和斜率 预习课本P6164，思考并完成以下问题(1)直线倾斜角是怎么定义的？ (2)过两点的直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何？ 1直线的倾斜角(1)概念：在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角(2)范围：0180，当直线l和x轴平行时，倾斜角为0.2直线的斜率(1)概念：斜率k是直线倾斜角(90)的正切值，通常把tan_叫作直线的斜率(2)斜率与倾斜角对应关系：图示倾斜角(范围)00909090180斜率(范围)k0k0不存在k0(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率
2、公式：k.点睛直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()(3)斜率公式与两点的顺序无关()答案：(1)(2)(5)2若直线l的倾斜角为60，则该直线的斜率为_答案：3经过两点A(3,2)，B(4,7)
3、的直线的斜率是_答案：54经过两点P(1，4)，Q(1，4)的直线的倾斜角是_答案：0直线的倾斜角典例设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135解析因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意根据题意，画出图形，如图所示：通过图像可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.答案D求直线倾斜角的常用方法(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角(2)分类法：根据题意
4、把倾斜角分为以下四类讨论：0，090，90及90180.活学活用一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为( )AB180C180或90D90或90解析：选D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.求直线的斜率典例(1)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30到达l位置，则直线l的斜率为_(2)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率A(1,1)，B(1，2)；A(2，3)，B(2,3)；A(2,2)，B(10,2)解析(1)因为直线l的斜率k，所以直线l的倾斜角为30，所
5、以直线l的倾斜角为303060，所以直线l的斜率ktan 60.答案：(2)解：存在，k.不存在，因为两点的横坐标相等，所以斜率不存在存在，k0.求直线斜率的两种方法(1)已知直线的倾斜角时，可根据斜率的定义，利用ktan 求得(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k，要注意前提条件x1x2.若x1x2，则斜率不存在当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率活学活用经过点P(2，m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于，则m的值是()A4B3C1或3 D1或4解析：选B由条件知.解得m3.直线的倾斜角和斜率的综合应用典例已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点
6、P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使l与线段AB有公共点，故直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，故的取值范围是45135.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解活学活用已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线AB
7、和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.层级一学业水平达标1给出下列说法，正确的个数是()若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为0的直线只有一条；直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0B1C2 D3解析：选A若两直线的倾斜角为90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是0180
8、，错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0，错；不同的直线可以有相同的倾斜角，错2已知直线l的倾斜角为120，则直线l的斜率为( )A B.C1 D解析：选A由题意可知，ktan 120.3过点A(，)与B(，)的直线的倾斜角为( )A45 B135C45或135 D60解析：选AkAB1.4若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )A(，1) B(1，)C(，1) D(1，)解析：选A由l的倾斜角为锐角，可知kAB0，即m1.5若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是( )A45，1 B135，1C90，不存在 D180，不存在解析：选C由于A
9、，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90，斜率不存在故选C.6若过点A(4,2)和B(5，b)的直线与过点C(1,2)，D(3,4)的直线的斜率相等，则b的值为_解析：由题意，可得1，b3.答案：37已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB2，则B点的坐标为_解析：若B点在x轴上，则设B点坐标为(x,0)，由题意知2，解得x1，即B(1,0)；若B点在y轴上，则设B点坐标为(0，y)，由题意知2，解得y2，即B(0，2)点B的坐标可以为(1,0)或(0，2)答案：(1,0)或(0，2)8已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数a的值为_解析：
10、A，B，C三点共线，kABkBC，即，a2或.答案：2或9已知直线过点A(2m,3)，B(2，1)，根据下列条件求m的值(1)直线的倾斜角为135；(2)直线的倾斜角为90；(3)点C(3，m)在直线上解：(1)由题意，得tan 1351，得m1.(2)由题意，得2m2，得m1.(3)由题意，得，得m.10已知直线l上两点A(2,3)，B(3，2)，求其斜率若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a时，b的值解：由斜率公式得kAB1.C在l上，kAC1，即1.ab10.当a时，b1a.层级二应试能力达标1设点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，若直线PM的斜率为k(k0)
11、，则直线PN的斜率是( )AkBkC. D解析：选B设P点的坐标为(0，y0)，M(x1，y1)，N(x1，y1)，由题意知PM斜率为k，而直线PN的斜率为k，故选B.2l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是()A090B90180C90180 D0180解析：选C直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90180.3如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )Ak1k2k3 Bk1k3k2Ck2k1k3 Dk3k2k1解析：选A根据“当090时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确4已知直线l经过点A(1,2)，且不经
12、过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A(1,0 B0,1C1,2 D0,2解析：选D由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选D.5已知A(1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和2，则点P的坐标是_解析：设点P(x，y)，则有2且2，解得x1，y6，即点P坐标是(1,6)答案：(1,6)6若经过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_解析：由题意知，斜率k0，解得2a1.答案：(2,1)7已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围解：设直线l的斜率为
13、k，倾斜角为，当m1时，斜率k不存在，90，当m1时，k，当m1时，k0，此时为锐角，090，当m1时，k0，此时为钝角，90180.所以直线l的斜率k的取值范围为(，0)(0，)，倾斜角的取值范围为0180.8点M(x，y)在函数y2x8的图像上，当x2,5时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图像上，且x2,5，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为.12直线的方程第一课时直线方程的点斜式 预习课本P6567，思考并完成以下问题 (1)直线的点斜式方程是什么？ (2)直线的斜截式方程是什么？两种形式
14、的方程适用的条件是什么？ (3)直线在y轴上的截距指的是什么？ 1直线的点斜式与斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P0(x0，y0)和斜率k斜率k，直线与y轴的交点为(0，b)方程形式yy0k(xx0)ykxb图示适用条件斜率存在2直线在y轴上的截距(1)条件：直线的斜截式方程ykxb.(2)结论：b叫做直线ykxb在y轴上的截距点睛点斜式与斜截式的选择条件(1)点斜式的选择条件：已知斜率(或直线的倾斜角)；已知直线上一点可选点斜式方程(2)斜截式的选择条件：已知在y轴上的截距；已知斜率可选斜截式方程1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于
15、x轴的任何直线()(2)直线l的斜率为k，与x轴交点的横坐标为b，则直线方程可表示为ykxb.()(3)经过点P(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线都可写出点斜式方程()答案：(1)(2)(3)2过点P(2,0)，斜率为3的直线方程是( )Ay3x2 By3x2Cy3(x2) Dy3(x2)答案：D3直线y2x3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A2,2 B3，3C3,2 D2，3答案：D4直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是_答案：3直线方程的点斜式典例根据条件写出下列直线的方程，并画出图形：(1)经过点A(1,4)，斜率k3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45；(3)经
16、过点B(3，5)，倾斜角为90；(4)经过点C(2,8)，D(3，2)解(1)y43x(1)，即y3x1.图形如图(1)所示(2)ktan 451，y0x0，即yx.图形如图(2)所示(3)斜率k不存在，直线方程为x3.图形如图(3)所示(4)k2，y82(x2)，即y2x4.图形如图(4)所示求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外活学活用1过点(1,2)，且倾斜角为135的直线方程为_解析：ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(
17、x1)，即xy10.答案：xy102斜率为，与x轴交点的横坐标为7的直线的点斜式方程为_解析：由直线与x轴交点的横坐标为7，得直线过点(7,0)又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为：y0(x7)答案：y0(x7)直线方程的斜截式典例根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150，由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3
18、，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.活学活用已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1,1)，求m的值解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y2xm.直线l过点(1,1)，将x1，y1代入方程y2xm,121m，m1即为所
19、求层级一学业水平达标1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选C方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则此直线方程为( )Ayx2Byx2Cyx2 Dyx2解析：选D斜率ktan 60，则此直线方程为yx2.3方程yk(x4)表示( )A过点(4,0)的所有直线B过点(4,0)的一切直线C过点(4,0)且不垂直于x轴的一切直线D过点(4,0)且除去x轴的一切直线解析：选C显然yk(x4)中斜率存在，因此不包
20、含过点(4,0)且斜率不存在即垂直于x轴的直线4如果方程为ykxb的直线经过二、三、四象限，那么有( )Ak0，b0 Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0解析：选D因为直线ykxb经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y轴上的截距为负，因此k0，b0，故选D.5直线yax的图像可能是()解析：选B由yax可知，斜率和在y轴上的截距必须异号，故B正确6直线yx4在y轴上的截距是_解析：由yx4，令x0，得y4.答案：47直线yxm过点(m，1)，则其在y轴上的截距是_解析：yxm过点(m，1)，1mm，即m，从而在y轴上的截距为.答案：8已知一条直线经过点P(1,2)，且其斜率与直线y2
21、x3的斜率相同，则该直线的方程是_解析：直线的斜率与y2x3的斜率相同，故k2，又过P(1,2)，直线的方程为y22(x1)，即2xy0.答案：2xy09直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30角得直线l2，求直线l1和l2的方程解：直线l1的方程是y2(x1)即x3y60.k1tan 1，1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角为215030120，k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20.10求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(，1)；(2)在y轴上的截距是5.解：直线yx1的斜率k
22、，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30，(1)所求直线经过点(，1)，斜率为，所求直线方程是y1(x)，即x3y60.(2)所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.层级二应试能力达标1直线3x2y60的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )Ak，b3Bk，b2Ck，b3 Dk，b3解析：选C由3x2y60，得yx3，知k，b3.2直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2的位置关系如图所示，则有()Ak1k2且b1b2Bk1k2且b1b2Ck1k2且b1b2Dk1k2且b1b2解析：选A设直线l1，l2的倾斜角分别为1，2.
23、由题图可知9012180，所以k1k2.又b10，b20，所以b1b2.故选A.3在等腰ABO中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选D如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，kOA3，kAB3，直线AB的方程为y33(x1)4不论m为何值，直线mxy2m10恒过定点( )A(1,2) B(2,1)C(2，1) D(2,1)解析：选B直线方程可化为y1mx(2)，直线恒过定点(2,1)5已知直线l：yk(x1)2不经过第二象限，则k的取值范围是_解析：由l的方程知
24、l过定点A(1,2)，斜率为k，则kOA2(O为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k2时满足条件答案：2，)6给出下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1；直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程其中正确结论的序号为_解析：不正确方程k不含点(1,2)；正确；正确；只有k存在时成立答案：7已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为，求直线l的方程解：设所求的直线l的方程为y6xb，令x0，yb，令y0，x，l与x，y轴的交点分别为，(0，b)由题意，得2b237
25、，得b6.直线l的方程为y6x6.8求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为的直线方程解：设直线l的方程为yxb.令x0，得yb；令y0，得xb.由题意，得|b|b|9.|b|b|b|9，b3.所求直线方程为yx3或yx3.第二课时直线方程的两点式和一般式 预习课本P6769，思考并完成以下问题 (1)如何由直线上的两点确定直线的方程？ (2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？ (3)直线的一般式方程是什么？ 1直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在x，y轴上的截距分别为a，b示意图方程1适用范围
26、y1y2且x1x2ab0点睛在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线2直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程 AxByC0叫做直线的一般式方程，简称一般式其中系数A，B满足A，B不同时为0.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程()(2)截距式可表示除过原点外的所有直线()(3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()(4)平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)表示()答案：(
27、1)(2)(3)(4)2直线1(ab0)的图像可能是( )答案：C3过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是()Ax2 015Bx2 016Cy2 015 Dxy2 017答案：A4直线xy50的倾斜角为()A45 B60C120 D135答案：A直线方程的两点式和截距式典例(1)求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(2,3)，B(4，1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等解(1)由两点式得，化简得2x3y50.(2)由截距式，得1，化简得5x4y200.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x2y0.当
28、直线不过原点时，设直线方程为1，直线过P(2,3)，1，a5，直线方程为xy50，所以所求直线方程为3x2y0或xy50.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错位在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用 若直线l过点P(4，3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程解：法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.(1)当a0，b0时，设l的方程为1.点
29、P(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy1.若ab，则a7，b7，此时直线的方程为xy7.(2)当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0.法二：设直线l的方程为y3k(x4)，令x0，得y4k3；令y0，得x.又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等|4k3|，解得k1或k1或k.所求的直线方程为xy70或xy10或3x4y0.直线方程的一般式典例设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别确定m的值；(1)l在x轴上的截距是3；(2)l的斜率是1.解(1)由题意可得由得：m
30、1且m3，由得：m3或m.m.(2)由题意得由得：m1且m，由得：m1或m2. m2.直线方程的几种形式的转化 活学活用根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是，经过点A(8，2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，3；(4)经过两点P1(3，2)，P2(5，4)解：(1)由点斜式得y(2)(x8)，即x2y40.(2)由斜截式得y2，即y20.(3)由截距式得1，即2xy30.(4)由两点式得，即xy10.直线方程的综合应用典例已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a
31、的取值范围解(1)证明：将直线l的方程整理为ya，直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限(2)直线OA的斜率为k3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA3，a3.故a的取值范围为3，)含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系这无穷多条直线是过同一个点的这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键活学活用设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1)证明：直线l的方程可变形为(a1)xy3(a1)0.即y3(a1)(x
32、1)故不论a取何值，直线l恒过定点(1，3)(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.故a的取值范围是(，1层级一学业水平达标1过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.0B.0C.1 D.1解析：选C由截距式得，所求直线的方程为1.2直线1在两坐标轴上的截距之和为( )A1 B1C7 D7解析：选B直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为4，因此截距之和为1.3直线1过第一、二、三象限，则( )Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0解析：选C由于直线过第一、二、三象限，故其a0，b0.4直线2xy70在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a，b的值是( )Aa
33、7，b7 Ba7，bCa，b7 Da，b7解析：选D令x0得y7，b7，令y0得x，a.5已知直线a1xb1y10和直线a2xb2y10都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A2xy10 B2xy10C2xy10 Dx2y10解析：选A点A(2,1)在直线a1xb1y10上，2a1b110.由此可知点P1(a1，b1)在直线2xy10上点A(2,1)在直线a2xb2y10上，2a2b210.由此可知点P2(a2，b2)也在直线2xy10上过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2xy10.6过点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截
34、距是_解析：直线方程为，即y2x3，令y0得x，在x轴上的截距为.答案：7已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方程为_解析：由题意，ktan 60，点斜式方程：y4(x0)，截距式方程：1，斜截式方程：yx4，一般式方程：xy40.答案：y4(x0)1yx4xy408已知直线l的斜率是直线2x3y120的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x3y120在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_解析：由2x3y120知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x3y240.答案：x
35、3y2409求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解：设直线方程的截距式为1.则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20.10三角形的顶点坐标为A(0，5)，B(3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程解：直线AB过点A(0，5)，B(3,3)两点，由两点式方程，得.整理，得8x3y150.直线AB的方程为8x3y150.又直线AC过A(0，5)，C(2,0)两点，由截距式得1，整理得5x2y100，直线AC的方程为5x2y100.层级二应试能力达标1直线(m2)x(m22m3)y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为( )A.B
36、6C D6解析：选B令y0，则直线在x轴上的截距是x，3，m6.2两条直线l1：ykxb，l2：ybxk(k0，b0，kb)的图像是()解析：选C由k0，b0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A、B、D错误3直线xy10与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. B2C1 D.解析：选D由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，1)，故三角形面积为.4若直线AxByC0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件()AA，B，C同号 BAC0，BC0CC0，AB0 DA0，BC0解析：选A将直线方程化为点斜式为yx.由题意知直线过二、三、四象限，则有由此可知A
37、，B，C同号5过点(2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为_解析：(1)过原点时，设为ykx，则k，yx.(2)不过原点时，设为1，将点(2,3)代入得a5，所求直线方程为3x2y0或xy50.答案：3x2y0或xy506已知直线AxByC0的斜率为5，且A2B3C0，则直线的方程是_解析：因为直线AxByC0的斜率为5，所以B0，且5，即A5B，又A2B3C0，所以5B2B3C0，即CB.此时直线的方程化为5BxByB0.即5xy0，故所求直线的方程为15x3y70.答案：15x3y707求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)当直线过原点时
38、，设为ykx，由点A(5,2)得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.8一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程解：如图所示，作A点关于x轴的对称点A，显然，A坐标为(3，2)，连接AB，则AB所在直线即为反射光线由两点式可得直线AB的方程为，即2xy40.同理，点B关于x轴的对称点为B(1，6)，由两点式可得直线AB的方程为，即2xy40，入射光线所在直线方程为2xy40，反射光线
39、所在直线方程为2xy40.13两条直线的位置关系 预习课本P7072，思考并完成以下问题 (1)两条直线平行时，它们的斜率之间有什么关系？ (2)两条直线垂直时，它们的斜率之间有什么关系？ 1当直线是斜截式方程时，两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为1，2，当斜率存在时，设直线方程为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(b1b2)，则位置关系平行垂直斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在前提条件12901a290|21|9010，290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在l1l2k1k21l1斜率为0，l2斜率不存在图示2当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平
40、行和垂直关系：直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)；l1l2A1A2B1B20.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等()(2)斜率相等的两条直线一定平行()(3)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为1.()答案：(1)(2)(3)2下列直线中与直线xy10平行的是( )Axy10 Bxy10Caxaya0 Dxy10或axaya0答案：B3直线ykx与直线y2x1垂直，则k_.答案：4若直线l1：2xmy10与直线l2：y3x1平行
41、，则m_.答案：两条直线平行、垂直的判定典例判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.解(1)l1：yx，l2：yx.则k1，b1，k2，b2.k1k2，b1b2，l1l2.(2)l1：yx，l2：y2x2.则k1，k22，k1k21，l1l2.(3)直线l1，l2的斜率均不存在，且24，l1l2.(4)直线l1的斜率k10，直线l2斜率不存在，l1l2.已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法 活学活用判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关
42、系(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解：(1)k11，k21，k1k2，l1l2或l1与l2重合(2)k11，k21，k1k2，数形结合知，l1l2.(3)k110，k2，k1k21，l1l2.(4)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k20，则l2x轴l1l2.利用两直线平行、垂直求直线方程典例已知点A(2,2)和直线l：3x4y20
43、0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解法一：直线l的方程为3x4y200，kl.(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，klkl1，kl1.l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，klkl21，kl21，kl2.l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.法二：(1)设所求直线方程为3x4yC0，点(2,2)在直线上，3242C0，C14.所求直线方程为3x4y140.(2)设所求直线方程为4x3y0，点(2,2)在直线上，42320，2，即所求直线方程为4x3y20.直线方程的常用设法(1)过定点P(x0，y
44、0)，可设点斜式yy0k(xx0)；(2)知斜率k，设斜截式ykxb；(3)与直线AxByC0平行，设为AxBym0；(4)与直线AxByC0垂直，设为BxAyn0.活学活用若直线l与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程解：设直线的方程为2x3y0(5)，令x0，则在y轴上的截距为b；令y0，则在x轴上的截距为a，由ab，得1，所以所求直线l的方程为2x3y10.利用两直线平行、垂直求参数典例若直线l1：ax4y20，l2：xay10，求：a取何值时，l1l2，l1l2.解将直线l1化成斜截式方程为yx，当a0时，l2的方程为x1，l1的方程为y，此时l1l2；当a
45、0时，l2的斜截式方程为yx.若即a2时，l1l2；若1，即1，矛盾，故l1与l2在a0时不垂直综上，当a2时，l1l2；当a0时，l1l2.在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论活学活用已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3a,4)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值解：kl1，(1)若l1l2，则3a2，且kl2，即a1且a25，a.(2)当a32，即
46、a1时，l2无斜率，此时kl11，所以l1与l2不垂直，当a32，即a1时，kl2，由l1l2得，kl1kl21.解得a0.层级一学业水平达标1直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()A平行B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k21.故两条直线垂直2已知过点A(1，m)和B(m,5)的直线与3xy10平行，则m的值为( )A0 B.C2 D10解析：选B由题意kAB3，得m.3下列说法中，正确的是( )A若直线l1与l2的斜率相等，则l1l2B若直线l1与l2互相平行，则它们的斜率相等C直线l1与l2中，若一条直线的
47、斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2一定相交D若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1l2解析：选C若l1与l2中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2不平行，故l1与l2一定相交4过点(1,3)，且平行于直线x2y30的直线方程为( )Ax2y70 B2xy10Cx2y50 D2xy50解析：选A由点斜式y3(x1)，得x2y70，故选A.5平行于直线4x3y30，且不过第一象限的直线的方程是( )A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420解析：选B平行于直线4x3y30的直线具有形式4x3yc0，故排除A、D.但选项C中直线的截距为正，直线过
48、第一象限，不符合条件，故应选B.6若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，给出下面四个结论：ABCD；ABCD；ACBD；ACBD.其中正确的是_(把正确选项的序号填在横线上)解析：kAB，kCD，kAC，kBD4，ABCD，ACBD.答案：7与直线3x2y60平行且纵截距为9的直线l的方程为_解析：设直线l的方程为3x2yb0，令x0，y9，得b18，故所求的直线方程为3x2y180.答案：3x2y1808已知A(3,1)，B(1，1)，C(2,1)，则ABC的BC边上的高所在的直线方程为_解析：kBC，BC边上的高所在直线的斜率k，所求直线方程为y1(x3)，即3x2
49、y110.答案：3x2y1109已知点A(1,3)，B(4,2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标解：设M(x,0)，M是以AB为直径的圆与x轴的交点，AMBM，kAMkBM1，即1，x23x20，x1或x2，M(1,0)或M(2,0)10已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得，kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1
50、，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形层级二应试能力达标1已知直线l1的倾斜角为45，直线l2过点A(1,2)，B(5，4)，则l1与l2的位置关系是( )A平行B相交但不垂直C垂直 D平行或重合解析：选Dl1的倾斜角为45，k1tan 451，又l2过点A(1,2)，B(5，4)，k21，k1k2，l1与l2平行或重合，故选D.2已知直线6x2y30与直线3xy20，则两直线的位置关系是()A重合 B平行C垂直 D相交解析：选B设两直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别是b1，b2，则k13，k23，b1，b22，因为k1k2，b1b2，所以两直线平行3以A(1,1)，B(2，1
51、)，C(1,4)为顶点的三角形是( )A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形解析：选CkAB，kAC，kABkAC1，即ABAC.故选C.4直线xa2y60和直线(a2)x3ay2a0没有公共点，则a的值是( )A1 B0C1 D0或1解析：选D两直线无公共点，即两直线平行，13aa2(a2)0，a0或1或3，经检验知a3时两直线重合5若直线l1：2x5y200，l2：mx2y100与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为_解析：l1，l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补因为坐标轴垂直，故l1l2，即2m100，m5.答案：56
52、若三条直线2xy40，xy50和2mx3y120围成直角三角形，则m_.解析：设l1：2xy40，l2：xy50，l3：2mx3y120，l1不垂直于l2，要使围成的三角形为直角三角形，则l3l1或l3l2.由l3l1得2m1，m；由l3l2得1m1，m.故m或.答案：或7已知点M(2,2)，N(5，2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P的坐标(1)MOPOPN(O为坐标原点)；(2)MPN是直角解：设P(x,0)，(1)MOPOPN，MOPN，kO MkNP，又kO M1，kNP.1，解得x7，即P(7,0)(2)MPN90，MPNP，kMPkNP1，kMP，kNP，1，解得x1或x6.
53、P(1,0)或(6,0)8已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点(1)求点D，使直线CDAB，且BCAD；(2)判断此时四边形ACBD的形状解：(1)设D(x，y)，即D点坐标为(0,1)(2)kAC，kBD，kACkBD.ACBD.四边形ACBD为平行四边形而kBC2，kBCkAC1.ACBC.四边形ACBD是矩形又DCAB，四边形ACBD是正方形14两条直线的交点预习课本P7274，思考并完成以下问题(1)两条直线有哪几种位置关系？ (2)如何根据直线方程判断两条直线的位置关系？ (3)两条直线的交点同时满足这两条直线吗？ 两条直线的交点两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，
54、交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是两条直线的交点，因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点坐标就是方程组的实数解()(2)若方程组无解，则两直线没有交点，两直线平行()(3)直线x2与y3没有交点()答案：(1)(2)(3)2直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是()A(2，1) B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案：B3直线3x2ym0和(m21)x3y3m0的位置关系是()A
55、平行 B相交C重合 D不确定答案：B4斜率为2，且与直线2xy40的交点在y轴上的直线方程为_答案：2xy40求两条直线的交点典例判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标(1)l1：2x3y70，l2：5xy90；(2)l1：2x3y50，l2：4x6y100；(3)l1：2xy10，l2：4x2y30.解(1)解方程组得所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交(2)解方程组2得4x6y100.因此和可以化成同一方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合(3)解方程组2，得10，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1l2.两条直线相交的判定方法(1)联立直线方程解方程组，若有一
56、解，则两直线相交(2)两直线斜率都存在且斜率不等(3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在活学活用两条直线2x3yk0和xky120的交点在直线yx上，那么k的值是( )A4B3C3或4 D4解析：选C由两条直线相交，得k.联立得即两直线的交点为.又该交点在直线yx上，所以，解得k3或k4，故选C.过两直线交点的直线系方程的应用题点一：证明直线系过定点1求证无论k取任何实数时，直线(k1)x(k1)y2k0必过定点，并求出此定点证明：直线方程可整理为(xy)k(xy2)0.则直线(k1)x(k1)y2k0过直线l1：xy0与l2：xy20的交点，联立得方程组解得所以直线恒过定点(1，1)题点二：
57、求过两直线交点的直线方程2求过2xy80和xy30的交点，且与直线2x3y100垂直的直线方程解：设所求直线的方程为(2xy8)(xy3)0，即(2)x(1)y830(*)，所求直线与直线2x3y100垂直，解得，把代入(*)式得所求直线方程为3x2y190.(1)证明含参数的直线方程表示的直线系过定点问题时，一般是将原方程变形整理成(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0的形式，通过解方程组 求出所过的定点(2)求过两已知直线交点的直线方程时，可先设其方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，再根据另外一个条件，利用待定系数法求出即可 层级一学业水平达标1下列各直线中，与直线2xy30
58、相交的是()A2axay60(a0)By2xC2xy50 D2xy30解析：选D直线2xy30的斜率为2，D选项中的直线的斜率为2，故D选项正确2若(1，2)为直线ax3y80与xby0的交点，则a，b的值分别为( )A2， B.，2C2， D2，解析：选A(1，2)为两条直线的交点，3若两直线l1：xmy120与l2：2x3ym0的交点在y轴上，则m的值为( )A6 B24C6 D以上都不对解析：选C分别令x0，求得两直线与y轴的交点分别为：和，由题意得，解得m6.4直线ax3y90与直线x3yb0关于直线xy0对称，则a与b的值分别为( )A3，9 B3，9C9,3 D9，3解析：选C在直
59、线ax3y90上取一点(0,3)，关于xy0的对称点(3,0)在直线x3yb0上，所以b3，同理在直线x3yb0上取一点(0,1)，它关于xy0的对称点(1,0)在直线ax3y90上，所以a9.5过直线2xy40与xy50的交点，且在y轴上截距为8的直线的方程是( )A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80解析：选A解方程组得又直线在y轴上截距为8，即直线过点(0,8)，直线的斜率为k2，故所求的直线方程为y82x，即2xy80.6直线ax2y80,4x3y10和直线2xy10相交于一点，则a的值为_解析：由得直线ax2y80过点(4，2)，4a(4)80，a1.答案：17已知点M
60、(0，1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30，则N点的坐标是_解析：直线MN的方程是y12x，由得所以N点的坐标是(2,3)答案：(2,3)8已知l1：xy10，l2：2xy30，l3：xmy50，若l1，l2，l3只有两个交点，则m_.解析：l1与l2相交，故只需l1l3，或l2l3即可，得m1，或m.答案：1或9设直线l经过2x3y20和3x4y20的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程解：设所求的直线方程为(2x3y2)(3x4y2)0，整理得(23)x(43)y220，由题意，得1，解得1，或.所求的直线方程为xy40，或xy240.10已知两直线l
61、1：mx8yn0和l2：2xmy10.试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2.解：(1)直线l1与l2相交于点P(m，1)，m1，n7.(2)由mm820，得m4，由8(1)nm0，n，即m4，n2时，或m4，n2时，l1l2.层级二应试能力达标1已知直线l1的方程为xAyC0，直线l2的方程为2x3y40，若l1，l2的交点在x轴上，则C的值为()A2B2C2 D与A有关解析：选A在2x3y40中，令y0，得x2，即直线2x3y40与x轴的交点为(2,0)点(2,0)在直线xAyC0上，2A0C0，C2.2当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k
62、的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由方程组得两直线的交点坐标为.因为0k，所以0，0，所以交点在第二象限3已知mR，则直线(2m1)x(2m)y5m0必经过定点( )A(2,1) B(2,1)C(2，1) D(1，2)解析：选B直线方程可化为(x2y)m(2xy5)0，解方程组得因此直线必经过定点(2,1)4若直线xy3m20与xy5m60的交点在第三象限，则m的取值范围是( )A. B.C(4，) D.解析：选A由得由得m4.5已知ax4y20与2x5yb0互相垂直，交点为(1，c)，则abc_.解析：由两直线垂直得1，a10，将交点坐标代入ax4y20，得c
63、2，再代入2x5yb0，得b12，abc4.答案：46已知直线ykx3k2与直线yx1的交点在x轴上，则k的值为_解析：直线yx1交x轴于点(4,0)两条直线的交点在x轴上，直线ykx3k2过点(4,0)04k3k2.k.答案：7已知ABC的顶点A的坐标为(5,6)，两边AB，AC上的高所在直线的方程分别为4x5y240与x6y50，求直线BC的方程解：AB边上的高所在直线的方程为4x5y240，可设直线AB的方程为5x4ym0，把点A(5,6)代入得2524m0，m1，即直线AB方程为5x4y10.由得即B(1,1)同理可得C(6,0)，kBC.直线BC的方程为y(x6)即x5y60.8是否
64、存在实数a，使三条直线：l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0围成一个三角形？并说明理由解：当时，l1l2，解得a1；当时，l1l3，无解；当时，l2l3，无解；当l1与l2，l3相交于同一点时，由得交点(1a,1)，将其代入axy10，得a2或a1.故当a1且a1且a2时，这三条直线能围成一个三角形15平面直角坐标系中的距离公式第一课时两点间的距离公式预习课本P7475，思考并完成以下问题(1)数轴上的两点间的距离公式是什么？ (2)平面内两点间的距离公式是什么？ 两点间的距离公式1数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB|xBxA|.2平面直角坐标系
65、中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|. 点睛两点间的距离公式的特征两点间距离的平方等于两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和公式可简记为：“纵差方，横差方，加起来，开平方”1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|.()(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关()(3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式()答案：(1)(2)(3)2已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为( )A5 B.C3D.答案：B3已知两点A(a，)和B(b，)，则|AB|等于()Aab B|a
66、b| Cab D|ab|答案：D4已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且0，则()A原点一定是线段AB的中点BA，B一定都与原点重合C原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点D原点一定在线段AB的垂直平分线上解析：选D由0得，即A，B两点到坐标原点的距离相等，故选D.利用两点间距离公式求值典例(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，3)到原点的距离相等，则点M的坐标为()A(2,0)B(1,0)C. D(，0)(2)直线2xmy20(m0)与两坐标轴的交点之间的距离为_解析(1)设点M(x,0)(x0)，由题意可知，解得x.(2)直线2xmy20与x轴的交点为(1,0)，与y
67、轴的交点为，所以两交点之间的距离为(m0)答案(1)D(2) (m0)使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷活学活用已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|PB|得，即x22x5x24x11，解得x1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|2.两点间距离公式的应用典例已知ABC三顶点坐标A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状解法一：|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2
68、|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|.ABC是等腰直角三角形(1)计算两点间距离的方法对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解(2)解答本题还要注意构成三角形的条件 活学活用在直线xy40上求一点P，使它到点M(2，4)，N(4,6)的距离相等，求点P的坐标解：设P点的坐标是(a，a4)，由题意可知|PM|PN|，即，解得a，故P点的坐标是.用解析法证明几何问题典例求证：等腰梯形的对角
69、线相等证明已知：等腰梯形ABCD.求证：|AC|BD|.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系设A(a,0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(b，c)则|AC|，|BD|，|AC|BD|.即等腰梯形的对角线相等解析法证明几何问题的步骤(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系另外，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系活学活用已知AO是ABC的边BC的中线求证：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)证明：以O点为原点，BC所
70、在直线为x轴建立直角坐标系，设B(a,0)，C(a,0)，A(x，y)，由两点间距离公式得|AB|2(xa)2y2，|AC|2(xa)2y2，|AB|2|AC|22x22y22a2，|AO|2x2y2，|OC|2a2，|AO|2|OC|2x2y2a2，|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)层级一学业水平达标1已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为()A1B5C1或5 D1或5解析：选C由|AB|5a1或a5，故选C.2已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )A. B.C3 D2解析：选D由两点间的距离公式，得|AC|4，|CB|2，故2.3已知两
71、直线l1：xy20，l2：2xy10相交于点P，则点P到原点的距离为( )A. B5C. D2解析：选C由得两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为.4已知点M(1,3)，N(5,1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )Ax3y80 Bx3y80Cx3y90 D3xy40解析：选D由|PM|PN|，得(x1)2(y3)2(x5)2(y1)2，化简得3xy40.5过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yx平行，则|AB|的值为( )A6 B.C. D2解析：选CkABba.又因为过点A，B的直线与yx平行，所以ba1，所以|AB|.6已知点A(5,2a1)，B(a
72、1，a4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于_解析：|AB|2(5a1)2(2a1a4)22a22a2522，所以当a时，|AB|取得最小值答案：7点P与x轴及点A(4,2)的距离都是10，则P的坐标为_解析：设P(x，y)则当y10时，x2或10，当y10时无解则P(2,10)或P(10,10)答案：(2,10)或(10,10)8设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_解析：设A(x,0)，B(0，y)，AB中点P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4,0)，B(0，2)，|AB|2.答案：29已知矩形ABCD的两个顶点A(1,3)，B(2,4)，若它的
73、对角线的交点M在x轴上，求C，D两点的坐标解：设点M的坐标为(x,0)，由|MA|MB|，根据两点间的距离公式，得 ，解得x5，又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得C(9，3)，D(8，4)10用解析法证明：四边形ABCD为矩形，M是任一点求证：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.证明：分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a,0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0,0)则|AM|2|CM|2x2y2(xa)2(yb)2，|BM|2|DM|2(xa)2y2x2(yb)2.|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.层级二应试能力达标
74、1已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是( )A2B32C63 D6解析：选C|AB|3，|BC|3，|AC|3，则ABC的周长为63.2已知点A(1,3)，B(5，2)，点P在x轴上，则使|AP|BP|取最大值的点P的坐标是()A(4,0) B(13,0)C(5,0) D(1,0)解析：选B点A(1,3)关于x轴的对称点为A(1，3)，连接AB并延长交x轴于点P，即为所求直线AB的方程是y3(x1)，即yx.令y0，得x13.3两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为( )A. B.C. D.解析：选C直线3axy20过
75、定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|.4光线从点A(3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A走到B的距离为( )A5 B2C5 D10解析：选C如图所示，作点A(3,5)关于x轴的对称点A(3，5)，连接AB，则光线从A到B走过的路程等于|AB|，即5.5等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为_解析：|BD|BC|2，|AD|2.在RtADB中，由勾股定理得腰长|AB|2.答案：26在ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若ABC是等边三角形，则点C的坐标为_解
76、析：设点C的坐标为(x，y)，因为ABC为等边三角形，所以|AC|BC|，即.又|AC|AB|，即.由得x2，代入得y1.所以所求点C的坐标为(2,1)或(2,1)答案：(2,1)或(2,1)7已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：|AG|AD|.证明：建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)，F(0,1)，D(2,2)直线DE的方程为y2x2，直线CF的方程为yx1，联立方程组得即点G.从而|AG| 2|AD|，所以|AG|AD|.8求函数y 的最小值解：原式可化为y.考虑两点间的距离公式，如
77、图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|PB|最小作点A(4,2)关于x轴的对称点A(4，2)，由图可直观得出|PA|PB|PA|PB|AB|，故|PA|PB|的最小值为|AB|的长度由两点间的距离公式可得|AB|5，所以函数y的最小值为5.第二课时点到直线的距离公式 预习课本P7678，思考并完成以下问题 (1)点到直线的距离公式是什么？ (2)两平行线间的距离公式是什么？ 1点到直线的距离点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离记为d，则d.2两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l1：AxByC10，l2：AxB
78、yC20，两条直线间的距离记为d，即d.点睛应用点到直线的距离公式的注意事项(1)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离(2)对于特殊直线还可采用数形结合的思想方法求解1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离是|C1C2|.()(2)原点到直线AxByC0的距离公式是.()(3)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值()答案：(1)(2)(3)2点(1，1)到直线xy10的距离是( )A3 B.C3 D.答案：D3点(5，3)到直线x20的距离等于()A7 B5C3 D2答
79、案：A4直线l1：xy0与直线l2：2x2y10间的距离是_答案：点到直线的距离公式的应用典例(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x3y50的距离为_(2)求垂直于直线x3y50，且与点P(1,0)的距离是的直线l的方程解析(1)由点到直线的距离公式可得d. 答案：(2)解：设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知：d.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合
80、)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，即可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可活学活用已知点A(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a()A.B2C.1 D.1解析：选C由点到直线的距离公式知d1，得a1.又a0，a1.两条平行线间的距离公式典例(1)与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是_(2)正方形ABCD的中心在原点，若AB边所在直线方程为3x4y50，求边CD所在直线的方程解析(1)设所求直线为7x24ym0.把直线7x24y5整理为一般式得7x24y
81、50.由两平行直线间的距离公式得：3，解得m70或80，故所求直线方程为7x24y700或7x24y800.答案：7x24y700或7x24y800(2)解：根据正方形的性质，设CD所在的直线方程为3x4y0，则由正方形中心到四边距离相等，故2，即|5|10，解得5或15(不合题意，舍去)所以CD所在直线方程为3x4y50.求两平行直线间的距离的两种思路(1)直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意两直线方程中的x，y的系数对应相等(2)将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离来求解活学活用1两直线3x4y20与6x8y50的距离等于()A3 B7C. D.解析：选
82、C在3x4y20上取一点，其到6x8y50的距离即为两平行线间的距离，d.2已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10平行且距离相等，则l的方程为_解析：设所求的直线方程为2xyc0，分别在l1：2xy30和l2：2xy10上取点A(0,3)和B(0，1)，则此两点到2xyc0的距离相等，即，解得c1，直线l的方程为2xy10.答案：2xy10对称问题 典例如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l8x6y25反射后通过点P(4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得A的坐
83、标为(4,3)反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点A(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点M(x，y)，可由方程组求得(2)常用对称的特例有：A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b)；B(a，b)关于y轴的对称点
84、为B(a，b)；C(a，b)关于直线yx的对称点为C(b，a)；D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a)；P(a，b)关于原点的对称点为P(a，b)活学活用求点A(2,2)关于直线2x4y90的对称点坐标解：设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x4y90的对称点，则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上解得a1，b4.所求对称点坐标为(1,4)层级一学业水平达标1若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是()A1B3C1或 D3或解析：选D由题意得4，解得k3或.2点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是()A(2,1)B(2,5)C(2，5) D(4
85、，3)解析：选B设对称点坐标为(a，b)，解得即Q(2,5)3已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线xy0的距离是( )A.(ab) BbaC.(ba) D.解析：选CP(a，b)是第二象限的点，a0，b0.ab0.点P到直线xy0的距离d(ba)4点P(x，y)在直线xy40上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )A. B.C2 D.解析：选C|OP|最小即OPl时，|OP|min2.5已知两直线2x3y30与mx6y10平行，则它们间的距离等于( )A. B.C. D4解析：选C直线2x3y30的斜率k1，直线mx6y10的斜率k2，得m4.它们间的距离d.6直线2xy10与直
86、线6x3y100的距离是_解析：法一：在方程2xy10中令x0，则y1，即(0，1)为直线上的一点由点到直线的距离公式，得所求距离为.法二：直线2xy10可化为6x3y30，则所求距离为.答案：7若直线l到直线x2y40的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_解析：由题意设所求l的方程为x2yC0，则，解得C2，故直线l的方程为x2y20.答案：x2y208过点M(2,1)且与A(1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程为_解析：由题意直线存在斜率设直线的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由，解得k0，或k.故直线的方程为y1，或x2y0.答案：y1或x2y09已知直线l
87、：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得直线l恒过定点(2,3) (2)因为直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.10已知ABC三个顶点坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30.由两点间距离公式得|BC|2，点A到BC的距离为d，
88、即为BC边上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面积为4.层级二应试能力达标1两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是( )A0d5B0d13C0d12 D5d12解析：选B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以0d13.2若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A3 B2C3 D4解析：选A由题意，结合图形可知点M必然在直线xy60上，故M到原点的最小距离为3.3到直线3x4y110的距离为2的直线方程为( )A3x4y10B3x4y10
89、或3x4y210C3x4y10D3x4y210解析：选B设所求的直线方程为3x4yc0.由题意2，解得c1或c21.故选B.4直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是( )A3x2y60 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析：选D法一：设所求直线的方程为2x3yc0，由题意可知.c6(舍)或c8.故所求直线的方程为2x3y80.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，1)的对称点为(2x0，2y0)，此点在直线2x3y60上，代入可得所求直线方程为2x3y80.5直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为_解析：由已
90、知可知，l是过点A且与AB垂直的直线，kAB，kl3，由点斜式得，y43(x3)，即3xy130.答案：3xy1306若直线l经过点A(5,10)，且坐标原点到直线l的距离为10，则直线l的方程是_解析：k存在时，设直线方程为y10k(x5)，10.k或k0.y10(x5)或y10.k不存在时，x5不符合题意综上所述，4x3y500或y10为所求答案：4x3y500或y107直线l经过A(2,4)，且被平行直线xy10与xy10所截得的线段的中点在直线xy30上，求直线l的方程解：法一：设所求的直线的斜率为k，直线l和平行直线xy10、xy10的交点分别为P，B.则所求直线l的方程为y4k(x
91、2)由可解得P；由可解得B.P，B的中点D的坐标为.又D在直线xy30上，30，解得k5.所以，所求直线的方程为y45(x2)，即5xy60.法二：与xy10及xy10等距离的直线必定与它们是平行的，所以设xyc0，从而，解之得，c0，xy0，又截得的线段的中点在xy30上，由可解得中点坐标为，所以直线l过点(2,4)和，从而得l的方程为5xy60.8已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解：(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3) (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)
