1、2015年安徽省皖北协作区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）“ab0且a+b0”是“a与b均为负数的”（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 由“ab0且a+b0”“a与b均为负数的”，即可判断出【解析】： 解：“ab0且a+b0”“a与b均为负数的”，因此“ab0且a+b0”是“a与b均为负数的”的充要条件故选：C【点评】： 本题考查了充要条件的判定、不等式的性质，
2、考查了推理能力，属于基础题2（5分）复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解析】： 解：复数z=12i，在复平面内对应的点（1，2），所在的象限为第四象限故选：D【点评】： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3（5分）已知2，a1，a2，8成等差数列，2，b1，b2，b3，8成等比数列，则等于（） A B C D 或【考点】： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数
3、列【分析】： 由等差数列和等比数列可得a2a1=2，b2=4，代入要求的式子计算可得【解析】： 解：2，a1，a2，8成等差数列，a2a1=2，又2，b1，b2，b3，8成等比数列，b22=（2）（8）=16，解得b2=4，又b12=2b2，b2=4，=故选：B【点评】： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题4（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的一条渐近线的距离为（） A 1 B 2 C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求【解析】：
4、 解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2=1的一条渐近线为y=x，则焦点到渐近线的距离为d=故选C【点评】： 本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键5（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（） A 2 B 3 C 4 D 5【考点】： 循环结构【专题】： 算法和程序框图【分析】： 根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S2，退出循环体，求出此时的P值即可【解析】： 解：S=1，满足条件S2，则P=2，S=1+=满足条件S2，则P=3，S=1+
5、=满足条件S2，则P=4，S=1+=不满足条件S2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】： 本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断6（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+）上是减函数，又有f（2）=0，则不等式xf（x）0的解集为（） A （，2）（2，+） B （2，0）（0，2） C （2，0）（2，+） D （，2）（0，2）【考点】： 奇偶性与单调性的综合【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：奇函数在（0，+）上是减函数
6、，在（，0）上也是减函数，且f（2）=f（2）=0，即f（2）=0，作出函数f（x）的草图：则不等式xf（x）0等价为x0时，f（x）0，此时x2当x0时，f（x）0，此时x2，综上不等式的解为x2或x2，故不等式的解集为（，2）（2，+），故选：A【点评】： 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用7（5分）函数y=的图象大致是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 综合题；推理和证明【分析】： 利用排除法，即可得出结论【解析】： 解：由题意，x0，排除A；x0，02x1，y=0，排除B；x增大时，指数函数的增长速度
7、大于幂函数的增长速度，排除D，故选：C【点评】： 本题考查函数的图象，考查排除法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8（5分）在极坐标系中，点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为（） A 2 B C D 【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出【解析】： 解：点P（2，）可得：xP=1，yP=，P圆=2cos化为2=2cos，x2+y2=2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）|PC|=故选：D【点评】： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算
8、能力，属于基础题9（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（） A 4 B C 1 D 2【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由线性约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】： 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（1，），化z=2x+y，得y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为21，解得：a=2故选：D【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题10（5分）已知是单位向
9、量，且的夹角为，若向量满足|+2|=2，则|的最大值为（） A 2+ B 2 C +2 D 2【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 由题意可设=（1，0），=（，），=（x，y），可得x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，）为圆心，半径等于2的圆上，由图象即可得到最大值为|OA|【解析】： 解：是单位向量，且的夹角为，设=（1，0），=（，），=（x，y）则+2=（x，y+），|+2|=2，即x2+（y+）2=4，故向量的终点在以C（0，）为圆心，半径等于2的圆上，|的最大值为|OA|=|OC|+r=+2故选：A【点评】： 本题主要考查两个向量的
10、数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于基础题二、本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置.11（5分）函数f（x）=的值域为0，1）【考点】： 函数的值域【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据指数函数的单调性的性质，结合根式的性质即可求出函数的值域【解析】： 解：ex0，ex0，则01ex1，则01，即0f（x）1，故函数的值域为0，1），故答案为：0，1）【点评】： 本题主要考查函数值域的求解，根据指数的单调性的性质是解决本题的关键12（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是【考点】： 由
11、三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积【解析】： 解：由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如右图，底面是正三角形，最大的面是第四个面，其边长分别为：2，=2，=2；故其面积为：2=；故答案为：【点评】： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力13（5分）从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为96
12、8（用数字作答）【考点】： 计数原理的应用【专题】： 排列组合【分析】： 本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，以此类推，根据分类计数原理得到共有的结果数【解析】： 解：由题意知本题是一个分类计数问题，共有8种不同的类型，当有3个键同时按下，有C103种结果，当有4个键同时按下，有C104种结果，以此类推，根据分类计数原理得到共有C103+C104+C105+C1010=C100+C101+C102+C1010（C100+C101+C102）=210（1+10+45）=968故答案为：968【点评】： 本题考查分类计数原理，考查组合数的性质，考查利用
13、排列组合知识解决实际问题，本题是一个易错题，易错点是组合数的运算不正确14（5分）已知集合A=（x，y）|x|+2|y|4，集合B=（x，y）|（xm）2+y2=，若BA，则实数m的取值范围是2，2【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 集合【分析】： 根据题意可得集合A的区域是一个关于坐标轴对称的菱形，集合B的区域是一个圆及圆的内部，画出图象即可【解析】： 解：由题意，集合A中元素构成菱形，集合B中元素构成一个圆及圆的内部，如图BA，圆在菱形内部，故只需圆心到菱形边坐在的直线的距离大于或等于半径即可，即：，解得m2或m6（舍去），由对称性可知m2，所以实数m2，2故答案为：2，2【点
14、评】： 本题考查集合间的关系及点到直线的距离公式，做出草图是解决本题的关键，属中档题15（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列命题正确的是（填上你认为正确的所有命题的序号）函数f（x）的最大值为2；函数f（x）的图象关于点（，0）对称；函数f（x）的图象与函数h（x）=2sin（x）的图象关于x轴对称；若实数m使得方程f（x）=m在0，2上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=；设函数g（x）=f（x）+2x，若g（1）+g（）+g（+1）=2，则=【考点】： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 先把函数f（x）利用两角
15、和的正弦公式化成标准形式，然后逐个判断，对于，方程f（x）=m在0，2上恰好有三个实数解，在一个周期内有三个实数解，其中两个解一定为区间的两个端点；对于，代入使表达式恒成立，求出的值【解析】： 解：f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）函数f（x）的最大值为2，正确；当x=时，f（）=2，不正确；函数f（x）的图象关于x轴对称的解析式为y=2sin（x+）=2sin（x+）=2sin（x），正确；若实数m使得方程f（x）=m在0，2上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1=0，x2=，x3=2，所以x1+x2+x3=，正确；g（x）=f（x）+2x=2sin（x+）+2x，g（1）+
16、g（）+g（+1）=2sin（1+）+2（1）+2sin（+）+2+2sin（+1+）+2（+1）=2sin（+）（1+2cos1）+6=2所以sin（+）=0，6=2，所以正确故答案为：【点评】： 本题考查了三角函数式的化简，三角函数的最值、对称性及三角方程，综合性强，解决这类问题的关键是把三角函数式化成标准形式三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（12分）设ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b（cosA3cosC）=（3ca）cosB（）求的值；（）若cosB=，且ABC的周长为14，求b的值【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题
17、】： 解三角形【分析】： （I）由b（cosA3cosC）=（3ca）cosB利用正弦定理可得：化简整理即可得出（II）由=得c=3a利用余弦定理及cosB=即可得出【解析】： 解：（I）b（cosA3cosC）=（3ca）cosB由正弦定理得，即（cos A3cos C）sin B=（3sin Csin A）cos B，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）又A+B+C=，sin C=3sin A，因此=（II）由=得c=3a由余弦定理及cosB=得b2=a2+c22accos B=a2+9a26a2=9a2b=3a又a+b+c=14从而a=2，因此b=6【点评】： 本题考查了正弦定理
18、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）央视财经频道升级到家栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜，第一轮3题答对2题，可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题，可获得大物件（家具）价值5400元（第一轮的答题结果与第二轮答题无关），某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的知识答题赢取大奖送给父母，若吴乾同学第一轮3题，每题答对的概率均为，第二轮三题每题答对的概率均为（）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；（）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元）求X的概率分布列及数学期望【考点】
19、： 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【专题】： 概率与统计【分析】： （1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，故概率P=，计算即可；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，可得概率P=，化简可得；同理可求P（X=0）和P（X=1600）和P（X=5400）以及P（X=7000），可得X的分布列和期望值【解析】： 解：（1）由题意赢取小物件即第一轮答对2题，所求概率P=；（2）赢取大物件即第二轮答对2题，所求概率P=，同理可求P（X=0）=（+）（+）=，P（X=1600）=（+）=，P（X=5400）=（+）=P（X=7000）
20、=可得X的分布列为：=350+625+4375=5350（元）【点评】： 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，涉及概率的加法公式和乘法公式，属中档题18（12分）已知函数f（x）=mlnx+x2（m+1）x+ln2e2（其中e=2.71828是自然对数的底数）（）当m=1时，求函数f（x）在点P（2，f（2）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】： 计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： （）求出m=1的f（x）的解析式，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出f（x）的
21、导数，并分解因式，对m讨论，当m1时，当m=1时，当0m1时，当m0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间【解析】： 解：（）当m=1时，即有f（2）=4，则切线方程为：，即 3x2y+2=0；（）由已知可得，（x0）即，当m1时，当xm或0x1时，f（x）0，当1xm时，f（x）0，即函数f（x）的递增区间为（0，1），（ m，+），递减区间为（1，m）当m=1时，f（x）0恒成立，即函数f（x）的递增区间为（ 0，+）当0m1时，当x1或0xm时，f（x）0，当mx1时，f（x）0，即函数f（x）的递增区间为（0，m），（1，+），递减区间为（m，1）当m0时，当0x1时，f（
22、x）0，当x1时，f（x）0，即有函数f（x）的递增区间为（1，+），递减区间为（0，1）【点评】： 本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，运用分类讨论的思想方法和二次不等式的解法是解题的关键19（13分）已知F1，F2为椭圆E：+=1（ab0）的左，右焦点，点P（1，）在椭圆上，且|PF1|+|PF2|=4（）求椭圆E的方程；（）过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （I）利用椭圆的定义即可得
23、出a，将P代入椭圆方程可得b2，即可得出；（II）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论【解析】： 解：（I）|PF1|+|PF2|=4，2a=4，a=2椭圆E：，将P代入可得b2=3，椭圆E的方程为（II）当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0设A（x1，y1），C（x2，y2），则，直线BD的斜率为，|BD|=，=，综上：，存在常数使得成等差数列【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直
24、线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（13分）如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且ACC1=BAA1=60，AA1=2（）求证：AA1BC1；（）求四面体ACC1B1的体积；（）求二面角CABC1的正弦值【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法【专题】： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何【分析】： （1）取AA1的中点为O，连接OB，通过已知条件及线面垂直的判定定理即得结论；（2）利用三角形CC1B1和CC1B面积
25、相等，通过体积公式计算即可；（3）以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，利用平方关系，通过计算平面ABC的法向量与平面ABC1的法向量的夹角的余弦值即可【解析】： （1）证明：设AA1的中点为O，连接OB，四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且ACC1=BAA1=60，三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形，所以OBOC1，又OBOC1=O，AA1平面OBC1，所以AA1BC1；（2）解：三角形CC1B1和CC1B面积相等，=，四面体ACC1B1的体积为1；（3）解：由（1）知AA1OB，又平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，OB平面AA
26、1C1C，OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图，则，=（1，0，），=（1，0），=（1，0），设平面ABC，ABC1的法向量的坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1），由，可得，所以可取，同理可取，所以二面角CABC1的正弦值为=【点评】： 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查四面体的体积公式，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题21（13分）已知数列an满足：a1=1，an+1ansin2=sin2cos2n（）当=时，求数列an的通项公式；（）在（）的条件下，若数列bn满
27、足bn=sin，Sn为数列bn的前n项和，求证：对任意nN*，Sn3+【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）当时，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：an=，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出【解析】： （1）解：当时，2n1an是以1为首项、1为公差的等差数列，2n1an=n，从而（2）证明：，当n=1，2，3时，；当n4时，令，两式相减得，综上所述，对任意【点评】： 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题