1、十三椭圆的简单几何性质 (15分钟30分)1已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是()A长轴长为 B焦距为 C短轴长为 D离心率为【解析】选D.椭圆C：16x24y21，化为标准形式为1，可得a，b，则c，可得离心率为e.2若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A B C D【解析】选B.因为a22，b2m，e，所以m.3设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A B C D【解析】选C.如图，F2PF1是底角为30的等腰三角形|PF2|F2F1|22ce.【补偿训练】某月球探测器的运行轨道是以月
2、球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为()A B C D【解析】选B.如图(示意图)：F为月球的球心，月球半径约为3 4761 738(km).依题意得|AF|1001 7381 838，|BF|4001 7382 138.所以2a1 8382 1383 976，解得a1 988.由ac2 138得c2 1381 988150，所以椭圆的离心率e.4(2020盘锦高二检测)已知F是椭圆C：1(ab0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x)2y2(其中c为椭圆的半
3、焦距)相切于点Q，且2，则椭圆C的离心率等于()A B C D【解析】选A.如图所示，设椭圆的左焦点为F1，连接PF1，设圆心为C，则圆心坐标为，半径为r，所以|F1F|3|FC|，因为PQ2QF，所以PF1QC，|PF1|b，所以|PF|2ab，因为线段PF与圆相切于点Q，所以CQPF，所以PF1PF，所以b2(2ab)24c2，所以b2(2ab)24，所以ab，则，所以e.5椭圆C：y21的左右焦点分别为F1，F2，点M为其上的动点，当F1MF2为钝角时，求点M的纵坐标的取值范围【解析】设M(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0).因为F1MF2为钝角，所以cos F1MF20，即|MF
4、1|2|MF2|2|F1F2|2(x)2y2(x)2y212.整理得x2y2或y1)的离心率为，则其焦距为()A B2 C D2【解析】选B.根据题意得e，解得a24，因此c，所以焦距为2.2方程1(ab0，k0且k1)与方程1表示的椭圆，那么它们()A有相同的离心率 B有共同的焦点C有等长的短轴、长轴 D有相同的顶点【解析】选A.对于椭圆1(ab0，k0且k1)，aa，bb，c，则椭圆1的离心率为e，焦点坐标为(，0)，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和；对于椭圆1，离心率为e，焦点坐标为，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和.因此，两椭圆有相同的离心率3已知椭圆C：1的右顶点是圆
5、x2y24x30的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为()Ay21 By21Cy21 D1【解析】选A.由圆的方程知圆心为，所以a2，又椭圆的离心率为e，所以c，b1，所以椭圆C的方程为y21.4(2020盘锦高二检测)若点O和点F分别为椭圆y21的中心和右焦点，P为椭圆上任意一点，则的最小值为()A B C D【解析】选C.设点P的坐标为，则y21，且有x，F，x2xy2x2x1x2x2x12，因为x，所以当x1时，取得最小值.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆1上存在点P，使得PF13
6、PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A B C36 D【解析】选BD.设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义可得，解得PF1，PF2，由题意可得，解得，又01，所以b0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e_.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a，解得e.答案：8设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B，满足，且，则椭圆的离心率为_【解析】由题意，根据，可知点B的坐标为(3c，0)，因为A(0，b)，F2(c，0)，所以(3c
7、，b)，(c，b)，所以3c2b23c2a2c2a24c20，解得，即e.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【解析】(1)设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mn cos 60(mn)23mn4a23mn4a234a23a2a2(当且仅当mn时取等号).所以，即e.又0eb0)的离心率e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根x1，x2，则点P(x1，x2)()
8、A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外 D以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1，x2是方程ax2bxc0的两个实根，所以x1x2，x1x2.所以xx(x1x2)22x1x21，因为ab，所以1，所以12，故点P(x1，x2)在圆x2y22内2已知定点A(a，0)，其中0a3，它到椭圆1上的点的距离的最小值为1，求a的值【解析】设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，则|PA|2(xa)2y2(xa)2(364x2)4a2，当0a时，有0a3.所以当xa时，(|PA|2)min4a21，解得a(舍)；当a3时，有3a，当且仅当x3时，(|PA|2)mina26a91，解得a2或a4(舍)，综上可得a2.