1、复习课(二)函 数函数的定义域问题函数的定义域是高考考查的一个热点，常与集合、不等式等交汇命题，多以选择题或填空题的形式考查在已知函数的解析式的条件下求函数的定义域，即是求使解析式有意义的自变量的取值范围一般地，有分母不能为零、负数没有偶次方根、零的零次幂没有意义、指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1、对数式的真数大于0等限制条件典例(1)函数f(x)(3x1)0的定义域是()A.B.C. D.(2)已知函数yf(x)的定义域是1,4，则yf(2x1)的定义域是()A. B1,4C5,5 D3,7解析(1)要使函数f(x)(3x1)0有意义，则即x1且x.(2)由12x14，得0x，即函数
2、yf(2x1)的定义域为.答案(1)D(2)A类题通法求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3)复合函数问题：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域注意：f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围1函数y的定义域为()A0,3B1,3C1，) D3，)解析：选B要使函数有意义解得1x3.2若函数yf(x)的定义域是0,2，则
3、函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析：选B由题意得，即0x1.3若函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为_解析：当k0时，4x30，即x，不合题意当k0时，kx24x30无实数根，所以有164k3.综上所述，实数k的取值范围为.答案：函数的单调性函数的单调性是高考及各类考试的一个热点，不仅适合单独命题，而且可以与其他内容相结合命题，特别是与函数奇偶性相结合的问题更是考查的重点，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题1函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
4、x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数几何意义自左向右图像是上升的自左向右图像是下降的2.函数单调性的运算性质若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)C(C为常数)具有相同的单调性(2)f(x)与af(x)，在a0时具有相同的单调性；在a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解(1)证明：任设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述知a的取
5、值范围是(0,1类题通法判断函数单调性的常用方法(1)定义法(2)图像法由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则时，需先确定函数的单调性1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2) ByCyx Dyx解析：选A结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论选项A中的函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2函数y|x2|在区间3,0上是()A递减 B递增C先减后增 D先增后减解析：选Cy|
6、x2|作出y|x2|的图像，如图所示，易知在3，2上为减函数，在2,0上为增函数3f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_解析：依题意，得不等式组解得x4.答案：函数的奇偶性函数的奇偶性属常考内容，且常与函数的图像、函数的单调性等相结合考查，题型多为选择题和填空题1函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数图像特征图像关于y轴对称图像关于原点对称2.函数奇偶性的判断(1)利用奇偶函数的定义或定义的等价形式：1(f(x)0)判断函数的奇偶性(2
7、)利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数3.函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域
8、D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性典例判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由0得函数的定义域为1,1)，关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数(2)由得函数的定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0a2，即a1时，f(x)maxf(a2)a2a13.解得a.又a1，所以a.综上，a0或a.类题通法二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：(1)对称轴
9、、区间都是给定的；(2)对称轴动，区间固定；(3)对称轴定，区间变动解决这类问题的思路是：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性，利用分类讨论的思想即可完成对于(2)、(3)两类，通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进行讨论1已知函数f(x)x22x2的定义域和值域均为1，b，则b()A3 B2或3C2 D1或2解析：选C由题意知f(x)(x1)21，f(x)在1，b上是增函数，f(x)maxf(b)，f(b)b，b22b2b，b23b20，b2或b1(舍)故选C.2已知函数f(x)x2axb，且满足f(2x)f(2x)
10、，则f(4)，f(2)，f(1)的大小关系是()Af(2)f(4)f(1) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(1)f(4) Df(1)f(4)f(2)解析：选Cf(x)满足f(2x)f(2x)，f(x)的对称轴为x2，且开口向上的抛物线，画出图像如图所示，可知f(1)f(3)，且2，)为函数的递增区间，由234，知f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)3已知二次函数f(x)满足f(0)8，f(4)f(2)0.(1)求f(x)的解析式，并求出函数的值域；(2)若f(x2)x212，求x的值解：(1)由f(4)f(2)0可设f(x)a(x4)(x2)，由f(0)8得a1.f(x
11、)(x4)(x2)x22x8，值域为y9，)(2)由f(x2)(x6)xx212可得x2.4若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(0)1得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1
12、上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)1函数yln(1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1 D0,1解析：选B根据题意得解得0x1，即所求定义域为0,1)2函数yx22x3，1x2的值域是()AR B3,6C2,6 D2，)解析：选C画出函数yx22x3，1x2的图像，如图所示，观察函数的图像可得图像上所有点的纵坐标的取值范围是2,6，所以值域是2,63.已知函数f(x)是(，0)(0，)上的奇函数，且当x0时，函数的部分图像如图所示，则不等式xf(x)0的解集是()A(2，
13、1)(1,2)B(2，1)(0,1)(2，)C(，2)(1,0)(1,2)D(，2)(1,0)(0,1)(2，)解析：选Dxf(x)0x与f(x)异号，由函数的图像及奇偶性易得结论4若偶函数f(x)在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析：选D因为f(x)在(，1上是增函数，且21，所以f(2)ff(1)又f(2)f(2)，所以f(2)ff(1)5函数f(x)对于任意实数x满足f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)等于()A2 B5C5 D解析：选Df(5)f(1)5，f(5)f(1).6已知f(x)对
14、任意的x1，x2R，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则实数a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：选C由题意知函数f(x)为R上的减函数，所以解得即a0时，f(x)x24x3.(1)求f(f(1)的值；(2)求函数f(x)的解析式解：(1) f(1)f(1)0，f(f(1)f(0)f(x)为R上的奇函数，f(0)0，f(f(1)0.(2)当x0时，由奇函数的性质知f(0)0.当x0，f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3.综上所述，f(x)11已知函数f(x).(1)判断函数在区间1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间1,4上的最大值与最小值解：
15、(1)f(x)在1，)上是增函数证明如下：任取x1，x21，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).x1x20，f(x1)f(x2)，函数f(x)在1，)上是增函数(2)由(1)知函数f(x)在1,4上是增函数，最大值为f(4)，最小值为f(1).12已知函数f(x)ax24ax3在区间，2上的最大值为1，求实数a的值解：当a0时，f(x)3，f(x)在上的最大值不是1，故a0.当a0时，f(x)ax24ax3的图像的对称轴为x2.(1)当a0时，f(x)在上是增函数，f(x)maxf(2)4a8a312a3，12a31，解得a；(2)当a0时，f(x)在上是减函数f(x)maxfa6a3a3，a31，解得a.综上所述：a或a.