1、第 42 讲 不等式的应用【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力 【基础检测】1若存在正数 x 使 2x(xa)0 及 2x(xa)x12x，令 f(x)x12x，由于 yx，y12x在定义域内均为增函数，因此 f(x)为增函数，从而 x0 时，f(x)f(0)1，因此满足条件的 a 的取值范围为 a1.故选 D.D2方程 log12(a2x)2x 有解，则 a 的最小值为()A2 B1 C.32D.12【解析】方程 log12(a2x)2x 等价为122
2、xa2x，即 a2x122x2x14 12x22x14 12x1，当且仅当 2x14 12x，即 2x12，x1 取等号，所以选 B.B3已知正数 a，b，c 满足 abab，abcabc，则 c 的取值范围是_ 1，43【解析】因为 abab2 ab，所以(ab)24ab，解得 ab4，当且仅当 ab 时取等号因为 abcabc，所以 abcabc，即 c abab1ab11ab1 11ab1.因为 ab4，所以 ab13，01ab113，11ab1143，即 c 的取值范围是1，43.4某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流
3、速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时1 900100【解析】(1)当 l6.05 时，则 F76 000vv218v12176 000v121v 1876 0002v121v 181 900，当且仅当 v121v 即 v11(米/秒)时取等号(2)当 l5 时，则 F76 000vv218v10076 000v100v 1876 0002v100v 182 000，当
4、且仅当 v100v 即 v10(米/秒)时取等号，此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时【知识要点】1不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题假设建模求解模型检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型2不等式综合应用类型类型 1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题类型 2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题类型 3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等类型 4：探究数列的递增(递
5、减)性，前 n 项和的最值等问题一、基本不等式的综合应用例1图 1 是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图 2 所示的模型，其中桥塔 AB、CD 与桥面 AC 垂直，通过测量得知 AB50 m，AC50 m，当 P 为 AC 中点时，BPD45.(1)求 CD 的长；(2)试问 P 在线段 AC 的何处时，BPD 达到最大【解析】(1)设BPA，DPC，CDh，则tan 2，tan h25，由题意得，tan()2 h2512 h251，解得 CDh75.(2)设 APx(0 x0，tanBPD0，即BPD 为锐角，令 tx100
6、(100，150)，则 xt100，tanBPD25t（t100）250（t100）507525tt2250t50375，tanBPD25t50375t250252t50375t25012 3010，当且仅当 t50375t即 t25 30(100，150)，AP25 30100 时，BPD 最大.【点评】若不等式的应用题为“axbx”(ab0)型，用均值不等式解题时要特别注意等号成立的条件，若在指定范围内取不到等号，则须考虑利用函数的单调性(借助导数)求解二、不等式与数列的综合应用例2已知数列an中，a11，a23，其前 n 项和为Sn，且当 n2 时，1Sn 1an 1an1.(1)求证：
7、数列Sn是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令 bnanan3 1an13 1，记数列bn 的前 n 项的和为 Tn，试证明：Tn78.【解析】(1)当 n2 时，1Sn 1an 1an11SnSn11Sn1Sn，化简得 S2nSn1Sn1(n2)，又由 S110，S240，可知对一切正整数 n 均有 Sn0，数列Sn是等比数列，等比数列Sn的首项是 1，公比为 4，故 Sn4n1.当 n2 时，anSnSn134n2，又 a1S11，an1，n1，34n2，n2.(2)证明：当 n2 时，an34n2，此时 bn34n2（4n21）（4n11）14n2114n11，又 b1a1a13
8、1 a23 138，bn38，n114n2114n11，n2.故 T1b13878，当 n2 时，Tnb1b2bn 381422114211 1432114311 14n3114n21 14n2114n11 7814n1178，故命题成立三、不等式与函数的综合应用例3设 f(x)exaxa.(1)若 f(x)0 对一切 x1 恒成立，求 a 的取值范围；(2)设 g(x)f(x)aex，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲线 yg(x)上任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围；(3)求证：1n3n(2n1)n1)令 h(x)exx1，
9、则 h(x)xex（x1）2 由 h(x)xex（x1）20 得 x0.所以 h(x)在(0，)上单调递增，h(x)在(1，0)单调递减 所以 h(x)h(0)1(x1)由此得：a1 又 x1 时，(x1)aex 即为 0ae1，此时 a取任意值都成立 综上得：a1.(2)由 题 设 得，直 线AB的 斜 率 满 足：g（x2）g（x1）x2x1m，不妨设 x1mx2mx1，即：g(x2)mx2g(x1)mx1 令函数 F(x)g(x)mx，则由以上不等式知：F(x)在(，)上单调递增，所以 F(x)g(x)m0 恒成立 所以，对任意 a1，xR，mg(x)恒成立 又 g(x)exa aex2
10、exaex aa2 a(a1)213 故 m3.(3)由(1)知 exx1(x0 时取等号)，取 x i2n，i1，3，2n1，得 1 i2n 即2ni2nn，累加得 e i2ne i22n12nn2n32nn52nn32nn12nne12（1en）1e1ee1(1en)ee1 所以 1n3n5n(2n1)n0，函数 f(x)ln xax2，x0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)当 a18时，证明：存在 x0(2，)，使 f(x0)f32；(3)若存在均属于区间1，3的，且 1，使 f()f()证明：ln 3ln 25aln 23.【解析】(1)f(x)1x2ax12ax2x，x(0，)令
11、 f(x)0 得 x 2a2a，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x0，2a2a2a2a2a2a，f(x)0 f(x)递增极大值递减 故 f(x)的单调递增区间为0，2a2a，减区间为2a2a，.(2)证明：当 a18时，f(x)ln x18x2，由(1)知 f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，)内单调递减 令 g(x)f(x)f32，由于 f(x)在(0，2)内单调递增，故 f(2)f32，即 g(2)0.取 x32e2，则 g(x)419e2322，且 g(x)0即可)(3)证明：由 f()f()及(1)的结论可知 2a2a.且 f(x)在，上的最小值为 f()，又由
12、1，1，3知 123.故f（2）f（）f（1）f（2）f（）f（3）即ln 24aaln 24aln 39a，从而ln 3ln 25aln 23.【点评】本题主要考查函数导数的应用及不等式的证明1不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法2建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式3不等式的实际
13、应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系4解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题
14、的思路，明确解题的方法(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论1(2014 辽宁)已知定义在0，1上的函数 f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有 x，y0，1，且 xy，有|f(x)f(y)|12|xy|.若对所有 x，y0，1，|f(x)f(y)|k 恒成立，则k 的最小值为()A.12B.14C.12D.18B【解析】不妨设 0yx1，当 xy12时，|f(x)f(y)|12时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)(f(y)f(0)|f(x)f(1)|f
15、(y)f(0)|12|x1|12|y0|12(xy)121），xa1a2x1，3xa1xa2.由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2 a213，可得 a8.D当 aa2，xa11xa2，3xa1（x1）.由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2 a213，可得 a4.综上可知，a 的值为4 或 8.1关于 x 的不等式|cos 2x|asin x 在闭区间3，6 上恒成立，则 a 的取值范围是()A.12，1B.1，0C.32，0D0，1D【解析】设 f(x)7x2(k13)xk2k2，方程 f(x)0 的两个实根 x1，x2 满足条件 0 x11x20，f（1）0，即k2k20，k
16、22k80，2k1 或 3k4，故选 D.2若方程 7x2(k13)xk2k20 有两个不等实根 x1，x2，且 0 x11x22，则实数 k 的取值范围是()A2k1B3k4C2k4D2k1 或 3k4D【解析】解法一：因为 f(a)f(b)，所以|lg a|lg b|，所以 ab(舍去)或 ab1，令 0ab，所以 0a1g(1)112，即 ab 的取值范围是(2，)3已知函数 f(x)|lg x|，若 ab，且 f(a)f(b)，则 ab 的取值范围是()A(1，)B1，)C(2，)D2，)C解法二：设 0ab，由 f(a)f(b)得：0a11bab1，利用线性规划得：0 x11yxy1
17、，化为求 zxy 的取值范围问题，zxyyxz，y1xy 1x21过点(1，1)时，z 最小为 2，选 C.【解 析】由ln1xy4 3xy23xy20.作出该不等式组表示的区域，由图可知：xy10，10.选 C.4已知 ln1xy4ln13xy2，若 xy 恒成立，则 的取值范围是()A(，10 B(，10)C10，)D(10，)C5设 a，b，xN*，ab，已知关于 x 的不等式lg blg alg xlg blga 的解集 X 的元素个数为 50 个，当 ab 取最大可能值时，ab()A.21B6 C.17D4B【解析】易得bax1.当 a2 时，342 x234，即 x18，19，20
18、，67 共 50 个；当 a3 时，193 x319，即 x7，8，9，10，56 共 50 个；当 a4 时，134 x413，共有 51348 个；144x414，共有 55352 个；154 x4 时，也不可能有 50 个 所以 ab 的最大值为 23464，此时 a2，b34，ab36，选 B.【解析】(1)由条件得 2bnanan1，a2n1bnbn1，a26，b29，a312，b316，a420，b425，猜想：ann(n1)，bn(n1)2.下面用数学归纳法证明：1 当 n1 时，由已知得结论成立；2 假设当 nk(kN)时，结论成立，即有 akk(k1)，bk(k1)2，则 n
19、k1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1a2k1bk(k2)2，当 nk1 时，结论也成立 根据 1，2，ann(n1)，bn(n1)2.6在正项数列an和bn中，a12，b14，且 an，bn，an1 成等差数列，bn，an1，bn1 成等比数列(1)求an，bn的通项公式；(2)证明：1a1b11a2b21anbn 512.(2)证明：当 n1 时，1a1b1162n(n1)，1a1b11a2b21anbn 1612123 1341n（n1）1612121313141n 1n1 161212 1n1 1614 512.1a1b11a2b21anbn 512.
20、7在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面：下潜时，平均速度为 v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为 cv2(c 为正常数);在水底作业需 5 个单位时间，每个单位时间用氧量为 0.4；返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为 y.(1)将 y 表示为 v 的函数；(2)设 00)(2)y 30cv 2 12v 2 230cv12v 2 12 10c.当且仅当 30cv12v，即 v25c时取等号 当25c5，即 c 2125时，v25c时，y 的最小值为 212 10c.
21、当25c 5，即 0c 2125 时，y 30c 12v2 30cv212v20，函数 y30cv212v 在(0，5上为减函数，当 v5 时，y 的最小值为 150c225.综上，当 c 2125，下潜速度 v25c时，用氧量最小为 212 10c；当 0c0，g(x)ln x.(1)若 f(x)g(x)在 x1，)上恒成立，求正数a 的取值范围；(2)()求证：当 x0 时，xg11x 1；()若数列bn满足 bnn1n1，试问数列bn中是否存在不同的两项 bn，bm，使得 bnbm(nm)？若存在，求出所有相等的两项，若不存在，请说明理由【解析】(1)由 f(x)g(x)得 axa1x
22、2a1ln x0，x1，)设 h(x)axa1x 2a1ln x，h (x)a a1x2 1x ax2x（a1）x2（axa1）（x1）x2ax1aa（x1）x2.1当 0a1，当 x1，1aa时，h(x)0，故 h(x)在1，1aa上为减函数，此时 h(x)h(1)0，f(x)g(x)不恒成立，2当 a12时，1aa 1，h(x)0 对任意 x1，)成立，所以 h(x)在1，)上为增函数，h(x)h(1)0恒成立 综上可知 a 的取值范围为12，.(2)()证明：要证 xg11x 0)，即证 xln11x 0)，即证 ln11x 0)设 t(x)xln(1x)，x0，t(x)111xx1x0，t(x)在(0，)上为增函数，t(x)t(0)0.ln(1x)x，ln11x 1x，即 xln11x 1.()由()可得 ln11xx1，11xxe，11nne.bn1bn（n1）1n2n1n1（n1）n1nn21（n1）（n2）（n1）n1nn2（n1）nnnn1n2 11nnn1n2 e（n1）n23（n1）n2，令3（n1）n20，n4.因此当 n4 时，bn1bn bn1，即 b4b5b6 又通过比较 b1，b2，b3，b4 的大小知 b1b2b3b5516.所以数列bn中存在唯一相等的两项，即 b2b8.