1、 章末复习与总结 创新拓展 思想方法 一、方法技巧抽样方法的选择与设计1三种抽样方法的要点(1)简单随机抽样：是抽样中一个最基本的方法逐一不放回地抽取一次抽取所有样本和抽取样本检查后放回都不是简单随机抽样(2)系统抽样：按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔(即抽样距)抽取其他样本(3)分层抽样：将总体分成若干层，在各层中按照所占比例随机抽取一定的样本2三种抽样方法的应用注意点(1)抽签法中，注意使用已有编号，号签形状、大小一致，搅拌均匀；随机数表法中，首先是个体所编号码的位数要相同，当问题中编号位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数，其次是注意编号去重，
2、即舍去抽中的相同编号(2)系统抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差(3)分层抽样中，根据实际情况，可对每层所抽取的数目作适当调整3三种抽样方法的适用原则(1)看总体是否由差异明显的几个层次组成若是，则选用分层抽样；否则，采用简单随机抽样或系统抽样(2)看总体容量和样本容量的大小当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样【例 1】在 100 个零件中，有一级品 20 个，二级品 30 个，三级
3、品 50 个，现从中抽取 20 个作为样本，(1)采用简单随机抽样，抽签取出 20 个；(2)采用系统抽样，将零件随机编号为 00,01,02，99，分成 20 组，每组 5 个，然后抽取 20 个；(3)采用分层抽样，从一级品中随机抽取 4 个，从二级品中随机抽取 6 个，从三级品中随机抽取 10 个对于上述三种抽样方法，下列说法中正确的是_(填序号)三种抽样方法中每个个体被抽到的概率都是15；只有(1)(2)的抽样方法中每个个体被抽到的概率是15；只有(1)(3)的抽样方法中每个个体被抽到的概率是15；三种抽样方法中每个个体被抽到的概率各不相同解析 三种抽样方法中每个个体被抽到的概率都相同
4、，因为只要是随机编号、随机抽取，不管采用什么方法，每个个体被抽到的概率都相等，因此只有是正确的答案【例 2】某市为创建文明城市，面向全市征召志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名并按年龄(单位：岁)分组：第 1 组20,25)，第 2 组25,30)，第 3 组30,35)，第 4 组35,40)，第 5 组40,45得到频率分布直方图如图所示若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动，应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者？解 由题设可知，第 3 组的频率为 0.0650.3，人数为0.310030；第 4 组的频率为 0.0450.2，人数为
5、 0.210020；第 5 组的频率为 0.0250.1，人数为 0.110010.因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者，若利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第 3 组为306063；第 4 组为206062；第 5 组为106061.所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 名、2 名、1 名志愿者【例 3】为了让学生了解更多有关奥运会的知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有 800 名学生参加了这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为 100 分)进行统计请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列
6、问题：分组频数频率60.570.50.1670.580.51080.590.5180.3690.5100.5合计(1)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本，现将所有学生的成绩随机地编号为 000,001,002，799，试写出第二组第一名学生成绩的编号；(2)填充频率分布表中的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在 85.595.5 分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约有多少名？解(1)根据系统抽样法则，要从总体中抽取 50 个样本，需将总体分为 50 组，则每组的学生数为 8005016，故第二组第一名学生成绩的编号为 016.(2)频率分布表如下表所
7、示，频率分布直方图如图所示分组频数频率60.570.580.1670.580.5100.2080.590.5180.3690.5100.5140.28合计501(3)在被抽到的学生成绩中在 85.595.5 分的个数是 9716，占样本的比例是16500.32，即获得二等奖的概率约为 32%，所以获得二等奖的学生约有 80032%256(名).方 法 总 结三种抽样方法中每个个体被抽中的机会均等、系统抽样抽取的号码成等差数列，公差为间隔分层抽样在各层中抽取的数目取决于抽样比，即各层抽取数目抽样比各层个体总数二、方法技巧选择适当的方法用样本估计总体1估计总体的分布(1)将样本的分布用图表的形式给
8、出，对总体的分布进行估计(2)对总体的频率、频数的估计常用到频率分布直方图中相关的知识：图中小长方形的面积组距频率组距频率所有长方形的面积之和为 1.【例 4】为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有 900 名学生参加了这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为 100 分)进行统计请你根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内).分组频数频率50.560.540.0860.570.50.1670.580.51080.590.5160.3290.5100.5合
9、计501.00(2)补全频数分布直方图(3)学校决定成绩在 75.585.5 分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？解(1)频率分布表.分组 频数 频率 50.560.540.0860.570.580.1670.580.5100.2080.590.5160.3290.5100.5120.24合计501.00(2)频数分布直方图(3)成绩在 75.580.5 的学生占 70.580.5 学生的 510，因为成绩在 70.580.5 的学生频率为 0.2，所以成绩在 75.580.5 的学生频率为 0.1，成绩在 80.585.5 的学生占 80.590.5 的学生的 510，因为成
10、绩在 80.590.5 的学生频率为 0.32，所以成绩在 80.585.5的学生频率为 0.16.所以成绩在 75.585.5 的学生频率为 0.26，由于有 900 名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约 为0.26900234(人).方 法 总 结频率分布直方图中，各个矩形的面积为对应数据中的频率且所有矩形的面积和为 1.2.估计总体的数字特征通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计(1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计因为平均数容易
11、掩盖一些极端情况，使我们作出对总体的片面判断，而标准差较好地避免了极端情况(2)若两组数据的平均数差别很大，也可以仅比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断需要注意的是：通过样本数据的统计图表和数字特征，我们能够估计总体的信息，而且样本容量越大，这种估计也就越精确当样本数据发生变化时，总体的这些信息不会变化【例 5】某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图.(1)写出甲的众数和乙的中位数；(2)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定解(1)
12、甲的众数是 111，乙的中位数是 111.(2)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 x 甲，x 乙，方差分别为 s2甲，s2乙，则 x 甲1221141131111111076113，x 乙1241101121151081096113，s2甲16(122113)2(114113)2(113113)2(111113)2(111113)2(107113)221，s 2乙16(124113)2(110113)2(112113)2(115113)2(108113)2(109113)229.33，由于 s2甲s2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.方 法 总 结样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样
13、本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征.3.利用回归方程对总体进行估计对具有线性相关关系的两个变量进行研究时，可以通过样本所求出的回归方程对这两个变量确定的总体进行估计或预测利用回归方程对总体进行估计时，需要注意以下两点：(1)只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归方程对总体进行估计和预测否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归方程，用其估计和预测的结果也不可信(2)若回归方程ybxa，则 xx0 处的估计值为 y0bx0a，但这个值只是估计值，不是精确值尽管我们利用回
14、归方程所得到的值仅是一个估计值，具有随机性，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结论正确的概率是极大的，故我们可以放心大胆地利用回归方程进行估计或预测解决这类问题时，首先根据数据画出散点图并判断两变量是否具有线性相关关系若是，利用最小二乘法求解出回归方程，然后对总体进行估计，或对未来值(或期值)进行预测【例 6】某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040506070如果 y 与 x 之间具有线性相关关系(1)求这些数据的线性回归方程；(2)预测当广告费支出为 9 百万元时的销售额附：线性回归方程ybxa中，bni1xiyin xyni1x2
15、in x 2，a y b x.解(1)x 15(24568)5，y 15(3040506070)50.5i1x2i145，5i1xiyi1 390，b1 3905550145555 7，a507515.因此，所求回归直线方程为y7x15.(2)当 x9 时，y791578，即当广告费支出为 9 百万元时，销售额为 78 百万元三、数学思想1数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法，本章中我们用频率(频数)分布直方图、频率(频数)分布条形图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图、散点图等来整理和分析数据，直观揭示数据背后的规律例如，由频率分布直方图能得出相应频数、频率等；通过茎叶图可直接得
16、出抽样数据，可求出中位数、众数等，并分析样本数据的大致分布情况；利用散点图能直观判断两个变量有无线性相关关系，是正相关还是负相关等，这些均体现了“以形助数”的数形结合思想的应用【例 7】如图 A，B，C 表示的都是某工厂在一月份到三月份的生产产值情况，那么_(填“A”“B”或“C”)表示的产值最高解析 A 表示一月份的产值是 10 万元，二月份的产值是20 万元，三月份的产值是 30 万元，前三个月的产值合计是 60万元；B 表示一月末的产值是 10 万元(不一定是一月份的产值，也可能是从前一年某个时间起累积的产值)，二月末的产值是 20万元(也就是说二月份的产值是 10 万元)，三月末的产值
17、是 30 万元，这样计算下来，前三个月的产值最多也就 30 万元；C表示一月份的产值增长了10万元(不考虑出现负产值的情况，则一月份的产值至少有 10 万元)，二月份的产值则在一月份的产值的基础上增长了 20 万元(二月份的产值至少有 30 万元)，而三月份的产值则在二月份的产值的基础上增长了 30 万元(三月份的产值至少有 60 万元)，由此可见，前三个月的产值至少有100 万元综上可知，C 表示的产值最高答案 C【例 8】某工厂有工人 1 000 名，其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人)，另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人)现用分层抽样的方法(按 A 类
18、、B 类分两层)从该工厂的工人中共抽查 100 名，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)(1)A 类工人和 B 类工人应分别抽查多少名？(2)A 类工人的抽查结果和 B 类工人的抽查结果如下表所示：A 类工人生产能力分组100，110)110，120)120，130)130，140)140，150人数48x53B 类工人生产能力分组100，110)110，120)120，130)130，140)140，150人数06y3618先确定 x，y，再画出频率分布直方图就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接
19、回答结论)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解(1)由题意可知应从 A 类工人中抽查 25 名，B 类工人中抽查 75 名(2)由(1)可知，48x5325，得 x5；6y361875，得 y15.频率分布直方图如图所示从直方图可以判断，B 类工人中个体间的差异程度更小 x A 425105 825115 525125 525135 325145123，x B 675115157512536751351875145133.8，x 25100123 75100133.8131.1.A 类工人生产能力的平
20、均数、B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123,133.8 和131.1.2函数与方程思想函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决，函数思想是统计中把握数据、用数据说话的有力工具；方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得到解决，方程思想动中求静，研究运动中的等量关系【例 9】已知样本数据由小到大依次为 2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为 10.5，若使该样本的方差最小，则 a，b 的值分别为()A10,11 B10.5,9.5C10.4,10.6 D10.5,10.5解析 由于样本共有 10 个值，且中间两个数为 a，b，依题意，得ab2 10.5，即 b21a.因为平均数为(2337ab1213.718.320)1010，所以要使该样本的方差最小，只需(a10)2(b10)2 最小又(a10)2(b10)2(a10)2(21a10)22a242a221，所以当 a422210.5 时，(a10)2(b10)2 最小，此时b10.5.答案 D