1、八直线与平面的夹角(15分钟30分)1已知直线m，n与平面所成的角都是，A，B为直线m上的两点，C，D为直线n上的两点，若线段AB在平面上的射影长为7，线段CD12，则()A.ABCD BABCDCABCD DAB，CD的大小无法比较【解析】选C.由题意，ABcos 7，所以AB，所以AB，所以sin 的取值范围是.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的正切值【解析】(1)因为直三棱柱AB
2、CA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.所以三棱柱ABCA1B1C1的体积：VSABCAA1ABACAA142520.(2)连接AM，因为直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，所以AA1底面ABC，AMBC，所以A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan A1MA.10如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值【解析】以
3、H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0).(1)设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m0)，则D(0，m，0)，E.可得，(m，1，0).因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0，0，1).则(0，0，1)，设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0).由(1，0，1)可得|cos ，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.如图，在三棱锥PABC中，PAC和ABC均是等腰三角形，且APCBAC90，PBAB4.(1)求证：直线AB与
4、直线PC不垂直；(2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值【解析】(1)假设ABPC，因为ABAC，且PCACC，所以AB平面PAC，所以ABPA，所以PBAB，这与PBAB4矛盾，所以假设不成立，直线AB与直线PC不垂直(2)如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作垂直平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，设P(x，y，z)(z0)，由PBAB4，得PAPC2，所以，解得，所以P(1，2，)，平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，(3，2，)，设直线PB与平面ABC所成角为，则sin .所以直线PB与平面ABC所成角的正弦值为.
