1、复习课(三)指数函数和对数函数、函数应用指数与对数的运算与指数和对数有关的运算问题属常考问题，题型多为选择题或填空题。1分数指数幂的意义(1)a(a0，m，nN*，n1)(2)a(a0，m，nN*，n1)(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂无意义2有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3对数的性质对于a0，a1，有下列结论：(1)负数和零没有对数，loga10，logaa1；(2)对数恒等式aN(N0)4对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)l
2、ogaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)对数的运算性质实质就是把积、商、幂的对数运算转化为对数的加、减、乘的运算5对数的换底公式换底公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)典例计算：(1)()6()480.25(2 005)0.(2)log3.19.61lgln(e2)log3(log327) 解(1)原式(23)6(22)42(23)122332242211082721100.(2)原式log3.13.12lg 103ln elog3(log333)2(3)1.类题通法(1)指数与对数的运算应遵循的原则指数的运算：注意化简顺序
3、，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的对数式的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)1若x0，则(2x3)(2x3)4x (xx)_.解析：因为x0，所以原式(2x)2(3)24xx4xx4x34x4x4x334x4x027423.答案：232._.解析：原式a (a2b)aaaa2.答案：a23计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2
4、).解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.指数函数与对数函数的图像和性质本考点是每年高考的必考内容，主要考查函数的图像与性质，同时还经常与其他知识结合综合考查，题型为选择、填空、解答题，从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现1指数函数的图像和性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数2.对数函数的图像和性质a10a1时，恒有y0；当0x1时，恒有y1时，恒有y0；当0x0在(0，)上是
5、增函数在(0，)上是减函数典例(北京高考)如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图像如图由得结合图像知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|11时，函数ylogax的图像为选项B、D中所示过点(1,0)的曲线，此时函数yxa的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足a1，选项B，D中所示的图像都不符合要求；当0a1时，函数ylogax的图像为选项A、C中所示过点(1,0)的曲线，此时函数yxa的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足0a0，a1)的图像如图所示，则
6、a，b满足的关系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11.函数图像与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图像可知1logab0，解得b1.综上有0bcaBbacCabc Dcba解析：选Ab20.3201，c0.30.20.301，alog20.3ca.4已知函数f(x)，函数g(x)2f(x)(1)判断函数g(x)的奇偶性；(2)若当x(1,0)时，g(x)tf(x)恒成立，求实数t的最大值解：(1)由条件得，g(x)22，其定义域是xR|x0，关于原点对称又g(x)g(x)，故g(x)是奇函数(2)由g(x)tf(x)，得t，当x(1,0)时，3x1，3x10,03x
7、112，式可化为t，而，又03x11，1，因此当x(1,0)时，g(x)tf(x)恒成立等价于t1，故实数t的最大值为1.函数的零点问题函数与方程关系紧密，是函数的重要内容之一，因此在高考中属常考内容，主要考查利用解方程、作函数的图像求函数的零点，判断函数的零点的存在性及零点所在区间问题，一般以选择题、填空题的形式进行考查1函数的零点与方程根的联系由函数零点的概念可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点2零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是
8、连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，b1)；(6)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，a1)；(7)幂函数模型：f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n1)；(8)“对勾”函数模型：yx(a0)典例某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x
9、300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元类题通法建立函数模型解应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列实验数据：x1.99
10、345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2 By(x21)Cylog3x Dy2x2解析：选B代入数据验证，最接近的为B.2某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A5,6) B(5,6C6,7) D
11、(6,7解析：选B若按x千米(xZ)计价，则6(x2)32324，得x6.故实际行程应属于区间(5,63为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，设每辆自行车的日租金为x(元)(只取整数)，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最
12、多？解：(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3.xN*，x3，3x6(xN*)当x6时，y503(x6)x115，令503(x6)x1150，即3x268x1150.解这个不等式得2x20(xN*)，6x20(xN*)，故yf(x)定义域为x|3x20，xN*(2)对于y50x115(3x6，xN*)，显然当x6时，ymax185.对于y3x268x11532(6x20，xN*)，当x11时，ymax270.270185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多1化简log6122log6的结果为()A6B12Clog6 D.解析：选C原式log6log
13、62log6log6.2函数f(x)ax1(a0，a1)的图像恒过点A，下列函数中图像不经过点A的是()Ay By|x2|Cy2x1 Dylog2(2x)解析：选Af(x)ax1(a0，a1)的图像恒过点(1,1)，结合各选项知点(1,1)不在y的图像上3已知a3，blog，clog2，则()Aabc BbcaCcba Dbac解析：选Aa1,0bloglog321，clog2log230，故abc，故选A.4若f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值与最小值之和为a，则a的值是()A. B.C2 D4解析：选B当a1时，f(x)maxf(1)aloga2，f(x)minf(0)a0lo
14、ga11，所以aloga21a，所以a，不合题意，舍去；当0a1时，f(x)maxf(0)a0loga11，f(x)minf(1)aloga2，所以aloga21a，所以a，故选B.5函数y4x2x11的值域为()A(0，) B(1，)C1，) D(，)解析：选B令2xt，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选B.6函数f(x)(12x)|12x|的图像大致为()解析：选A法一：f(x)(12x)|12x|即f(x)从而判断选项A正确法二：取特值f(1)，从而排除选项B、C、D.7已知函数f(x)ln的定义域是(1
15、，)，则实数a的值为_解析：由题意得，不等式10的解集是(1，)，由10，可得2xa，故xlog2a，由log2a1得a2.答案：28已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则f(2)_f(a1)(填“”“”“”)解析：当x(0，)时，显然有f(x)loga|x|logax，由此时函数单调递增可知a1.又易知f(x)为偶函数，因此f(a1)f(11)f(2)f(2)，因此应填“”答案：9已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_解析：当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当x0时，g(x)f(x)2x为单调减函数，所以g(x)g(0)
16、0，所以函数g(x)的最小值是0.答案：010已知函数f(x)1log2(x1)(1)求函数f(x)的定义域(2)求f(5)的值(3)求方程f(x)0的解解：(1)由题意得x10即x1，故函数f(x)的定义域为x|x1(2)f(5)1log2(51)1log241.(3)令f(x)0得log2(x1)1，即log2(x1)log22，所以x12，即x3.11为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为
17、yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损12已知函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)，(1)判断并证明yf(x)在(，0)上的单调性；(2)求yf(x)的值域解：(1)设x1x20，则03x13x21,3x1x21.f(x
18、1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即yf(x)在(，0)上是增函数(2)函数f(x)在(，0)上是增函数且连续，f(x)f(0)0.又f(x)，当x0时，f(x)的值域为.而函数f(x)为奇函数，由对称性可知，函数yf(x)在(0，)上的值域为.综上可得，yf(x)的值域为.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1已知集合Ax|x210，则下列式子表示正确的个数为()1A；1A；A；1，1A.A1B2C3 D4解析：选C集合Ax|x2101,1，则1A，A，1，1A，即正确2已知全集U0,1,2,
19、3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4解析：选C易得UA0,4，从而(UA)B0,2,43已知f(x)则f(f(f(3)的值等于()A0 BC2 D9解析：选Cf(3)3，f(f(3)f(3)0，f(f(f(3)f(0)2.4函数ylg(1x)的定义域是()A(1,3) B1,3C. D(1,3解析：选C由题意得：解得x1，在同一个坐标系中作出两个函数的图像(如图)，则这两个函数可以为()Ayax和yloga(x)Byax和ylogax1Cyax和ylogax1Dyax和yloga(x)解析：选D从图中观察可以发现，上面的
20、图像应是底数小于1的指数函数的图像，下面的图像应是底数大于1的对数函数的图像关于y轴的对称图形，比较四个选项中的函数可知两个函数应为yax和yloga(x)8函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间()A(5,6) B(3,4)C(2,3) D(1,2)解析：选Bf(3)log3382310.又f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)9已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数为f(x)loga|x|为偶函数，所以f(
21、2)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)10设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增加的，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()Ax|x3，或0x3Bx|3x3Cx|x3Dx|3x0，或0x3解析：选Df(x)是奇函数，f(3)f(3)0.f(x)在(0，)上是增加的，f(x)在(，0)上是增加的结合函数图像xf(x)0的解为0x3或3x0.11函数ylog2|1x|的图像是()解析：选D函数ylog2|1x|可由下列变换得到：ylog2xylog2|x|ylog2|x1|ylog2|1x|.故选D.12已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是(
22、)A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析：选C作出f(x)的大致图像由图像知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.于是lg alg b0.故ab1.因而abcc.由图知10c0；flog242，此时f，因此不成立综上所述，应填.答案：15函数y222x3x2的递减区间是_解析：令u22x3x2，y2u，由u3x22x2知，u在上为减函数，而y2u为增函数，所以函数的递减区间为.答案：16下列四个结论中正确的有_(填序号)函数f(x)lg(x1)lg(x1)的定义域是(1，)；若幂函数yf(x)的图像经过点(2,4)，则该函数为偶函数；
23、函数y5|x|的值域是(0，)；函数f(x)x2x在(1,0)内有且只有一个零点解析：对于，由题意得解得x1，故正确；f(x)x的图像过点(2,4)，24，2，f(x)x2，为偶函数，故正确；|x|0，y5|x|1，函数y5|x|的值域是1，)，故不正确；f(1)1210，f(x)x2x在(1,0)内至少有一个零点，又f(x)x2x为增函数，f(x)x2x在(1,0)内有且只有一个零点，故正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解：Ax|x23x2
24、02，1，由(UA)B，得BA.方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1.若B2，则(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立B2若B1，2，则(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2.由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.18(本小题满分12分)设函数f(x)2x4，g(x)x4.(1)求f(1)，g(1)，f(1)g(1)的值；(2)求函数yf(x)g(x)的解析式，并求此函数的零点；(3)写出函数yf(x)g(x)的单调区间解：(1)f(1)242，g(1)143，f(1)g(1)236.(2)f
25、(x)2x4，g(x)x4，yf(x)g(x)(2x4)(x4)令(2x4)(x4)0，解得x2或x4，即此函数的零点是2,4.(3)yf(x)g(x)(2x4)(x4)2x212x162(x3)22，此函数是二次函数，图像开口向下，对称轴是直线x3，则函数yf(x)g(x)的单调递增区间是(，3，单调递减区间是(3，)19(本小题满分12分)已知函数f(x)lg(1x)lg(1x)(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)若f(x)lgg(x)，判断函数g(x)在(0,1)内的单调性，并用定义证明解：(1)要使函数f(x)有意义，须满足解得1x1，故函数f(x)的定
26、义域为(1,1)(2)函数f(x)为偶函数理由如下：由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)lg(1x)lg(1x)f(x)，故f(x)为偶函数(3)函数g(x)在(0,1)内单调递减证明如下：f(x)lg(1x2)lgg(x)，g(x)1x2.对于任意的0x1x20，即g(x1)g(x2)故g(x)在(0,1)内单调递减20(本小题满分12分)设函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，当x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f(x)f(2x)2，求x的取值范围解：(1)令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f
27、(0)0.(2)令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数(3)任取x1，x2R，x1x2，则x2x10.f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)故f(x)是R上的增函数f1，ffff2.f(x)f(2x)fx(2x)f(2x2)f.又由yf(x)是定义在R上的增函数，得2x2，解得x.故x的取值范围为.21(本小题满分12分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式QQ0
28、e0.002 5t，其中Q0是臭氧的初始量(1)随着时间t的增加，臭氧的含量是增加还是减少？(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失(ln 0.50.69)解：(1)对于函数QQ0e0.002 5t，显然Q0.任取t1t2，则t2t10，eee01，所以Q1Q2，因此随着时间t的增加，臭氧的含量是减少的(2)令e0.002 5t，解得0.002 5tln0.69，从而t276.即估计276年以后将会有一半的臭氧消失22(本小题满分12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为0.05 tt2万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大解：(1)当0x500时，f(x)0.05xx2x，当x500时，f(x)0.05500500212x，故f(x)(2)当0x500时，f(x)x(x475)2，故当x475时，f(x)max.当x500时，f(x)12x12，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大