1、第1课时二次函数的图像 核心必知二次函数图像间的变换(1)yx2与yax2(a0)图像间的变换：二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到(2)yax2与ya(xh)2k(a0)图像间的变换：函数ya(xh)2k(a0)的图像可由函数yax2(a0)的图像变换得到其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”(3)yax2与yax2bxc(a0)图像间的变换一般地，二次函数yax2bxc(a0)，通过配方可以得到它的恒等形式ya(xh)2k，从
2、而知道，由yax2的图像如何平移得到yax2bxc(a0)的图像问题思考1二次函数ya(xh)2k(a0)的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么？提示：顶点坐标为(h，k)，对称轴是x h.2二次函数ya(xh)2k(a0)的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？提示：当a0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；当a0，y1y20Bx1x20，y1y20Cx1x20Dx1x20，y1y20解析：选B由于函数yf(x)的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数yg(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x20，所以x1x20，y1y20.4设
3、b0，二次函数yax2bxa21的图像为下列之一，则a的值为()A1B1C. D.解析：选B由第一个图与第二个图中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1x20，故可排除由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1x20，又b0，故a0，图像开口向下，应为第三个图由图像过原点(0,0)，即a210，解得a1或a1(舍)二、填空题5将抛物线yx22x1向左平移1个单位后，得到的解析式是_解析：yx22x1(x1)2，函数yx22x1向左平移一个单位后，所得函数解析式为y(x1)12x2.答案：yx26函数yx2m的图像向下平移2个单位，得到函数yx21的图像，则实数m _.
4、解析：yx21的图像向上平移2个单位，得到函数yx21的图像，则m1.答案：17已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，2)，且过点(2,4)，则f(x)_.解析：设f(x)a(x1)22，因为过点(2,4)，所以有a(21)224，得a6.所以f(x)6(x1)226x212x4.答案：6x212x48已知方程x24|x|5m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是_解析：设f(x)x24|x|5，则f(x)即f(x)作出f(x)的图像，如图：要使方程x24|x|5m有四个全不相等的实根，需使函数f(x)与ym的图像有四个不同的交点，由图像可知，1m5.答案：(1,5)三、解答题9已知抛物线
5、yax2bxc(a0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)且xx，试问该抛物线是由y3(x1)2的图像向上平移几个单位得到的？解：由题意可设所求抛物线的解析式为y3(x1)2k，展开得y3x26x3k.由题意得x1x22，x1x2，xx(x1x2)22x1x2，即4.解得k.该抛物线是由y3(x1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y3(x1)2，即y3x26x.10已知二次函数yax2bxc的图像与yx22x3的形状相同，开口方向相反，与直线yx2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式解：yax2bxc的图像与yx22x3的形状相同，开口方向相反a
6、，则yx2bxc.又(1，n)，(m,1)两点均在yx2上，即点(1，1)和(3,1)均在所求的抛物线上解得这个二次函数的解析式为yx2x.第2课时二次函数的性质核心必知二次函数yax2bxc(a0)的性质：注：记ymax、ymin分别表示函数yf(x)的最大值、最小值问题思考1二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？提示：yax2bxc(a0)，在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明2二次函数的最值一定在顶点取得吗？提示：不一定，对于二次函数yax2bxc(a0)当xR时可以，但当x属于某局部闭区间时，不一定3对二次函数yf(x)，若满足f(ax)f(ax)(a0
7、)，则其对称轴方程是什么？提示：xa.讲一讲1已知函数f(x)x23x.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间；(2)已知f，不计算函数值，试求f；(3)不直接计算函数值，比较f与f的大小尝试解答(1)f(x)x23x(x3)2.f(x)图像的顶点坐标为，对称轴为x3.单调增区间为3，)，减区间为(，3(2)法一：f，又33，结合二次函数的对称性可知，ff.法二：函数f(x)的图像关于x3对称f(3x)f(3x)ffff.(3)f(x)在(，3上是单调递减函数，又f.(1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：ya(xh)2
8、k，进而确定顶点坐标为(h，k)，对称轴为xh等其它性质(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小练一练1函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，求f(1)的取值范围解：二次函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，且对称轴是x，2，即m16.f(1)4m5m925，f(1)25.讲一讲2已知二次函数f(x)x22x3.(1)当x2,0时，求f(x)的最值；(2)当x2,3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)
9、尝试解答f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上(1)当x2,0时，f(x)在2,0)上是单调递减的，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11; 当x0时，f(x)有最小值f(0)3.(2)当x2,3时，f(x)在 2,3上是先减后增的，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2，又|21|31|，f(x)的最大值为f(2)11.(3)当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，所以当xt时，f(x)取得取小值，此时g(t)f(t)t22t3.当t1t1，即0t1时，f(x)在区间t，t1上先减再增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.当t11，即t0时，f(t)在
10、t，t1上单调递减，所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，综上得g(t)(1)二次函数在给定区间m，n上的最值求解有以下三种情况：对称轴与区间m，n都是确定的；动轴定区间，即对称轴不确定，区间m，n是确定的；定轴动区间，即对称轴是确定的，区间m，n不确定对于以上三种情况，采用数形结合，较易解决；和应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类(2)求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值确定练一练2已知函数f(x)x2(2a4)x2在1,1内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式解
11、：f(x)x(a2)2(a2)22，x1,1其图像的对称轴为xa2.当a21即a1即a3时，函数f(x)在1,1上单调递减，函数f(x)的最小值g(a)f(1)2a7.综上：g(a)讲一讲3渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；(2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件尝试解答(1)由题意，知空闲率为1，ykx(0xm)(2)yx2kx2，0且0xm，当x时，ym
12、ax.(3)当x时，ymax，又实际养殖量不能达到最大养殖量，此时，需要m，解得k2.又k0，0k2.二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值问题练一练3某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间若不考虑其他因素，旅游公司将客房日租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为30010x，由x0，且30010x0，得0x30.设客房租金总收入为y元，则有y(202x)(3
13、0010x)20(x10)28 000(0x30)由二次函数的性质可知，当x10时，ymax8 000.所以当每间客房日租金提高到2010240元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元已知f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成立，求a的取值范围巧思要使f(x)0恒成立，只需f(x)min0，即可将问题转化为求f(x)的最小值问题妙解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)0.(1)当2，即a4时，g(a)f(2)73a0，得a，又a4，故此时a不存在(2)当2,2，即a4,4时，g(a)f3a0，得6a2.又4a4，4a2.(3)当2，即a4时，g(a)f(2)7a0，得a7
14、，又a4，7a4.综上知，a的取值范围是(7,2)1函数f(x)4x(x2)的顶点坐标和对称轴方程分别是()A(2,4)，x2B(1,5)，x1C(5,1)，x1 D(1,5)，x5解析：选Bf(x)4x(x2)x22x4(x1)25，函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x1.2二次函数ya2x24x1有最小值1，则a的值为()A. BC D2解析：选C由题意1，a22，a.3已知二次函数yf(x)在区间(，5上单调递减，在区间5，)上单调递增，则下列各式成立的是()Af(2)f(6)f(11)Bf(11)f(6)f(2)Cf(6)f(11)f(2)Df(11)f(2)f(6
15、)解析：选C法一：由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x5，离对称轴越近函数值越小法二：由题意知，该二次函数图像的对称轴为x5.f(5x)f(5x)f(2)f(57)f(57)f(12)f(x)在5，)上单调递增，f(6)f(11)f(12)f(6)f(11)f(2)4函数yx24x的单调递增区间是_解析：yx24x(x2)24，函数yx24x的单调递增区间为(，2答案：(，25函数y3x26x1，x0,3的最大值是_，最小值是_解析：y3(x1)22，该函数的图像如下从图像易知：f(x)maxf(3)10，f(x)minf(1)2.答案：1026已知函数f(x)x22ax2，x5
16、,5 .(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使函数yf(x)在5,5上是单调函数解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，当x1时，f(x)的最小值为1.当x5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图像的对称轴为xa.f(x)在5,5上是单调函数，a5，或a5，故a的取值范围是a5或a5.一、选择题1下列区间中，使函数y2x2x是增函数的是()ARB2，)C. D.解析：选D函数y2x2x2(x)2的图像的对称轴是直线x，图像的开口向下，所以函数在对称轴x的左边是增加的2如果函数y4x2kx8在5,20上是单调
17、函数，则实数k的取值范围为()Ak40 Bk160C40kf(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A.4某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.56万元C45.6万元 D45.51万元解析：选C设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15x)辆则y5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(0x15，xN)，此二次函数的对称轴为x10.2，
18、当x10时，y有最大值为45.6(万元)二、填空题5设函数f(x)4x2(a1)x5在1，)上是增函数，在(，1上是减函数，则f(1)_.解析：1，a9，则f(x)4x28x5.f(1)4(1)28(1)51.答案：16已知二次函数f(x)(xa)(bxa)(常数a，bR)的图像关于y轴对称，其值域为(，4，则a_，b_.解析：f(x)(xa)(bxa)bx2a(b1)xa2.f(x)图像的对称轴为x0，b1.f(x)x2a2，顶点为(0，a2)f(x)的值域为(，4，a24，a2.答案：217已知二次函数yx22xm的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程x22xm0的根为 _.解析：由图
19、知抛物线的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(1,0)所以关于x的一元二次方程x22xm0的根为x11，x23.答案：1,38已知关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对于xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：设f(x)(a2)x22(a2)x4，法一：当a2时，f(x)40恒成立；当a2时，f(x)(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，即f(x)有最大值且最大值小于零即解得2a2.综上知，a的取值范围是(2,2法二：a2时不等式显然成立，a2时，若不等式成立，即f(x)(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，必有a20，且4
20、(a2)24(a2)40，解得2a2.综上得2a2.a的取值范围是(2,2答案：(2,2三、解答题9已知二次函数f(x)ax22xc(a0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(2x)f(2x)(xR)(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t1，)上为增加的，求实数t的取值范围解：(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c1.又f(2x)f(2x)，函数f(x)的对称轴为x2.a.f(x)x22x1.(2)函数f(x)在(t1，)上为增函数，t12.t1.10某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本固定成本可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系Rf(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大解：(1)由图可知：Ra(t5)2，由t0时，R0，得a.R(t5)2(0t5)(2)年纯收益yt25t0.5tt2t0.5，当t4.75时，y取得最大值10.78万元故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元