1、1 & 2生活中的变量关系_对函数的进一步认识21函数概念 预习课本P2327，思考并完成以下问题1当两个变量满足什么条件时，才称它们之间有函数关系？ 2函数的概念是什么？ 3函数的自变量、定义域、值域是如何定义的？ 4什么是区间？ 1函数关系并非有依赖关系的两个变量都有函数关系只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系2函数的有关概念给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或yf(x)，xA.此时，x叫
2、作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数点睛(1)函数符号yf(x)可用任意字母表示，如yg(x)(2)“f(x)”表示x对应的一个函数值，是一个数，不是f与x的乘积(3)“f：AB”表示AB的函数，f为对应关系，不同的函数中，f的具体意义不同3区间(1)区间的概念与记法：设a，b是两个实数，而且ab，我们作出规定：定义名称符号几何表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb左闭右开区间a，b)x|aa，xb，xa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)点睛(1)区间是连续数集的另一种表示形式(2)“”是一个符号，而不是一个数，表
3、示的是变化趋势1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(2)对于一个函数yf(x)，在定义域内任取一个x值，可以有多个函数值y与其对应()(3)任何数集都能用区间表示()(4)集合x|x2可用区间表示为2，()答案：(1)(2)(3)(4)2下列说法正确的是()A函数的定义域和值域可以是空集B函数的定义域和值域一定是数集C.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应D函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选B由函数的定义知A，C错误，B正确对D，函数的值域是由定义域和对应关系决定的，定义域和对应关系确定后，值域也就
4、确定了，但定义域和值域确定不了对应关系，故D选项是错误的3若函数f(x)2x23x5，则f(2)_.解析：f(2)2223258659.答案：94数集x|x2，或x0用区间表示为_答案：(，2)0，)5集合x|x1，且x5用区间表示为_答案：1,5)(5，)依赖关系的判断典例下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？正方形的面积和它的边长之间的关系；姚明罚球次数与进球数之间的关系；施肥量与作物产量之间的关系；汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系解中两个变量都存在依赖关系，其中是函数关系，中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定
5、的，还是不确定的活学活用张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x kg，每亩地小麦产量为y kg，则()Ax，y之间有依赖关系Bx，y之间有函数关系Cy是x的函数 Dx是y的函数解析：选A小麦产量与施肥有关系，但这种关系又不是确定的.函数的概念典例设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个C2个 D3个解析图号正误原因x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.同时满足任意性与唯一性.x2时，对应元素y3N，不满足任意性.x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.答案B判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其
6、次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性活学活用图中(1)(2)(3)(4)四个图像各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有_解析：由函数定义可知，任意作一条直线xa，则与函数的图像至多有一个交点，对于本题而言，当1a1时，直线xa与函数的图像有且仅有一个交点，当a1或a1时，直线xa与函数的图像没有交点从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)答案：(2)(3)同一函数的判断典例判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)与g(x)x2；(2)f(x)与g(x)；(3)f(x)x22x1与g(t)t22t1；(4)f(x)1与g(x)x0(x0)解(1)f
7、(x)的定义域中不含有元素2，而g(x)定义域为R，即定义域不相同，所以不是同一函数(2)f(x)的定义域为0，)，而g(x)的定义域为(，10，)，定义域不相同，所以不是同一函数(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，因此不是同一函数函数有三个要素：定义域、值域和对应关系，值域是由定义域和对应关系确定的，所以只要定义域和对应关系相同，这两个函数就是同一函数活学活用下列各组函数中是同一函数的是()Af(x)x0，g
8、(x)Bf(x)，g(x)Cf(x)g(t)Df(x)x，g(t)解析：选A对B，定义域不同；对C，t0，g(t)1，t0，g(t)1；对D，g(t)|t|.求函数的定义域典例求下列函数的定义域：(1)y2x3；(2)f(x)；(3)y；(4)y.解(1)函数y2x3的定义域为x|xR(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x10，x1.故函数的定义域为x|x1(3)要使函数式有意义，则即所以x1，从而函数的定义域为x|x1(4)因为当x210，即x1时，有意义，所以函数的定义域是x|x1求函数定义域的一般方法当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x的取值范围求函
9、数定义域的一般方法为：(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；(4)函数yx0中的x不为0；(5)如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集； (6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求需要注意的是定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“”连接活学活用如图所示，用长为1的铁丝完成下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数
10、解析式，并写出它的定义域解：AB2x，的长x，于是AD，因此，y2x，即yx2x.由得0x，此函数的定义域为.函数值域的求法典例求下列函数的值域：(1)yx1，x1,2,3,4,5；(2)yx22x3，x0,3)；(3)y；(4)y2x.解(1)(观察法)因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域为2,6)(3)(分离常数法)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)(4)(换元法)设t，则xt21，且t0，所以y2(t21)t2t2，由t0，再结合函数的
11、图像，如图所示，可得函数的值域为，.求函数值域的方法求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则后，值域就完全确定了，但求值域特别要注意方法常用的方法有：(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法 (2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域求函数的值域没有通用的方法
12、和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累除了上述常用的方法外，还有分离常数法、数形结合法等，应注意选择最优的解法总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约 活学活用求下列函数的值域：(1)y1；(2)y.解：(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R，所以x211，所以02，则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1层级一学业水平达标1已知函数f(x)，则f()A.B.Ca D3a解析：选Df(x)，f 3a.2函数y的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1，或x0 Dx|0x1解析：选D0x1.3函数的图像
13、与x1的交点最多有()A0个 B1个C2个 D以上都不对解析：选B利用函数的定义，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，所以函数的图像与x1的交点最多有1个4下列各组中的两个函数为相等函数的是()Af(x)，g(x)Bf(x)()2，g(x)2x5Cf(x)与g(x)Df(x)与g(t)2解析：选DA中，f(x)的定义域为x|x1，g(x)的定义域为x|x1，或x1，它们的定义域不相同，不是相等函数；B中，f(x)()2的定义域为，g(x)2x5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数；C中，f(x)与g(x)的对应关系不同，不是相等函数；D中，f(x)x(x0
14、)与g(x)2t(t0)的定义域和对应关系都相同，它们相等5设f(x)，则()A1 B1C. D解析：选Bf(2)，f ，1.6设集合A2,10)，B5,13)，则R(AB)_.(用区间表示)解析：A2,10)，B5,13)，AB5,10)，R(AB)(，5)10，)答案：(，5)10，)7设函数f(x)2x1，g(x)3x2，则f(2)_，g(2)_，f(g(2)_.解析：f(2)2213，g(2)3228，f(g(2)f(8)28115.答案：38158函数y的值域为_解析：x20，16x216.又要使函数有意义，则16x20，即016x216，04，故函数y的值域为0,4答案：0,49已
15、知函数y的定义域为A，函数y1的值域为B，求AB.解：要使函数y有意义，则即x1.A(，1)(1，)0，y11，B1，)，AB(1，)10已知函数f(x)，(1)求函数的定义域；(2)求f(3)，f 的值；(3)当a0，求f(a)，f(a1)的值解：(1)要使函数有意义，则即x3且x2，故函数的定义域为x|x3，且x2(2)f(3)011.f .(3)因为a0，所以f(a)，f(a1)有意义，所以f(a)；f(a1).层级二应试能力达标1若f(x)，则方程f(4x)x的根是()A.BC2 D2解析：选Af(4x)x，4x24x10，x.2若集合Ax|y，By|yx22，则AB()A1，) B(
16、1，)C2，) D(0，)解析：选C集合A表示函数y的定义域，则Ax|x1，集合B表示函数yx22的值域，则By|y2，故ABx|x23若函数f(x)ax21，a为一个正数，且f(f(1)1，那么a的值是()A1 B0C1 D2解析：选Af(x)ax21.f(1)a1，f(f(1)f(a1)a(a1)211.a(a1)20.又a为正数，a1.4若函数y|x|的定义域为M2,0,2，值域为N，则MN()A2,0,2 B0,2C2 D0解析：选BM2,0,2，xM，当x0时，y0；当x2时，y2，得N0,2，MN0,25若函数f(x)的定义域为2a1，a1，值域为a3,4a，则a的取值范围为_解析
17、：由区间的定义知1a2.答案：(1,2)6已知集合Ax|x4，g(x)的定义域为B，若AB，则实数a的取值范围是_解析：由题可知，g(x)的定义域为x|xa1，集合Ax|x4，若使AB，则需a14，解得a3.答案：(，37求下列函数的值域：(1)f(x)x22x，其定义域为A0,1,2,3；(2)yx24x6，x1,5)；(3)y；(4)yx.解：(1)分别令x0,1,2,3，得f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)3，所以函数的值域为1,0,3(2)将yx24x6配方，得y(x2)22，又x1,5)，结合函数图像(图略)可知，函数的值域是2,11)(3)y2，由x211，得03，即有1
18、y2，所以函数的值域是1,2)(4)设t，则x(t0)，于是yt(1t)2，又t0，故y，所以函数的值域是.8已知函数f(x).(1)求f(2)f ，f(3)f 的值；(2)求证：f(x)f 是定值；(3)求f(2)f f(3)f f(2 016)f的值解：(1)f(x)，f(2)f 1，f(3)f 1.(2)证明：f(x)f 1.(3)由(2)知f(x)f 1，f(2)f 1，f(3)f1，f(4)f1，f(2 016)f1.f(2)f f(3)f f(2 016)f 2 015.22函数的表示法预习课本P2831，思考并完成以下问题1函数的表示方法有哪几种方法？ 2什么样的函数是分段函数？
19、 1函数的三种表示方法函数的表示方法通常有三种，它们分别是列表法、图像法和解析法(1)列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法(2)图像法：用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法(3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法点睛(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观但是，它只能表示有限个元素间的函数关系(2)图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势(3)解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质但是，一些实际问题很难找到它的解析式2分段函数有些函数在其定义域内，对于
20、自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数点睛分段函数是一个函数，而不是几个函数1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)分段函数各段上的对应关系不同，因此分段函数是由几个不同函数构成的()(3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段()(4)分段函数的定义域部分可以有公共部分()答案：(1)(2)(3)(4)2已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1x222x4f(x)123A.1B2C3 D不存在答案：C3.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是_，值域是_答案：1,2)(1,14已知函数f(x
21、)则f _.解析：f 3，f f 1.答案：5已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(2,0)，B(1,5)两点，则f(x)的解析式为_解析：据题意设f(x)axb(a0)，又图像过点A(2,0)，B(1,5)解得a，b.f(x)x.答案：f(x)x函数图像的画法典例作出下列函数的图像(1)y1x(xZ)；(2)y2x24x3(0x3)解(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y1x上(xZ，yZ)，这些点都为整数点，如图所示为函数图像的一部分；(2)0x3，这个函数的图像是抛物线y2x24x3介于0x0时，yx1；当xg(f(x)的x的值是_解析：f(g(1)f(3)1.x123f(
22、g(x)131g(f(x)313故f(g(x)g(f(x)的解为x2.答案：127.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_.解析：结合图像可知f(0)4，则f(f(0)f(4)2.答案：28某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是_解析：由题意得，当0x100时，y0.5x；当x100时y1000.5(x100)0.4100.4x.答案：y9画出下列函数的图像：(1)f(x)
23、x，xN*；(2)f(x)x(表示不超过x的最大整数)；(3)f(x)|x2|；(4)f(x)解：(1)f(x)x，xN*表示分段函数f(x)图像是一列点，如图(1)：图(1)(2)f(x)x如图(2)：图(2) (3)f(x)|x2|画出yx2的图像，取2，)上的一段；画出yx2的图像，取(，2)上的一段，如图(3)所示：图(3)(4)画出一次函数yx1的图像，取(，1上的一段；画出二次函数yx2x2的图像，取(1,2上的一段；画出一次函数yx2的图像，取(2，)上的一段，如图(4)所示：图(4)10一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积
24、的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.(2)根据图像，有s相应的图像如图所示：层级二应试能力达标1函数f(x)的值域是()ARB0，)C0,3 D0,23解析：选D作出yf(x)的图像由图像知，f(x)的值域0,232已知函数f(x)满足f(x)2f(3x)x2，则f(x)的解析式为()Af(x)x212x18Bf(x)x24x6Cf(x)6x
25、9 Df(x)2x3解析：选B由f(x)2f(3x)x2可得f(3x)2f(x)(3x)2，由以上两式解得f(x)x24x6.3若xR，f(x)是y2x2，yx这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为()A2 B1C1 D无最大值解析：选B在同一坐标系中画出函数y2x2，yx的图像如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像x1时，f(x)max1.4设f(x)g(x)则f(g()的值为()A1 B0C1 D解析：选Bg()0，f(0)0，故f(g()0.5设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.解析：当a0时，f(a)a22a20，f(f(a)0，显然不成立；当a0时，f(a)
26、a2，f(f(a)a42a222，则a或a0，故a.答案：6根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，则c_，A_.解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60.将c60代入15，得A16.答案：60167.如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于
27、x的函数解析式，并画出大致图像解：过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm.又BC7 cm，所以ADGH3 cm.当点F在BG上时，即x0,2时，yx2；当点F在GH上时，即x(2,5时，y22x2；当点F在HC上时，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合得函数解析式为y函数图像如图所示8已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立(1)求f(0)与f(1)的值；(2)求证：ff(x)；(3)若f(2)p，f(3)q
28、(p，q均为常数)，求f(36)的值解：(1)令ab0，得f(0)f(0)f(0)，解得f(0)0；令a1，b0, 得f(0)f(1)f(0)，解得f(1)0.(2)证明：令a，bx，得f(1)ff(x)0，ff(x)(3)令ab2，得f(4)f(2)f(2)2p，令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q.令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)2p2q.23映射预习课本P3233，思考并完成以下问题1映射的定义是什么？ 2原像和像的定义是什么？ 3什么样的映射是一一映射？ 1映射的定义设A，B是两个非空集合，两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元
29、素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy.点睛(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有像，并且像是唯一的；A中两个(或多个)元素可能有相同的像；映射允许集合B中存在元素在A中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”2一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)A中的不同元素的像也不同；(3)B中的每一个元素都
30、有原像点睛(1)一一映射f：AB中，要求原像不同，像也不同，A，B中元素都不剩余(2)集合A中不同的元素在集合B中有不同的像，集合B中的元素都有不同的原像3映射与函数设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函数在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域点睛映射与函数是不同的概念，函数是一种数集到数集的特殊的映射1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)函数是一种特殊的映射()(2)像是对原像而言的，原像也是对像而言的，原像和像不可以互换()(3)映射f：AB与f：BA是一样的()答案：(1)(2)(3)2下列对应不是映射的是()答案：D3
31、已知集合A0,4，B0,2，按对应关系f不能构成从A到B的映射的是()Af：xyxBf：xyx2Cf：xy Df：xy|x2|答案：B4设f：AB是集合A到B的映射，其中Ax|x0，BR，且f：xx22x1，则A中元素1的像和B中元素1的原像分别是_，_.答案：02映射、一一映射的判断典例已知集合Ax|0x3，By|0y1判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由(1)f：xyx；(2)f：xy(x2)2；(3)f：xy(x1)2.解(1)因为0x3，所以0x1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：AB是集合A到集合B的映射对于集合B中的每
32、一个元素y，由x3y及0y1，有03y3,0x3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：AB是一一映射(2)因为0x3，所以2x21，所以0(x2)24，所以集合A中的某些元素，如x0，在集合B中没有像，因此对应f：AB不是映射，更不是一一映射(3)因为0x3，所以1x12,0(x1)21，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：AB是映射对于集合A中的元素x0和x2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射(1)映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素
33、与之对应(2)一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射活学活用下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为()AN，BZ，f：xyx；ABx|x0，f：xy；AN，B0,1，f：除以2所得的余数；A4，1,1,4，B2，1,1,2，f：xy；A平面内边长不同的等边三角形，B平面内半径不同的圆，f：作等边三角形的内切圆A3B4C5 D2解析：选D是映射，不是一一映射因为集合B中有些元素(正整数)没有原像；是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数；是映射，不是一一映射因为集合A中有不同元素对应集合B中的同
34、一个元素；不是映射因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和2)；是映射，是一一映射因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是某一个等边三角形的内切圆等边三角形边长不同，圆的半径也不同.像与原像典例已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1，x21)，求A中元素在B中的像和B中元素在A中的原像解x代入对应关系，可求出其在B中的像为(1,3)由得x.所以在B中的像为(1,3)，在A中的原像为.在求像和原像时要分清原像和像，特别由原像到像的对应关系，对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后
35、利用对应关系列出方程(组)求解活学活用设集合A，B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，像(2,1)的原像为()A(3,1) B.C. D(1,3)解析：选B求映射个数问题典例已知集合Aa，b，集合Bc，d，e(1)试建立一个从A到B的映射；(2)从A到B的映射共有多少个？解(1)如图所示(答案不唯一)图(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如图所示图一题多变1变设问对本例中的集合A、B，从A到B能否建立一一映射？解：不能因为集合A中有2个元素，集合B中有3
36、个元素，根据一一映射的定义，从A到B不可能建立一一映射2变设问本例中从A到B建立的映射是函数吗？解：不一定是若A、B都是数集，则从A到B的映射是函数；若A、B不都是数集，则从A到B的映射不是函数3变设问本例条件不变，从B到A的映射有多少个？解：从B到A的映射有如下几种情况：共8个求从集合A到集合B的映射个数的问题有以下结论：若集合A有m个元素，集合B有n个元素，那么从A到B的映射有nm个 层级一学业水平达标1下列集合A到集合B的对应关系f是映射的是()AA1,0,1，B1,0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，B正实数，f：A
37、中的数取绝对值解析：选AB中元素1在f下有两个元素1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射2已知集合Ma，b，集合N0,1，下列对应不是M到N的映射的是()解析：选CA、B、D均满足映射的定义，C不满足，因为映射是M中任一元素在N中都有唯一元素与之对应，但选项C的集合M中，元素b在N中无元素与之对应3下列对应关系f中，构成从集合A到集合B的映射是()AAx|x0，BR，f：x|y|x2BA2,0,2，B4，f：xyx2CAR，By|y0，f：xyDA0,2，B0,1，f：xy解析：选D由映射定义知A中元素一对多，不符合，B、C中0无对应元素4下
38、列集合A到集合B的对应中为映射的是()AABN*，对应关系：f：xy|x3|BAR，B0,1，对应关系f：xyCABR，对应关系f：xyDAZ，BQ，对应关系f：xy解析：选B在A中，当x3时，|x3|0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数是在B中没有元素和它对应，故不是映射(或者x0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义5以下给出从集合A到B的对应，其中映射的个数为()(1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合AP|P
39、是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生A0B1C2 D3解析：选D(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射(3)由于每一个
40、三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到B的一个映射(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到B的一个映射6设Ax|x是锐角，B(0,1)，从A到B的映射是“求正弦”，与A中元素60相对应的B中的元素是_解析：sin 60，与A中元素60相对应的B中的元素是.答案：7已知从集合A到集合B的映射是f1：x2x1，从B到C的映射是f2：y，则从AC的映射为_解析：由已知可得，AC的映射为x.答案：x8设MNR，f：xx22x是M到N的映射，若对于N中元素p，在M中恰有一个原像，则p的值为_解析：由题意知，关
41、于x的方程x22xp有两相等实根，44p0.p1.答案：19下列对应是否是从集合A到集合B的映射？是否是从集合A到集合B的一一映射？(1)AR，Bx|x0，f：xy，y|x|；(2)Ax|x0，BR，f：xy，yx2；(3)Ax|x0，Bx|x0，f：xy，yx2；(4)AR，Bx|x0，f：xy，y(x1)2.解：(1)由于集合A中元素0没有像，故它不是映射，更不是一一映射(2)满足映射定义中的条件，它是映射，但B中元素小于0时，没有原像，故它不是一一映射(3)集合A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应，反之亦成立，故它既是映射，也是一一映射(4)集合A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对
42、应，它是映射；但集合B中任一个正数，在A中都有两个元素与之对应，故它不是一一映射10已知集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，且aN，kN，xA，yB，映射f：AB，使B中元素y3x1和A中元素x对应，求a及k的值解：B中元素y3x1和A中元素x对应，A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a410或a23a10.aN，仅有a23a10，得a2，a5(舍)则有k的像是a4.3k124，得k5.综上得，a2，k5.层级二应试能力达标1给出下列四个对应，其中是映射的是()解析：选AB项，M中元素2,4在N中没有元素与之对应；C项，M中元素1,2在N中对应不唯一；D项，M中元素重复
43、，而且M中元素3在N中对应不唯一2已知集合Ax|0x9，By|0y3，下列从A到B的对应关系f不是映射的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyx Df：xy解析：选A必须保证A中的任一元素在B中都有像选项A中，因为0x9，所以0x，所以集合A中的某些元素，如x9在集合B中没有像，故不是映射3已知映射f：AB，其中集合A3，2，1,1,2，3,4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f作用下的像， 且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()A4 B5C6 D7解析：选AaA，|a|1,2,3,4，即B1,2,3,44f：AB是集合A到集合B的映射，AB(x，y)|
44、xR，yR，f：(x，y)(kx，yb)，若B中的元素(6,2)在此映射下的原像是(3,1)，则k_，b_.解析：当时，答案：215已知集合Ma，b，c，d，Px，y，z，则从M到P能建立不同映射的个数是_解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立3481个不同的映射答案：816规定：区间m，n的长度为nm(nm)设集合A0，t(t0)，集合Ba，b(ba)，从集合A到集合B的映射f：xy2xt，若集合B的长度比集合A的长度大5，则实数t_.解析：由于集合A和集合B均是数集，则该映射f：xy是函数，且f(x)2xt，当xA时，f(x)的值域为f(0)，f(t)，即t,3t，
45、所以集合B的长度为3tt2t，又集合A的长度为t0t，则2tt5，解得t5.答案：57已知：集合Ax|2x2，By|1y1对应关系f：xyax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：AB，求实数a的取值范围解：当a0时，集合A中元素的像满足2aax2a.若能够建立从A到B的映射，则2a,2a1,1，即解得0a.当a0时，集合A中元素的像满足2aax2a，若能建立从A到B的映射，则2a，2a1,1，即解得a0.综合可知a的取值范围为.8已知Aa，b，c，B1,0,1，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求映射f：AB的个数解：由于f(a)，f(b)，f(c)1,0,1故符合f(a)f(b)f(c)条件的f(a)，f(b)，f(c)的取值情况如表所示：f(a)0101011f(b)0010111f(c)0111100由上表可知，所求映射有7个