1、第1课时椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，2)问题1：若动点P满足PAPB6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得6，化简得1.问题2：若动点P满足PCPD6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得6，化简得1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c的关系c2a2b21标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2b2c2.2
2、两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意ab0这个条件例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点思路点拨(1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论也可利用椭圆的一般方程Ax2By21(其中A0，B0，AB)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，)代入，即可求出a，b，则标准方程易得精解详析(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆
3、的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.一点通求椭圆标准方程的一般步骤为：1求适合下列条件的椭
4、圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P，Q.解：(1)由已知得：c4，a5.b2a2c225169.故所求椭圆方程为1.(2)设椭圆方程为Ax2By21.(A0，B0，AB)由已知得，解得：故所求椭圆方程为1.2求适合下列条件的椭圆的方程(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)椭圆经过点(2,0)和(0,1)，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)椭圆的焦点在y轴
5、上，所以可设它的标准方程为1(ab0)P(0，10)在椭圆上，a10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2，c(10)2，故c8，b2a2c236，所求椭圆的标准方程是1.例2已知方程x2sin y2cos 1(02)表示椭圆(1)若椭圆的焦点在x轴上，求的取值范围(2)若椭圆的焦点在y轴上，求的取值范围思路点拨(1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程(2)对于椭圆方程1(m0，n0，mn)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求的范围精解详析将椭圆方程x2sin y2cos 1(02)化为标准形式为1(02)(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则0，即所以0，即所以3
6、或6a2.答案：(3，)(6，2)4已知方程1表示椭圆，求k的取值范围解：方程1可化为1，由椭圆的标准方程可得得3k5，且k4.所以满足条件的k的取值范围是k|3k0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的 课时达标训练（七）1若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为_解析：由椭圆定义知，a5，P到两个焦点的距离之和为2a10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52椭圆25x216y21的焦点坐标是_解析：椭圆的标准方程为1，故焦点在y轴上，其中a2，b2，所以c2a2b2，故c.所以该椭圆的焦点坐标为.答案：3已知方程(k21)x23y21是焦点在y轴
7、上的椭圆，则k的取值范围是_解析：方程(k21)x23y21可化为1.由椭圆焦点在y轴上，得解之得k2或kb0)2a26,2c10，a13，c5.b2a2c2144.所求椭圆的标准方程为1.(2)法一：由9x25y245，得1，c2954，所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，2)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)由点M(2，)在椭圆上，所以MF1MF22a，即2a4，所以a2，又c2，所以b2a2c28，所以所求椭圆的标准方程为1.法二：由法一知，椭圆9x25y245的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，2)，则设所求椭圆方程为1(0)，将M(2，)代入，得1(0)，解得8或2(舍去)所
8、以所求椭圆的标准方程为1.7如图，设点P是圆x2y225上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MDPD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得P在圆上，x2(y)225.即轨迹C的方程为1.8已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M的半径为r，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且8|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是1.第2课时椭圆的
9、几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质以方程1(ab0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由10，得axa.同理byb.问题2：在方程中，用x代x，y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x0，得yb；令y0，得xa；与x轴的交点为(a,0)，(a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，b)椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybaya，bxb顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点
10、(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e(0,1)1椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0e4时，由c2a2b2m4，得.解得m.当mb0)由已知a2b，且椭圆过点(2，6)，从而有1或1.由得a2148，b237或a252，b213.故所求椭圆的标准方程为1或1.一点通在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、
11、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：由题意得2a12，所以a6，c3，b3.故椭圆方程为1.答案：14求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c2，且焦点坐标为(0，2)，(0,2)由椭圆的定义知，2a8，所以a4，所以b2a2c216412.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)由题意知，2a26，即a13，又e，所以c5，所以b2a2c2
12、13252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为1或1.例3已知椭圆M：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且PF1PF2的最大值的取值范围为，其中c2a2b2，求椭圆的离心率的取值范围思路点拨由P是椭圆上一点，知PF1PF22a，进而设法求出PF1PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围精解详析P是椭圆上一点，PF1PF22a，2aPF1PF22 ，即PF1PF2a2，当且仅当PF1PF2时取等号c2a23c2，2，e22，e.0e1，eb0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则
13、椭圆M的离心率e的取值范围是_解析：设P(x，y)、F1(c,0)、F2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2，又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.答案：例4某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程思路点拨根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程精解详析如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程
14、为焦点在x轴上的椭圆的标准方程，不妨设为1(ab0)，则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2b2c2，则解得b2a2c222R2.此宇宙飞船运行的轨道方程为1.一点通解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答7某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近
15、的点)高度是200 km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是_解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得2a1 70021 800200，a2 750.又a2c1 7001 800，c375.e.答案：8已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系
16、，则F1(1,0)，F2(1,0)设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x，y)，则由已知得PF1PF24.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a2，c1，则b.P点的轨迹方程为1(y0)，同理Q点轨迹方程同上(2)SPF1QF2F1F2|yP|2cb2(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 km2.1椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状3讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上
17、进行讨论课时达标训练（八）1(新课标全国卷改编)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_解析：法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：2(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_解析：依题意，设椭圆方程为
18、1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：13曲线1与曲线1(kb0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，则y2b2，yb2.所以k1k21e21，即k1k2的值为.答案：5设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率是_解析：设直线x与x轴交于点M，则PF2M60.由题意知，F1F2PF22c，F2Mc.在RtPF2M中，F2MPF2，即cc.e.答案：6已知焦点在x
19、轴上的椭圆的离心率e，经过点A(，2)，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程为1(ab0)，则1.由已知e，ca.b2a2c2a2(a)2，即b2a2.把代入，得1，解得a225，b216，所求方程为1.7已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，易知m，a2m，b2.c.由e，得 ，解得m1，椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.8若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于，试求椭圆的离心率及其方程解：令xc，代入1(ab0)，得y2b2(1)，y.设P(c，)，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)OPAB，kOPkAB，bc.而a2b2c22c2，ac，e.又ac，解得a，c，b，所求椭圆的标准方程为1.