1、2.2 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点,能将一般方程化为标准方程,进而求出圆心坐标和半径,能将标准方程化为圆的一般方程.2.掌握待定系数法求一般方程的方法.3.了解二元二次方程与圆的方程的关系,知道二元二次方程表示圆的条件.1.圆的一般方程方程:当 D2+E2-4F0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫作圆的一般方程,其圆心为-2,-2,半径为 r=12 2+2-4.名师点拨1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆,当且仅当D2+E2-4F0时表示圆,当D2+E2-4F=0时表示一个点,当D2+E2-4F0.【做一做 1-1】圆 x2+y2+2x-4y+3=0
2、的圆心坐标和半径分别是()A.(1,2),2B.(-1,-2),2C.(-1,2),2 D.(1,2),2解析:设圆心坐标是(a,b),则 a=22=1,=-42=2,故圆心坐标是(-1,2),半径是 22+(-4)2-432=2.答案:C 【做一做1-2】圆x2+y2+ax=0的圆心的横坐标为1,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2D.2 解析:由题意知,2=1,故a=-2.答案:C 【做一做 1-3】方程 x2+y2+2mx+2my+2m2-m+1=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是()A.m1B.15 1 或 m0,解得m1.答案:A 2.点与圆的位置关系 设点P(x0,y0),圆
3、M:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则:点 P 在圆 M 上02+02+0+0+=0;点 P 在圆 M 外02+02+0+0+0;点 P 在圆 M 内02+02+0+0+0.【做一做2】已知点A(1,2),圆C:x2+y2-2x-3y+2=0,则点A与圆C的位置关系是()A.点A在圆C内 B.点A在圆C上 C.点A在圆C外 D.不能确定 解析:因为12+22-21-32+2=-10是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.题型一 题型二 题型三 解:方法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2
4、+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,原方程表示一个点;当m2时,原方程表示圆.此时,圆的圆心为点(2m,-m),方法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,原方程表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为点(2m,-m),半径为r=|m-2|.半径为 r=12 2+2-4=5|m-2|.5 题型一 题型二 题型三 反思对于判断二元二次方程是否表示圆的题目,解答的步骤是:(1)看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式,若不符合这种形式则不表示圆,若符合这种形式则再进行判断.(2)判断圆的一般方程成
5、立的条件是否满足,若满足,则表示圆;若不满足,则不表示圆.题型一 题型二 题型三 解:方法一:a0,原方程可化为 x2+y2-4(-1)x+4y=0,即-2(-1)2+2 2=4(-1)2+12.又4(-1)2+120,原方程表示圆,此时圆心坐标为 2(-1),-2,半径 r=2 2-2+2|.方法二:a0,原方程可化为 x2+y2-4(-1)x+4y=0.D2+E2-4F=16(-1)22+162=16(-1)2+1620,原方程表示圆,此时圆心坐标为 2(-1),-2,半径 r=2 2-2+2|.【变式训练2】判断方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0(a0)是否表示圆,若表示圆,写
6、出圆心坐标和半径.题型一 题型二 题型三 题型三求圆的一般方程【例3】求经过点A(-1,1)和B(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程.分析:设出圆的一般方程,根据条件列出关于参数的方程(组),解方程(组)即可.题型一 题型二 题型三 解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).圆心在 x 轴上,-2=0,即 E=0.又圆过点 A(-1,1)和 B(1,3),(-1)2+12+(-1)+1+=0,12+32+1+3+=0,即-+2=0,3+10=0.联立,解得 =-4,=0,=-6.故所求圆的方程为 x2+y2-4x-6=0.题型一 题型二 题型三 反思圆的一般方程
7、x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)中含有三个参数,因此需要具备三个独立条件才能确定一个圆,另外需熟记圆心坐标为-2,-2,半径 r=12 2+2-4.题型一 题型二 题型三【变式训练3】已知A(2,-2),B(5,3),C(3,-1),求ABC的外接圆的方程.分析:本题考查圆的方程的求法,ABC的外接圆是过A,B,C三点的圆,由条件不易求得圆心和半径,故可用待定系数法求解.解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),将A(2,-2),B(5,3),C(3,-1)三点的坐标代入圆的方程,圆的方程为x2+y2+8x-10y-44=0.得 4+4+2
8、-2+=0,25+9+5+3+=0,9+1+3-+=0,解得 =8,=-10,=-44.1 2 3 4 51.圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为()A.(0,2),2B.(2,0),4 C.(-2,0),2D.(2,0),2 解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2.故选D.答案:D 1 2 3 4 52 若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围为()A.m12B.m12D.m12解析:由 D2+E2-4F=(-1)2+12-4m=2-4m0,解得 m0),则由题设得方程组 =0,+2=0,4+2+20=0,解得 =-8,=6,=0.故所求圆的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0.5.求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的一般方程.