1、第 53 课时 匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)命题者说 带电粒子在匀强磁场中的运动经常出现临界极值问题和多解问题，这两种题型在高考中也常常涉及。由于这两种题型难度较大，对学生分析问题的能力要求较高，学生往往感到无从下手。本课时将深入分析这两种题型。一、匀强磁场中的临界极值问题1.由于带电粒子在有界磁场中运动，粒子在磁场中将运动一段圆弧或一个完整的圆。粒子运动轨迹和磁场边界相切，往往是分析临界条件的出发点。2不同边界条件下临界条件的分析：(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。(3)三边形边界如图所示是正AB
2、C 区域内某正粒子垂直 AB 方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为2a，D 点距 A 点 3a，粒子能从 AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从 AC 间射出的临界轨迹如图乙所示。典例 如图所示，磁感应强度大小为 B0.15 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为 R0.10 m的圆形区域内，圆的左端跟 y 轴相切于直角坐标系原点O，右端跟很大的荧光屏 MN 相切于 x 轴上的 A 点。置于原点的粒子源可沿 x轴正方向以不同的速度射出带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷qm1.0108 C/kg。(1)请判断当粒子分别以 v11.5 3106 m/s 和 v20.5 3106 m
3、/s的速度射入磁场时，能否打到荧光屏上？(2)要使粒子能打在荧光屏上，求粒子流的速度 v0 的大小应满足的条件。(3)若粒子流的速度 v03.0106 m/s，且以过 O 点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转 90，求此过程中粒子打在荧光屏上离 A 的最远距离。解析(1)粒子以不同速度射入磁场的轨迹如图所示，由几何知识得当粒子做圆周运动的半径 rR 时，粒子沿图中方向射出磁场能打到屏上，当粒子做圆周运动的半径 rR 时，将沿图中方向射出磁场，不能打到屏上。当粒子速度为 v1 时，洛伦兹力提供向心力，得 qv1Bmv12r1，解得 r1 3RR，故能打到屏上；同理，当粒子的速度为
4、v2 时，解得 r2 33 R1.5106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。(3)设速度 v03.0106 m/s 时，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r4，由洛伦兹力提供向心力，得 qv4Bmv42r4，解得 r42R。如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹就是以 E 点为圆心，以 r4 为半径的一段圆弧。因圆形磁场以 O 为轴缓慢转动，故磁场边界变为以 O 为圆心，以 2R 为半径的圆弧 ABE，当 A 点恰转至 B 点，此时粒子的出射点为 B，偏角 最大，射到荧光屏上 P 点离 A 点最远。由几何知识得 APCAtan(2Rr4 tan 30)tan 60 315 m0.15 m。答案
5、(1)v1 能，v2 不能(2)v01.5106 m/s(3)0.15 m(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条件的粒子轨迹。(2)运用几何关系，求得粒子运动半径。(3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。1.(多选)(2017常德月考)如图所示，宽为 d 的有界匀强磁场的边界为 PP、QQ。一个质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ射出，粒子的入射速度v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计)()A.qBdm B.2qBdmC.2qBd3mD.qBd3m集训冲关解析：微观粒子在匀强磁场中作匀速
6、圆周运动，qvBmv2R，RmvqB，要使粒子不能从边界 QQ射出，粒子的入射速度v0 最大时，轨迹与 QQ相切。如粒子带正电，RR2d，dR2，v02qBdm，B 正确；如粒子带负电，RR2d，v02qBd3m，C 正确。答案：BC2.(2016海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y轴上，OCA30，OA 的长度为 L。在OCA 区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。(1)求磁场的磁感应强度的大小；(2)
7、若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场内运动的时间为53t0，求粒子此次入射速度的大小。解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间 t0 内其速度方向改变了 90，故其周期 T4t0设磁感应强度大小为 B，粒子速度为 v，圆周运动的半径为 r。由洛伦兹力提供向心力，得 qvBmv2r 匀速圆周运动的速度满足 v2rT 联立式得 Bm2qt0。(2)设粒子从 OA 边两个不同位置射入磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹
8、如图(a)所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为 1 和 2。由几何关系有 12180粒子两次在磁场中运动的时间之和 t1t2T22t0。(3)如图(b)，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为 150。设 O为圆弧的圆心，圆弧的半径为 r0，圆弧与 AC 相切于 B 点，从 D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有OODBOA30r0cosOODr0cos BOAL设粒子此次入射速度的大小为 v0，由圆周运动规律 v02r0T 联立式得 v0 3L7t0。答案：(1)m2qt0(2)2t0(3)3L7t0造成带电粒子在匀强磁场中运动多解的原因很多，列举以下几种情形：1
9、带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为 a，如带负电，其轨迹为 b。二、匀强磁场中的多解问题2磁场方向不确定形成多解有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。如图乙所示，带正电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场，如 B垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b。3临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转
10、过 180从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图丙所示。4运动的周期性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。典例(2015重庆高考)如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中 MN 和 MN是间距为 h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和 O，ONONd，P 为靶点，OPkd(k 为大于 1 的整数)。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为 U。质量为 m、带电量为 q 的正离子从 O 点由静止开始加速，经 O进入磁场区域。当离子打到极板上 ON区域(含 N点)或外
11、壳上时将会被吸收，两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力。求：(1)离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点所需的磁感应强度大小；(2)能使离子打到 P 点的磁感应强度的所有可能值；(3)打到 P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。解析(1)离子经一次加速的速度为 v0，由动能定理得 qU12mv02离子的轨道半径为 R0，则 R012kd由洛伦兹力提供向心力，qv0Bmv02R0 联立式得 B2 2Uqmqkd。(2)设离子在电场中经过 n 次加速后到达 P 点，根据动能定理和牛顿第二定律得 nqU12mvn2 qvn Bmvn
12、2rn rnkd2 联立式解得 vn2nqUm，B2 2nUqmqkd当离子经过第一次加速，在磁场中偏转时，qU12mv12qv1Bmv12r1 联立式解得 r1 kd2 n 由于d2r1kd2，解得 1nk2，且 n 为整数，所以 n1,2,3，k21。磁感应强度的可能值为 B2 2nUqmqkd(n1,2,3，k21)。(3)当离子在电场中加速(k21)次时，离子打在 P 点的能量最大此时磁感应强度 B2 2k21Uqmqkd最终速度 vn2k21qUm离子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T2mqB mkd2k21Uqm 离子在磁场中运动的时间 t12k2112T 2k23mkd2 2Uqm
13、k21根据牛顿第二定律，离子在电场中运动的加速度 aqEm qUmh离子在电场中运动的全过程等效为初速度为 0 的匀加速直线运动，根据速度公式 vnat2，得离子在电场中的运动时间 t2vna h2k21mUq。答案(1)2 2Uqmqkd(2)B2 2nUqmqkd(n1,2,3，k21)(3)在磁场中运动的时间：2k23mkd2 2Uqmk21在电场中运动的时间：h2k21mUq(1)分析多解问题的关键是要全面分析各种可能性，找出题目多解形成的原因，以免造成漏解。(2)针对周期性多解问题，可以通过分析第一周期或前几个周期的运动规律，寻找周期运动的通解并注意在有其他条件限制的情况下，通解可能
14、变为有限个解或单一解。1.(多选)如图所示，在 xOy 平面存在磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外。P(2L,0)、Q(0，2L)为坐标轴上的两个点。现有一电子从 P 点沿 PQ 方向射出，不计电子的重力，则下列说法正确的是()集训冲关A若电子从 P 点出发恰好经原点 O 第一次射出磁场分界线，则此时电子运动的路程一定为L2B若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则电子运动的路程一定为 LC若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则电子运动的路程可能为 2LD若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则
15、 nL(n 为任意正整数)都有可能是电子运动的路程解析：若电子从 P 点出发恰好经原点 O 第一次射出磁场分界线，则其运动轨迹如图甲OP所示，则电子运动的路程为圆周的14，即为L2，故选项 A 正确；若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，运动轨迹可能如图甲、乙所示，因此电子运动的路程可能为 L，也可能为2L，故选项 B、D 错误，C 正确。答案：AC2.(2017淮安模拟)如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度分别为B10.1 T、B20.05 T，分界线 OM 与 x 轴正方向的夹角为。在第二、三象限内存在着沿 x 轴正方向的匀强电场，电场强度 E1104
16、V/m。现有一带电粒子由 x 轴上 A 点静止释放，从 O 点进入匀强磁场区域。已知 A 点横坐标 xA5102 m，带电粒子的质量 m1.61024 kg，电荷量 q1.61015 C。(1)要使带电粒子能始终在第一象限内运动，求 的取值范围？(用反三角函数表示)(2)如果 30，则粒子能经过 OM 分界面上的哪些点？(3)如果 30，让粒子在 OA 之间的某点释放，要求粒子仍能经过(2)问中的那些点，则粒子释放的位置应满足什么条件？解析：(1)粒子进入匀强磁场后，做匀速圆周运动。设在 B1 中运动的半径为 r1，在 B2 中运动的半径为 r2，由 qvBmv2r，B12B2得 r22r1由
17、几何关系解得 212arcsin23。(2)当 30时，粒子每次在任意一个磁场中运动的圆弧的圆心角均为 60，弦长均等于半径。粒子在电场中运动 qExA12mv2粒子在磁场中运动 r1mvqB1解得：r11102 m，r22r12102 mOM 上经过的点距离 O 点的距离是lkr1(k1)r2(3k2)r1(3k2)102 m(k1，2，3，)或 lk(r1r2)3k102 m(k1，2，3，)。(3)要仍然经过原来的点，需满足 r1n(r1r2)(n1，2，3，)解得 r1 r13n，即 v v3n粒子释放的位置应满足 xA xA9n2(n1，2，3，)或者 r1n(2r1r2)(n1，2，3，)解得 r r14n 即 v v4n粒子释放的位置应满足 xAxA16n2(n1，2，3，)。答案：(1)212arcsin23(2)l(3k2)102m(k1，2，3，)或 l3k102 m(k1，2，3，)(3)xA xA9n2(n1，2，3，)xAxA16n2(n1，2，3，)课时达标检测点击此处
