1、第31讲 复数的概念及运算【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用【基础检测】1复平面内表示复数 i(12i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限AC【解析】由题意zii 1ii i(1i)（1i）ii21i2，故选 C.z2设 i 是虚数单位，表示复数 z 的共轭复数若z1i，则zii()Ai B2i C2 D2izz3若(xi)iy2i，x、yR，则复数 xyi()A2iB2iC12iD12i【解析】由题意得，xi1y2i
2、，故 x2，y1，即 xyi2i.B4已知 i 为虚数单位，复数 z 2i12i，则|z|1z_【解析】由已知得 z 2i12i2i2i12i i（12i）12ii,|z|1z|i|1i1i.1i【知识要点】1复数的有关概念(1)复数的概念形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和_，若 b0，则 abi 为虚数，若_，则 abi 为纯虚数，i 为虚数单位(2)复数相等：复数 abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭_(a，b，c，dR)(4)复数的模向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|
3、z|abi|_虚部a0，b0ac且bdac且dba2b22复数的四则运算设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：z1z2abicdi（abi）（cdi）（cdi）（cdi）（acbd）（bcad）ic2d2acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)3两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(其中 nN*)；(2)(1i)22i，1i1i
4、i，1i1ii.一、复数的分类与几何意义例1已知 mR，复数 zm（m2）m1(m22m3)i，当 m 为何值时，(1)zR；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)124i.z【解析】(1)由 zR，得m22m30，m10，解得 m3.(2)由 z 是虚数，得 m22m30，且 m10，解得 m1 且 m3.(3)由 z 是纯虚数，得m（m2）0，m10，m22m30，解得 m0 或 m2.【点评】复数分类问题应注意为纯虚数的条件是实部为零同时虚部不为零(4)由124i，得m（m2）m1(m22m3)i124i，m（m2）m112，（m22m3）4，即2m23m10，m1，m22m10，
5、解得 m1.z二、复数的四则运算例2计算：(1)（22i）4（1 3i）5；(2)2 3i12 3i 21i2 014；(3)1i1i6 2 3i3 2i；(4)22i（1i）221i2 014.【解 析】(1)原 式 16（1i）4（1 3i）4（1 3i）16（2i）2（22 3i）2（1 3i）644（1 3i）2（1 3i）16（1 3i）4 41 3i1 3i.(2)原式i（12 3i）12 3i21i2 1 007i22i1 007ii1 007ii42513ii0.(3)方法一 原式（1i）226（2 3i）（3 2i）（3）2（2）2i6 62i3i 651i.方法二(技巧解法
6、)原 式（1i）226 （2 3i）i（3 2i）i i6（2 3i）i2 3i1i.(4)原式22i2i 22i1 0071ii 1i1 0071i.【点评】复数运算即要遵循运算法则，又要细心观察所给式的结构特征，力争“巧算”(如(2)(3)问)三、复数的模与复数相等的充要条件及应用例3已知关于 x 的方程 x2(6i)x9ai0(aR)有实数根 b.(1)求实数 a，b 的值；(2)若复数 z 满足|zabi|2|z|，求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出最小值【解析】(1)将 b 代入题设方程，整理得(b26b9)(ab)i0，则 b26b90 且 ab0，得 ab3.(2)设 zx
7、yi(x，yR)，则(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28，所以点 Z 在以(1，1)为圆心，2 2为半径的圆上，画图可知，z1i 时|z|min 2.【点评】应用复数相等的主要条件的实质是将复数问题化归为实数问题求解四、复数的综合问题例4设 z 是虚数，已知 z1z是实数，且12.(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围；(2)设 u1z1z，求证：u 为纯虚数；(3)求 u2 的最小值【解析】(1)因为 R，所以，所以 z 1zz1z，即(z z)1 1z z 0，因为 z 为虚数，所以z z.所以 z z1，从而|z|21，即|z|1.设 zabi(a、bR)，|
8、z|1，a2b21，z1zabi1abiabi abia2b22a.12，12a2，12a1.即 z 的实部取值范围是12，1.(2)证明：因为 z z1，所以 z1z.所以 u u1z1z1 z1 z1z1z11z11z1z1zz1z10，且 u0，所以 uu，所以 u 为纯虚数(3)由(2)可设 uti(tR 且 t0)，则由1z1zti，得 z1ti1ti，所以 z1z1ti1ti1ti1ti2（1t2）1t2，u2t2，所以 u22（1t2）1t2t21t241t232（1t2）41t231，当且仅当 t212，t1 时等号成立，故 u2 的最小值为 1.备选题例5设关于 x 的方程是
9、 x2(tan i)x(2i)0.(1)若方程有实数根，求锐角 和实数根；(2)证明：对任意 k 2(kZ)，方程无纯虚数根【解析】(1)设实数根是 a，则 a2(tan i)a(2i)0，则 a2atan 2(a1)i0.a，tan R，a2atan 20，a10；a1，且 tan 1，又 00 y(a22a2)(a1)210，y0)故复数 z 所对应的点在第四象限，z 对应点的轨迹为一条射线一条射线四6当实数 m 为何值时，zm2m6m3(m25m6)i；(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数 z 对应的点在复平面内的第二象限【解析】(1)若 z 为实数，则m25m60m30，解得 m2.(2)若 z 为虚数，则m25m60m30，解得 m2 且 m3.(3)若 z 为纯虚数，则m25m60m2m6m30，解得 m3.(4)若 z 对应的点在第二象限，则m2m6m30，即m3或2m3m2，m3 或2m0，a20，解得 2a6，故实数 a 的取值范围是(2，6)