1、3.1 随机事件的概率3.1.3 概率的基本性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习学 习 目 标1了解事件的关系与运算2理解互斥事件、对立事件的概念3掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率自主导学知识点一|事件的关系与运算 阅读教材 P119P120探究的内容，完成下列问题1事件的关系(1)包含关系一般地，对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 1 _，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)，记作 2 _(或 AB)不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件类比集合，事件 B 包含事件 A 用图表示发生BA(2)相等关系如果事件 A 发生
2、，那么事件 B 一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作 AB.一般地，若 BA，且 AB，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 AB.2事件的运算(1)并事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生 3 _事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的 4 _(或和事件)，记作 5 _(或 AB)类比集合，事件 A 与事件 B 的并事件用图表示或并事件AB(2)交事件若某事件发生当且仅当事件 A 发生 6 _事件 B发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)，记作7 _(或 AB)类比集合，事件 A 与事件 B 的交事件用图表示且AB(3)互斥事件、对立事件若
3、事件 AB 为不可能事件(8 _)，那么称事件A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中 9 _发生AB不会同时不可能必然有且仅有若 AB 为 10 _事件，AB 为 11 _事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件 B 在任何一次试验中 12 _一个发生思考探究|辨别正误|1下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中出现 1 点出现的点数为奇数；(2)不可能事件记作，显然 C(C 是任一事件)；(3)事件 A 也包含于事件 A，即 AA.提示：以上说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系2并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗
4、？提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样例如，并事件包含三种情况：事件 A 发生，事件 B 不发生；事件A 不发生，事件 B 发生；事件 A，B 同时发生即事件 A，B 中至少有一个发生3事件 A 与事件 B 互斥的含义是什么？提示：事件 A 与事件 B 互斥的含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中都不会同时发生4互斥事件与对立事件的关系是怎样的？提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件知识点二概率的几个基本性质 阅读教材 P120探究以下的内容，完成下列问题概率的几个性质(1)范围任何事件的概率 P(A)13 _0,1(2)必然事件的概率必然事件的概率 P(A
5、)14 _.(3)不可能事件的概率不可能事件的概率 P(A)15 _.(4)概率加法公式如 果 事 件 A 与 事 件 B 互 斥，则 有 P(A B)16_1 0 P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 AB 为必然事件，则有 P(AB)17 _.1思考探究|辨别正误|若 P(A)P(B)1，事件 A 与事件 B 是否一定对立，试举例说明提示：事件 A 与事件 B 不一定对立例如，抛掷一枚均匀的骰子，记事件 A 为出现偶数点，事件 B 为出现 1 点或 2 点或3 点，则 P(A)P(B)12121.当出现 2 点时，事件 A 与事件 B同时发生，所以
6、事件 A 与事件 B 不互斥，显然也不对立小试身手1口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42 B0.28C0.3 D0.7解析：选 C 摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是 10.420.280.3.2若 A，B 为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则 P(B)_.解析：因为 A，B 为互斥事件，所以 P(AB)P(A)P(B)所以 P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.答案：0.33 甲、乙两人下棋，甲不输的概率是 0.8，两人下成和棋的概率是 0
7、.5，则甲获胜的概率为_解析：设“甲胜”为事件 A，“和棋”为事件 B，其发生的概率分别是 P(A)，P(B)，则 P(AB)P(A)P(B)0.8，所以 P(A)0.8P(B)0.80.50.3.故甲获胜的概率是 0.3.答案：0.3剖析题型 总结归纳课堂互动探究题型一 互斥事件与对立事件的判断【例 1】某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)“恰有 1 名男生”与“恰有 2 名男生”；(2)“至少有 1 名男生”与“全是男生”；(3)“至少有 1 名男生”与“全是女生”；(4)“至少有 1
8、名男生”与“至少有 1 名女生”解 从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 人有如下三种结果：2 名男生，2 名女生，1 男 1 女(1)“恰有 1 名男生”指 1 男 1 女，与“恰有 2 名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是 2 名女生时，此两事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少 1 名男生”包括 2 名男生和 1 男 1 女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件(3)“至少 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)“至少有 1 名女生”包括 1 男 1 女与 2 名女
9、生两种结果，当选出的是 1 男 1 女时，与事件“至少有 1 名男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.方 法 总 结互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生(2)利用集合观点设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B.若事件 A 与 B 互斥，则集合 AB；若事件 A 与 B 对立，则集合 AB且 AB.1从装有 5 个红球、5 个白球的袋中任意取出 3 个球，下列事件：“取出 2 个红球和 1 个白球”与“取出 1 个红球和 2 个白球”；“取出 2 个红球和 1 个白球”与“取出 3 个红球”；“取
10、出 3 个红球”与“取出的 3 个球中至少有 1 个白球”；“取出 3 个红球”与“取出 3 个白球”其中是对立事件的有()A BCD解析：选 D 从袋中任意取出 3 个球，可能的情况有：“3个红球”，“2 个红球、1 个白球”，“1 个红球、2 个白球”，“3 个白球”，由此可知中的两个事件都不是对立事件对于，“取出的 3 个球中至少有一个白球”包含“2 个红球、1 个白球”“1 个红球、2 个白球”“3 个白球”三种情况，故“取出 3 个红球”与“取出的 3 个球中至少有 1 个白球”是对立事件故选 D.2判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40 张扑克牌(
11、红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各10 张)中，任取 1 张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”解：(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从 40张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件
12、，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从 40张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件题型二 事件的运算【例 2】掷一枚骰子，下列事件：A出现奇数点，B出现偶数点，C点数小于 3，D点数大于 2，E点数是 3 的倍数求：(1)AB，BC；(2)AB，BC；(3)记 H 为事件 H 的对立事件，求 D，A C，B C，D E.解(1)AB，BC出现 2 点(2)AB出现 1,2,3,4,5 或 6 点，BC出现 1,2,4 或 6 点(3)D
13、点数小于或等于 2出现 1 或 2 点；A CBC出现 2 点；B CAC出现 1,2,3 或 5 点；D E 出现 1,2,4 或 5 点.方 法 总 结进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.3下列结论：A，B 为两个事件，则 P(AB)P(A)P(B)；若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)P(B)P(C)1；事件 A，B 满足 P(A)P(B)1，则 A，B 是对立事件其中错误结论的个数是()A0 B1C2 D3解析：选 D 均错误4一个口袋中有完全相同的 2 个白球，3 个黑球
14、，4 个红球记事件 A：“取出一个球是白球”；事件 B：“取出一个球是黑球”；事件 C：“取出一个球是红球”；事件 D：“取出一个球是白球或黑球或红球”则 AB，AB，AD，BD，CD 各为什么事件解：AB 表示“取出一个球为白球或黑球”；AB 表示；AD 表示“取出一个球为红球或白球或黑球”；BD 表示“取出一个球为黑球”；CD 表示“取出一个球为红球”题型三 互斥事件与对立事件的概率多维探究角度 1 互斥事件概率加法公式的应用【例 3】某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的
15、年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率解(1)由图可知所种作物总株数为 15.其中“相近”作物株数为 1 的作物有 2 株，“相近”作物株数为 2 的作物有 4 株，“相近”作物株数为 3 的作物有 6 株，“相近”作物株数为 4的作物有 3 株，列表如图：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为51248445642315
16、46.(2)由(1)知，年收获量为 48 kg 的概率为 415，年收获量为 51 kg的概率为 215.因为这两个事件为互斥事件，所以年收获量至少为 48 kg 的概率为 P 415 215 61525.方 法 总 结解决这类问题的关键是要抓住：(1)一次试验中可能出现的不同结果，由这些结果分别构成不同的事件；(2)这些事件中的任何两个事件都构成互斥事件；(3)互斥事件 Am，An 构成的事件A 的概率 P(A)P(Am)P(An)；(4)推广到由两两互斥的 n 个事件Ai(其中 i1,2，n)构成的事件 A，P(A)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)角度 2 对立事件概率的应用【例
17、4】(1)根据统计资料，甲射击一次中靶的概率是 0.45，求甲射击一次不中靶的概率(2)一名射手在某次射击训练中，射中 10 环，9 环，8 环，7环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：射中 10 环或 7 环的概率；射中的环数低于 7 环的概率解(1)P(甲射击一次不中靶)1P(甲射击一次中靶)10.450.55.(2)设“射中 10 环”为事件 A，“射中 7 环”为事件 B，由于在这次射击训练中，事件 A 与事件 B 不可能同时发生，故事件 A 与事件 B 是互斥事件，“射中 10 环或 7 环”的事件为AB.所以 P(AB)P(A)P(B)0
18、.210.280.49.所以射中 10 环或 7 环的概率为 0.49.“射中的环数低于 7 环”从正面考虑有以下几种情况：射中 6 环，5 环，4 环，3 环，2 环，1 环，0 环但由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手“射中的环数低于 7 环”的反面是“射中的环数大于或等于 7 环”，即 7环，8 环，9 环，10 环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件转化的方法处理设“射中的环数低于 7 环”为事件 E，则事件 E 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10环”又“射中 7 环”，“射中 8 环”，“射中 9 环”，“射中10 环”彼此互斥，故 P(
19、E)0.210.230.250.280.97，从而 P(E)1P(E)10.970.03，所以射中的环数低于 7 环的概率为 0.03.方 法 总 结应用对立事件解题的注意点(1)找准对立事件(2)要有应用对立事件求概率的意识，当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即“正难则反”思想的应用.5某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(mm)0,200(200，250(250，300(300，350(350，400概率0.270.30.210.140.08求：(1)年降水量在(200,300(mm)范围内的概率；(2)年降水量在(25
20、0,400(mm)范围内的概率；(3)年降水量不大于 350 mm 的概率解：(1)设事件 A年降水量在(200,300(mm)范围内它包含事件 B年降水量在(200,250(mm)范围内和事件C年降水量在(250,300(mm)范围内两个事件因为 B，C 这两个事件不能同时发生，所以它们是互斥事件，所以 P(A)P(BC)P(B)P(C)由已知得 P(B)0.3，P(C)0.21，所以 P(A)0.30.210.51，即年降水量在(200,300(mm)范围内的概率为 0.51.(2)设事件 D年降水量在(250,400(mm)范围内，它包含事件 C年降水量在(250,300(mm)范围内、
21、事件 E年降水量在(300,350(mm)范围内、事件 F年降水量在(350,400(mm)范围内三个事件，因为 C，E，F 这三个事件不能同时发生，所以它们彼此是互斥事件，所以 P(D)P(CEF)P(C)P(E)P(F)由已知得 P(C)0.21，P(E)0.14，P(F)0.08，所以 P(D)0.210.140.080.43，即年降水量在(250,400(mm)范围内的概率为 0.43.(3)设事件 G年降水量不大于 350 mm，其对立事件是“年降水量在 350 mm 以上”，即(2)中事件F，所以 P(G)1P(F)10.080.92，即年降水量不大于 350 mm 的概率为 0.
22、92.6学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校 1 000 名在校生发现，其中有 200 名学生裸眼视力在 0.6 以下，有 450 名学生裸眼视力在 0.61.0，剩下的能达到 1.0 及以上，问：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足 1.0)的概率为多少？(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到 1.0 及以上)的概率为多少？解：(1)因为事件 A(视力在 0.6 以下)与事件 B(视力在 0.61.0)为互斥事件，所以事件 C(视力不足 1.0)的概率为 P(C)P(A)P(B)2001 000 4501 0000.65.(2)事件 D(视力达到 1.0 及以上)
23、与事件 C 为对立事件，所以P(D)1P(C)0.35，所以该学校在校生眼睛合格的概率为 0.35.知识归纳 自我测评堂内归纳提升1区别 2 个事件如何判定互斥事件与对立事件(1)利用基本概念：互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生(2)利用集合的观点来判断：设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B.事件 A 与 B 互斥，即集合 AB；事件 A 与 B 对立，即集合 AB，且 ABI，也即 AIB或 BIA；对互斥事件 A 与 B 的和 AB，可理解为集合 AB.注意：对立事件是针对两个事件来说的，而互斥则可以是多个事件间的关系2会用 1 组公式如何
24、应用互斥事件的概率加法公式(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏(3)常用步骤：确定各事件彼此互斥，各事件中有一个发生；求各个事件分别发生的概率，再求其和3明辨 1 组关系对立事件与 P(A)P(B)1 的关系(1)若 A，B 是对立事件，则 P(A)P(B)1.(2)若 P(A)P(B)1，则事件 A 和 B 不一定对立例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件 A 为出现偶数点，事件 B 为出现 1 点或 2 点或 3 点，则
25、 P(A)P(B)12121，显然事件 A 与事件 B 不互斥，也不对立自测检评1若 A，B 是互斥事件，则()AP(AB)1 BP(AB)1CP(AB)1 DP(AB)1解析：选 D A，B 是互斥事件，则 P(AB)P(A)P(B)若 A，B 互为对立事件，则 P(A)P(B)1；若 A，B 不对立，则 P(A)P(B)1，所以 P(AB)1.2某射手在一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为()A0.5 B0.3C0.6 D0.9解析：选 A 此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 10.20.30.5.
26、故选 A.3从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，所选3 人中至少有 1 名女生的概率为45，那么所选 3 人中都是男生的概率为_解析：设 A3 人中至少有 1 名女生，B3 人都为男生，则 A 与 B 为对立事件，所以 P(B)1P(A)14515.答案：154.如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中、的概率分别为 0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_解析：不中靶与中靶互为对立事件答案：0.105由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012344 人以上概率0.10.160.30.350.050.04求：(1)至多 2 个人排队的概率；(2)至少 2 个人排队的概率解：设“排队人数为 0”，“排队人数为 1”，“排队人数为 2”，“排队人数为 3”，“排队人数为 4”，“排队人数为4 人以上”为事件 A，B，C，D，E，F，它们两两互斥(1)“至多 2 个人排队”的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)“至少 2 个人排队”的概率为1P(AB)1P(A)P(B)10.10.160.74.word部分：请做：课时分层训练水平达标 提升能力点此进入该word板块
