1、二十五空间向量基本定理 (15分钟30分)1已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0 C1 D2【解析】选C. ()()，而，则()1.2若e1，e2，e3是空间向量的一组基，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z的值分别为()A，1， B1，C，1， D，1，【解析】选A.由题意，得xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得解得3已知a，b是异面直线，A，Ba，C，
2、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_【解析】，所以()|21，所以cos ，所以异面直线a，b所成角是60.答案：604a，b，c为空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x_，y_，z_.【解析】若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，所以a，b，c共面这与a，b，c是基矛盾，故xyz0.答案：0005如图，四棱锥POABC的底面为矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，.【解析】()abc；()()abc；()abc；a. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1O，A，B，
3、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一组基，则()A，共线 B，共线C，共线 DO，A，B，C四点共面【解析】选D.由题意知，向量，共面，从而O，A，B，C四点共面2(2021湛江高二检测)若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基的关系是()ABCD2【解析】选C.对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面3已知空间四边形ABCD中，ACDBDC90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30 B45 C60 D90【解析】选C.根据已知ACDBDC90，得0，所以()|
4、2|21，所以cos ，所以AB与CD所成的角为60.4点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为()A， B，C， D，【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()()，所以x，y，z.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列说法正确的是()A若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一组基，则a，b共线B空间的基有且仅有一组C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基D基a，b，c中基向量与基e，f，g中基向量对应相等【解析】选AC.A项
5、中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一组基，A对；B项中空间基有无数组，B错；C项显然正确；D项中因为基不唯一，所以D错6已知在空间四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC中点，设a，b，c，则()AabcBabcCacDabc【解析】选BC.()cba；()bca；ca；ab.三、填空题(每小题5分，共10分)7在空间中平移ABC到A1B1C1(使A1B1C1与ABC不共面)，连接对应顶点设a，b，c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基a，b，c表示向量的结果是_【解析】如图，()()b(ab)(ac)abc.答案：abc8如图，直
6、三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点则CE与AD的位置关系为_；异面直线CE与AC所成角的余弦值是_【解析】设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0，所以bc， cba.所以c2b20.所以，即CE与AD垂直；因为ac，所以|a|.又|a|，(ac)(bc)c2|a|2，所以cos ,，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.答案：垂直四、解答题(每小题10分，共20分)9如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz.【
7、解析】(1)因为，所以A，E，C1，F四点共面(2)因为() 所以x1，y1，z.所以xyz.10如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求，【解析】设a，b，c，正四面体的棱长为1，(1)因为(abc)，(bc5a)，(ac5b)，(ab5c)，所以(bc5a)(ac5b)(18ab9|a|2)0，所以，即AOBO.同理，AOCO，BOCO.所以AO，BO，CO两两垂直(2)(abc)c(2a2bc)，所以|.又|，(2a2bc)(bc5a)，所以cos ，.又，0，所以，.1如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，b，c，则向量用a，b，c表示为_.【解析】因为2，所以2()，所以ba2(c)，所以abc.答案：abc2如图，三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若m，n，t，求证：为定值，并求出该定值【解析】连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令，为空间的一组基，()()().连接DM，因为点D，E，F，M共面，所以存在实数，使得，即()()，所以(1)(1)mnt，由空间向量基本定理，知(1)m，n，t，所以4(1)444，为定值