1、37圆锥曲线中的探索性问题1在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，得直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A
2、(，0)，B(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k，故不存在符合题意的常数k.2已知双曲线方程为x21，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由解显然x1不满足条件，设l：y1k(x1)联立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由0，得k，x1x2，由M(1,1)为PQ的中点，得1，解得k2，这与k0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任
3、意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆E：1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即8k2m240.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，
4、即0，所以3m28k280，所以k20.又8k2m240，所以所以m2，即m或m，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r，r2，r，所求的圆为x2y2，此时圆的切线ykxm都满足m或m，而当切线的斜率不存在时切线为x与椭圆1的两个交点为(，)或(，)满足，综上，存在圆心在原点的圆x2y2，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.4(2014重庆)如图，设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处
5、的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得DF1c，从而SDF1F2DF1F1F2c2，故c1，从而DF1.由DF1F1F2，得DFDFF1F，因此DF2.所以2aDF1DF22，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所
6、以(x11，y1)，(x11，y1)，再由F1P1F2P2，得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1F1P1，得1.而求得y1，故y0.圆C的半径CP1 .综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2(y)2.5(2014江西)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线
7、l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MNMN为定值，并求此定值(1)证明依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28.直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此动点D在定直线y2上(x0)(2)解依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y
8、2得N1，N2的坐标为N1(a,2)，N2(a，2)，则MNMN(a)242(a)28，即MNMN为定值8.6(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解方法一(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A(x0,0)由得M(x0，3)又N(0,3)，所以圆心C(x0，3)，半径rMN|x0|，AB .所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变方法二(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点S(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简，得曲线的方程为x24y.(2)同方法一