1、二十九用向量方法讨论立体几何中的位置关系(15分钟30分)1已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()Aa(1，0，0)，b(3，0，0)Ba(0，1，0)，b(1，0，1)Ca(0，1，1)，b(0，1，1)Da(1，0，0)，b(1，0，0)【解析】选B.因为a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以ab0110010，所以ab.2若直线l的方向向量为v(2，2，2)，向量m(1，1，0)及n(0，1，1)都与平面平行，则()Al BlCl Dl与相交但不垂直【解析】选A.因为vm2200，vn0220，所以vm，且vn.又m与n不平行，所以v，即l.3已知平面内有一点
2、M(1，1，2)，平面的一个法向量n(6，3，6)，则点P(2，3，3)与平面的关系是_.【解析】(1，4，1)，n61260，所以n，又n平面，M平面，所以P平面.答案：P平面4已知A(1，1，3)，B(0，2，0)，C(1，0，1)，若点D在Oz轴上，且，则|_.【解析】设点D的坐标为(0，0，z)，则(1，1，z3)，(1，2，1).由，有12(z3)0，所以z4，所以|.答案：5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC.【证明】以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)
3、，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，于是(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)，所以(1，1，0)(1，1，1)0，(1，0，1)(1，1，1)0，故，即PB1CP，PB1CA，又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1直线l的一个方向向量和平面的一个法向量分别是m(1，1，3)，n，则直线l与平面的位置关系是()Al BlCl或l D无法判断【解析】选C.因为mn00，所以mn.所以l或l.2两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则yz的值是()A3 B6 C6 D12【解析
4、】选B.因为(3，1，z)，v(2，y，1)分别为，的法向量且，所以v，即v0，6yz0，所以yz6.3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()A.EF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面【解析】选B.建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1，0，1)，(1，1，0)，E，F，所以0，0，所以EFA1D，EFAC.4已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()
5、A，4 B，2，4C，4 D4，15【解析】选C.因为，所以0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，所以，则解得二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是()A BC D【解析】选ABC.由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的直线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确只有D选项不一定成立6已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点D的坐标
6、可以为()A(1，1，1) B(1，1，1)C D【解析】选AD.设D(x，y，z)，则(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1).又DBACxz0，DCABxy0，ADBC(x1)2y2z22，联立得xyz1或xyz，所以点D的坐标为(1，1，1)或.三、填空题(每小题5分，共10分)7设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4)，若，则等于_【解析】因为，所以，所以4.答案：48在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为_；若向量n与平面ABC垂直，且|
7、n|，则n的坐标为_.【解析】根据题意，得(1，1，2)，(1，0，2).设n(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n或n.若n与平面ABC垂直，则即可得又因为|n|，所以，解得y4或y4.当y4时，x2，z1；当y4时，x2，z1.所以n(2，4，1)或n(2，4，1)答案：或(2，4，1)或(2，4，1)【误区警示】本题所求的向量都有方向不同的两个，解答时容易出现漏掉某一个的错误四、解答题(每小题10分，共20分)9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1DE平面B1BD.【证明】以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
8、设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，E，(1，1，1)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，则y1，x1，所以n1(1，1，2).同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1，0)，由n1n20，知n1n2，所以平面B1DE平面B1BD.10如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C平面OC1D.【证明】设a，b，c，则ac，bc，c(ab).设存在实数x，y，使得xy成立，则acx(bc)yab(xy)c.因为a，b，c不共线，所以解得所以2，即向量，共面因为向量不在，所确定的平面OC1D内，所以B1C平面OC1D.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1.求证：AB1MN.【证明】设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A，B，C，N，B1，因为M为BC的中点，所以M.所以，(1，0，1)，所以00，所以，所以AB1MN.