1、课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理层级一学业水平达标1已知ABCD中DAB30，则与的夹角为()A30B60C120 D150解析：选D如图，与的夹角为ABC150.2设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与；与；与；与.A BC D解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而，故可作为基底3若AD是ABC的中线，已知a，b，则以a，b为基底表示()A(ab) B(ab)C(ba) Dba解析：选B如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而，即，从而()(ab)4在矩形ABCD中，O是对
2、角线的交点，若e1，e2，则()A(e1e2) B(e1e2)C(2e2e1) D(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.5(全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选A由题意得.6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：a，b是一组基底，a与b不共线，(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.答案：37已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2与b2e13e2共线，则实数k_.解析：由题设，知，3k25k20，解得k2或.答案：2或8如下图，在正
3、方形ABCD中，设a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为_，在以a，c为基底时，可表示为_解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得答案：ab2ac9.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来解：ab，b(ab)ab，()(ab)10证明：三角形的三条中线共点证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为ABC的三条中线，令a，b.则有ba.设G在AD上，且，则有a(ba)(ab)ba.(ab)aba.G在BE上，同理可证，即G在CF上故AD，BE，CF三线交于同一点层级二应试能力达标1在ABC中，点D在BC边上，且2，
4、设a，b，则可用基底a，b表示为()A(ab)BabCab D(ab)解析：选C2，.()ab.2AD与BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选B设AD与BE交点为F，则a，b.所以ba，所以2ab.3如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()A若存在实数1，2，使得1e12e10，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析：选BA中，(12)e10，120，即12；B符合平面向量基本定理；
5、C中，1e12e2一定在平面内；D中，1，2有且只有一对4已知非零向量，不共线，且2xy，若 (R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A由，得()，即(1).又2xy，消去得xy2.5设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：6已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_解析：由题意可画出图形，在OAB中，因为OAB60，|b|2|a|，所以ABO30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：907设e1，e2是不
6、共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.8若点M是ABC所在平面内一点，且满足：.(1)求ABM与ABC的面积之比(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值解：(1)如图，由可知M，B，C三点共线，令()(1)，所以，即面积之比为14.(2)由xyx，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线