1、二十三双曲线及其标准方程 (15分钟30分)1已知双曲线1(a0)的一个焦点为(5，0)，则a的值为()A9 B6 C5 D3【解析】选D.根据题意，双曲线1(a0)的一个焦点为(5，0)，即c5，则有a21625，解得a3.2若kR，则“k5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k0，30即k3，从而方程可表示为1，由于c2a2b22k51，所以半焦距c的取值范围为c1，即c. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2020绥德高二检测)双曲线1的
2、左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么ABF2的周长是()A12 B16 C21 D26【解析】选D.依题意，|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8，所以(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)16，又|AB|5，所以|AF2|BF2|16(|AF1|BF1|)16|AB|16521.所以|AF2|BF2|AB|21526.即ABF2的周长是26.2已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是()Ay21 Bx21C1 D1【解析】选B.由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的
3、方程为1(a0，b0)，则a2b25.因为线段PF1的中点的坐标为(0，2)，所以点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，所以双曲线的方程为x21.3已知双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同的焦点，则的最小值为()A2 B4C6 D9【解析】选D.椭圆1是焦点在x轴上的椭圆，且c2541.因为双曲线1(m0，n0)和椭圆1有相同的焦点，所以mn1(m0，n0)，所以(mn)5529.当且仅当，即m，n时取等号所以的最小值为9.4已知双曲线C：x21的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M(0，2)，则PFM的周长的最小值为()A24 B42C3 D23【解析】
4、选A.依题意可知，c2，a1，所以|MF|2，|PM|PF|PM|PF1|2a，F1为左焦点，当M，P，F1三点共线时，|PM|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|2，故周长的最小值为22224.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020常州高二检测)已知方程1表示曲线C，则下列判断正确的是()A当1t4或t1时，曲线C表示双曲线C若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4【解析】选BCD.当曲线C表示椭圆时，得1t4且t，故A错误由双曲线的定义可知0时，即t4时，方程1表示双曲线，故B正确由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满
5、足4tt10，解得1t，所以Q的轨迹为椭圆所以C正确当A在圆C内且与圆心C重合时，Q点的轨迹即为圆C.所以A正确当A在圆C上时，连接CA并延长，Q点的轨迹即为以C为端点的射线CA，如图所示当A在圆C外时，设B是圆C上任意一点，连接AB，作线段AB的垂直平分线DQ，交直线BC于点Q.则，所以r，所以Q的轨迹为双曲线的一支所以D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知F1，F2是双曲线1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60，那么|PF2|QF2|PQ|的值为_.【解析】在双曲线1中，2a8，由双曲线定义，得|PF2|PF1|8，|QF2|QF1|8，所以|PF2|QF2|P
6、Q|(|PF2|PF1|)(|QF2|QF1|)16.答案：168若曲线C：mx2(2m)y21是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为_.【解析】由曲线C：mx2(2m)y21是焦点在x轴上的双曲线，可得1，即有m0，且m20，解得m2.答案：(2，)四、解答题(每小题10分，共20分)9设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程【解析】以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)，由题意可得|PA|PB|6a10a，所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线1.10已知双曲线1
7、的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且MF1MF20，求点M到x轴的距离(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，因为MF1MF20，则MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义，知mn2a8，又m2n2(2c)280，由得mn8，所以mn4|F1F2|h，所以h.所以M点到x轴的距离为.(2)设所求双曲线C的方程为1(40)，|PF1|2x，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|112.答案：22已知OFQ的面积为2，且m，其中O为坐标原点设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|c，mc2，当|取得最小值时，求此双曲线的标准方程【解析】设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，Q(x1，y1)，则(x1c，y1)，所以SOFQ|y1|2，则y1.又m，即(c，0)(x1c，y1)c2，解得x1c，所以|2，当且仅当c4时，取等号，|最小，这时Q的坐标为(，)或(，).因为所以于是所求双曲线的标准方程为1.
