1、23关于平面向量数量积运算的三类经典题型1(2014课标全国改编)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.答案1解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.2(2014四川改编)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案2解析因为a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根据题意可得，所以，解得m2.3(2013江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影
2、为_答案解析a在b方向上的投影为|a|cosa，b.ab(e13e2)2e12e6e1e25.|b|2e1|2.4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)_.答案解析以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为yx，即xy0.设P(x，x)，则p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是_答案(，解析由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径
3、的圆的内部又，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|取得最大值，当P在半径为的圆周上时，|取得最小值.6(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.7(2014湖北)设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.答案3解析由题意得，(ab)(ab)0，即a22b218220，解得3.8设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_答
4、案解析由e1e2，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)(e1e2)e1e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1)故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.9在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是_答案4解析方法一(坐标法)由|2，可得AOB.又A，B是定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)由，可得因为|1，所以|x|x|1.整理，得2|x|yx|2.
5、当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx4|a|，则Smin0；若|b|2|a|，Smin8|a|2，则a与b的夹角为.答案解析xi，yi(i1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，Sxiyi，可能情况有以下三种：(1)S2a23b2；(2)Sa22ab2b2；(3)S4abb2.2a23b2(a22ab2b2)a2b22aba2b22|a|b|cos 0，a22ab2b24abb2a2b22ab0，S的最小值为Sminb24ab.因此S最多有3个不同的值，故不正确当ab时，S的最小值为Sminb2与|a
6、|无关，故正确当ab时，S的最小值为Sminb24|a|b|或Sminb24|a|b|与|b|有关，故不正确当|b|4|a|时，Sminb24|a|b|cos b24|a|b|b|(|b|4|a|)0，故正确当|b|2|a|时，由Sminb24ab8|a|2知，4ab4a2，即aba2，|a|b|cos a2，cos ，故不正确因此正确命题的编号为.11已知向量a(sin x，)，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的
7、取值范围解(1)因为ab，所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(sin xcos x，)(cos x，1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理，得，所以sin A.所以A或A.因为ba，所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因为x0，所以2x，所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范围为1，12在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.