1、复习课(三)平面向量平面向量的概念及线性运算1题型为选择题和填空题主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题2向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用典例(北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析2，.，()，().又xy，x，y.答案类题通法向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们
2、的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面1若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y()A13B13C9 D9解析：选D(8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.2设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， |216，|，则|()A8 B4C2 D1解析：选C由|216，得|4.|4，|2|，|2.3已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上解析：选B由于23，22，即2，则点P在线段AB的反向延长线上平面向量的数量积1题型既有选择题、填
3、空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题2解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即ab|a|b|cos ，二是利用坐标运算，即abx1x2y1y2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法典例(1)(福建高考)设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A BC. D.(2)(四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则()A20 B15C9 D6解析(1)cakb(1k,2k), 又bc，所以1(1k)1(2k)0，
4、解得k.(2)如图所示，由题设知： ，|2|236169.答案(1)A(2)C类题通法(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算1已知abc0，|a|2，|b|3，|c|，则向量a与b的夹角为()A30 B45C60 D以上都不对解析：选Cabc0，c(ab)，c2(ab)2，即|c|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b，194912cosa，b，cosa，b.又0a，b180，a，b60.2在ABC中，AB4，ABC30，D是边BC上的一点，且，则的值为()A0 B4C8
5、D4解析：选D由，得()0，即0，所以，即ADCB.又AB4，ABC30，所以ADABsin 302，BAD60，所以ADABcos BAD244.3已知向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则b在a方向上的投影是_解析：|a|b|2，a与b的夹角为60，b在a方向上的投影是|b|cos 601.答案：14在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_解析：设|x，x0，则x.又()1x2x1，解得x，即AB的长为.答案：平面向量与三角函数的综合问题1题目以解答题为主主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方
6、面此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质2解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题典例(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.类题通法在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用
7、平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题1设a(sin x,1)，b，且ab，则锐角x为()A. B.C. D.解析：选B因为ab，所以sin xcos x0，所以sin 2x1，又x为锐角，所以02x，所以2x，x，故选B.2设向量a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，xR，函数(x)a(ab)(1)求函数(x)的最大值与
8、最小正周期；(2)求使不等式(x)成立的x的取值范围解：(1)(x)a(ab)aaabsin2xcos2xsin xcos xcos2x1sin 2x(cos 2x1)sin，(x)的最大值为，最小正周期T.(2)由(1)知(x)sinsin02k2x2kkxk(kZ)使(x)成立的x的取值范围是.1设P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则()AabBabC2(ab) D.(ab)解析：选A如图，ab.2已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|ab|()A0 B1C2 D.解析：选D因为|ab|2a22abb210225，所以|ab|，故选D.3若平面向量a(1,2)与b的夹角是1
9、80，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：选A由题意设ba(，2)(0)，而|b|3，则3，所以3，b(3，6)4已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A. B.C. D.解析：选Ba(ab)，a(ab)a2ab0，aba2，|a|1，|b|，cosa，b，向量a与向量b的夹角为，故选B.5在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C由()|2，得()0，即()0，20，A90.故选C.6已知平面向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|c|3，且a，b
10、，c两两所成的角相等，则|abc|等于()A6或 B6或C. D6解析：选Aa，b，c两两所成的角相等，这个角为0或120.当夹角为0时，|abc|a|b|c|1236，排除C；当夹角为120时，ab|a|b|cos 120121，bc|b|c|cos 120233，ca|c|a|cos 12031，|abc|2a2b2c22(abbcca)12223223，|abc|.|abc|6或.7已知向量a(1,3)，b(1，t)，若(a2b)a，则|b|_.解析：a(1,3)，b(1，t)，a2b(3,32t)(a2b)a，(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即t2，b(1,2)，|b|.
11、答案：8已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|2，|b|3，那么|2a3b|_.解析：|2a3b|2(2a3b)24a212ab9b24221223cos932133，|2a3b|.答案：9已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是_解析：由于|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则|a|24ab0.设向量a与b的夹角为，则cos ，.答案：10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，4a24ab3b261， 即644ab2761.ab6
12、.cos ，120.(2)|ab|.11已知向量a(3,2)，b(2,1)，c(3，1)，tR.(1)求|atb|的最小值及相应的t值；(2)若atb与c共线，求实数t.解：(1)a(3,2)，b(2,1)，atb(3,2)t(2,1)(32t,2t)，|atb|，当且仅当t时取等号，即|atb|的最小值为，此时t.(2)atb(3,2)t(2,1)(32t,2t)，又atb与c共线，c(3，1)，(32t)(1)(2t)30.解得t.12已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.(1)求向量n；(2)设向量a(1,0)，向量b(cos x，sin x)，其中xR，若na0，试求
13、|nb|的取值范围解：(1)令n(x，y)，则或n(1,0)或n(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)nb(cos x，sin x1)|nb|.1sin x1，0|nb|2.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1tan 的值为()A.BC. D解析：选Dtan tantan .2下列函数中最值是，周期是6的三角函数的解析式是()Aysin BysinCy2sin Dysin解析：选A由题意得，A，6，故选A.3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一
14、点，则 等于 ( ) A B2C3 D4解析：选D依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以2，2，所以4，故选D.4若点(sin ，sin 2)在第四象限，则角在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B点(sin ，sin 2)在第四象限， 即在第二象限5已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选Ba(1,2)，b(2，m)，1m2(2)0，m4.2a3b(2,4)(6，12)(4，8)6若，且sin ，则sincos()的值为()A. BC. D解析：选Bsincos()s
15、in cos cos sin cos .sin ，cos .sin cos .7已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选Cab10，则(cb)acabaca10，所以ca，设a与c的夹角为，则cos ，又0，则sin sin ；若函数y2cos的最小正周期是4，则a；函数y是奇函数；函数ysin在0，上是增函数其中正确命题的序号为_解析：39030，但sin sin ，所以不正确；函数y2cos的最小正周期为T4，所以|a|，a，因此不正确；中函数定义域是，显然不关于原点对称，所以不正确；由于函数ysinsincos
16、 x，它在(0，)上单调递增，因此正确答案：三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|1，|b|，a与b的夹角为.(1)若ab，求ab；(2)若ab与a垂直，求.解：(1)ab，0或180，ab|a|b|cos .(2)ab与a垂直，(ab)a0，即|a|2ab1cos 0，cos .又0180，45.18(本小题满分12分)已知tan ，求的值解：原式，又tan ，原式3.19(本小题满分12分)已知a(cos 2，sin )，b(1,2sin 1)，ab，求.解：abcos 2sin (2sin 1)cos 22
17、sin2sin 1sin ，sin .，cos ，sin 22sin cos ，10.20(本小题满分12分)已知函数(x)2cos xsinsin2xsin xcos x.(1)当x时，求(x)的值域；(2)用五点法在下图中作出y(x)在闭区间上的简图；解：(x)2cos xsinsin2xsin xcos x2cos xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin.(1)x，2x，sin1，当x时，(x)的值域为，2(2)由T，得T，列表：x2x022sin02020图象如图所示21(本小题满分12分)已知f(x)sin x2sincos.(1)若f()，求的值；(2)若
18、sin，x，求f(x)的值解：f(x)sin x2sincossin xsinsin xcos xsin.(1)由f()，得sin，sin.，.，.(2)x，.又sin，cos.sin x2sincos，cos x.f(x)sin xcos x.22(本小题满分12分)已知函数(x)Asin(x)0,0的部分图象如图所示(1)求(x)的解析式；(2)将函数y(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；(3)当x时，求函数y的最值解：(1)由图得T，T2，1.又0，得Asin0，2k，kZ，2k，kZ.0，当k1时，.又由(0)2，得Asin 2，A4，(x)4sin.(2)将(x)4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到y4sin，再将图象向右平移个单位得到g(x)4sin4sin，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)(3)y4sin4sin4sin4sin44cos x2sin x2cos x4cos x2sin x2cos x4sin.x，x，sin，函数的最小值为4，最大值为2.