1、第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1可导“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立答案：B2已知可导函数f(x)，xR，且仅在x1处，f(x)存在极小值，则()A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时
2、，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0解析：因为f(x)在x1处存在极小值，所以 x1时，f(x)0，x1时，f(x)0.答案：C3函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值解析：由y3x26x90，得x1或x3，当x1或x3时，y0；当1x3时，y0.故当x1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值答案：C4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca1或a2 Da3或a6解析：f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243
3、(a6)0，解得a6或a3.答案：D5设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析：yexa0，exa，因为x0，所以 ex1，即a1，所以 a1.答案：A二、填空题6函数f(x)x36xa的极大值为_，极小值为_解析：f(x)x26令f(x)0，得x或x，所以f(x)极大值f()a4，f(x)极小值f()a4.答案：a4，a4.7已知函数yx3ax2bx27在x1处取极大值，在x3处取极小值，则a_，b_解析：y3x22axb，根据题意知，1和3是方程3x22axb0的两根，由根与系数的关系可求得a3，b9.经检验，符合题意答案：398已知函数f(x)a
4、x3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示则下列说法中不正确的是_当x时，函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时，函数取得极小值；当x1时，函数取得极大值解析：由图象可知当x(，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时，函数取得极小值，当x1时，函数取得极大值故只有不正确答案：三、解答题9已知f(x)x3x22x，求f(x)的极大值与极小值解：由已知得f(x)的定义域为R.f(x)x2x2(x1)(x2)令f(x)0，得x1或x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，2
5、)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值因此，当x1时，f(x)取得极大值，且极大值为f(1)(1)3(1)22(1)；当x2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(2)232222.从而f(x)的极大值为，极小值为.10已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，求f(2)的值解：f(x)3x22axb.由题意得即解得或当a4，b11时，令f(x)0，得x11，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值显然函数f(x)在x1处取极小值，符合题意，此时f(2)18.当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所
6、以 f(x)在x1处没有极值，不合题意综上可知f(2)18.B级能力提升1等差数列an中的a1，a4 031是函数f(x)x34x26x1的极值点，则log2a2 016的值为()A2B3C4D5解析：因为f(x)x28x6，且a1，a4 031是函数f(x)x34x26x1的极值点，所以a1，a4 031是方程x28x60的两个实数根，则a1a4 0318.而an为等差数列，所以a1a4 0312a2 016，即a2 0164，从而log2a2 016log242.故选A.答案：A2若函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)为三次函数，
7、其导函数f(x)3x26ax3(a2)为二次函数，要使函数f(x)既有极大值又有极小值，需f(x)0有两个不等的实数根，所以(6a)2433(a2)0，解得a2.答案：(，1)(2，)3设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个定点由(1)知f(x)最大值fa，f(x)极小值f(1)a1.因为曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值0或f(x)极小值0，即a0或a10，所以a或a1，所以当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点