1、三十抛物线的几何性质 (15分钟30分)1过抛物线C：yx2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则|AB|()A B C13 D9【解析】选D.由题意可得抛物线的标准形式为：x28y，所以准线方程为y2，由题意可得A，B的纵坐标之和为25，所以弦长|AB|549.【补偿训练】 已知F是抛物线x22y的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到x轴的距离为_【解析】因为|AF|BF|6，由抛物线的定义可得|AD|BE|6，又线段AB的中点到抛物线准线y的距离为(|AD|BE|)3，所以线段AB的中点到x轴的距离为.答案：2设抛物线的焦点到顶点的距离为
2、3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，).3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】选B.抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以
3、抛物线方程为y24x，准线方程为x1.4直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_.【解析】设线段的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，将yx1代入y24x，整理得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，所以2，所以所求点的坐标为(3，2).答案：(3，2)5以抛物线C：y22px(p0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|2，|DE|2，求p的值【解析】如图：|AB|2，|AM|，|DE|2，|DN|，|ON|，所以xA，因为|OD|OA|，所以，所以106，解得：p.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2020南昌高二
4、检测)已知拋物线x2ay的焦点恰好为双曲线x22的上焦点，则a()A4 B8 C8 D8【解析】选B.抛物线x2ay(a0)的焦点为，双曲线x22的焦点为，因为a0，所以2，所以a8.2(2020重庆高二检测)已知抛物线y22px与圆x2y25交于A，B两点，且4，则p()A B1 C2 D4【解析】选C.由题意知，抛物线与圆交于A，B两点，且4，因为两个曲线都关于x轴对称，所以A，B两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，故可设A，B，代入圆的方程得m2225，解得m1，故A，B，代入抛物线方程可得42p，即p2.3(2020深圳高二检测)已知O为坐标原点，抛物线E：x22py(p0)的焦点为F
5、，过焦点F的直线交E于A，B两点，若OFA的外接圆圆心为Q，Q到抛物线E的准线的距离为，则p()A1 B2 C3 D4【解析】选A.由题意知，抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，准线为y，因为Q在线段OF的垂直平分线上，故Q的纵坐标为，所以，所以p1.4设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为抛物线上不同的三点，点F是ABC的重心，O为坐标原点，OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则SSS()A9 B6 C3 D2【解析】选C.设A，B，C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，因为抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，所以S1|y1|，S2|y
6、2|，S3|y3|，所以SSS(yyy)x1x2x3，因为点F是ABC的重心，所以x1x2x33，所以SSS3.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5点A(2，1)到抛物线y2ax准线的距离为1，则a的值可能为()A4 B C12 D12【解析】选AC.因为抛物线的标准方程为y2ax，若a0，则准线方程为x，由题设可得21，则a4，不合题意，舍去；若a0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p，2p)，则其焦点弦的长度为_【解析】由题意知，直线l过和(2p，2p)，所以直线l：y.设另一交点坐标为(x1，y1)，联立整理得8x217px2p
7、20.由根与系数的关系，得x12p，所以焦点弦的长度为x12pp.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程【解析】当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y22px(p0)，焦点坐标为.因为直线过点且倾斜角为135，所以直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p8.由消去y，得x23px0.所以x1x23p.由得p2，所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上，所求抛物线的方程
8、为y24x或y24x.10已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【解析】(1)由抛物线的定义，得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得，直线AF的方程为y2(x1).由，得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，所以kGA，kGB，所以
9、kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切【创新迁移】1(多选题)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为345，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形不可能是()A等腰直角三角形 B必是锐角三角形C必是钝角三角形 D必是直角三角形【解析】选ACD.设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由抛物线定义，得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故此
10、三角形一定是锐角三角形故不正确的为ACD.2如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径【解析】(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d2，又|CO|.所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.